數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．全卷滿分120分，答題時(shí)間為120分鐘．
2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. -8的倒數(shù)是（ ）
A -8B. 8C. -D.
2. 下列是陜西4個(gè)地市高中的圖標(biāo)，其中小圓內(nèi)的圖案（不包括數(shù)字）即是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨著我國(guó)人口政策的調(diào)整優(yōu)化，2024年我國(guó)新生兒數(shù)量達(dá)到954萬(wàn)人，結(jié)束了連續(xù)七年的下降趨勢(shì)．?dāng)?shù)據(jù)“954萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
4. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C D.
5. 如圖，在平行四邊形中，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接，使．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，在中，弦，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接，．若，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知拋物線，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的最大值是，最小值是，則的值是（ ）
A. B. 13C. D. 3
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 在，3.010010001，，這個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)__________．
10. 正九邊形的一個(gè)外角為_(kāi)________度．
11. 明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有一個(gè)“以碗知僧”的問(wèn)題：“巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧．三百六十四只碗，恰合用盡不差爭(zhēng)．三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹．請(qǐng)問(wèn)先生能算者，都來(lái)寺內(nèi)幾多僧？”其大意：山上有一座古寺叫都來(lái)寺．在這座寺廟里，位和尚合吃一碗飯，位和尚合分一碗湯，一共用了只碗．設(shè)都來(lái)寺里有位和尚，則可列方程：______．
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的兩個(gè)頂點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，對(duì)角線的交點(diǎn)恰好是原點(diǎn)，且對(duì)角線所在直線是第二、四象限的角平分線．若，，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_________．
13. 如圖，為的直徑，C為半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向外作等邊（點(diǎn)D在直線的上方），連接．若的半徑為2，則線段的最大值為_(kāi)_________．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
15. 解不等式組：．
16. 解分式方程：．
17. 如圖，有一圓弧形拱橋，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓弧所在圓的半徑．

18. 如圖，與交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，，．求證：．
19. 某班有兩名男生、兩名女生報(bào)名參加志愿者活動(dòng)．
（1）若從該四人中任選一人參加志愿者活動(dòng)，則選中男生的概率為_(kāi)_________．
（2）若從該四人中任選兩人參加志愿者活動(dòng)，求選中兩人都是男生的概率．
20. 今年2月，我國(guó)自主研發(fā)的AI軟件DeepSeek一經(jīng)發(fā)布，便占據(jù)各大應(yīng)用市場(chǎng)下載榜首位．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該軟件首日在某平臺(tái)的下載量為50萬(wàn)次，第二天、第三天下載量連續(xù)增長(zhǎng)，第三天為162萬(wàn)次．求第二天、第三天下載量的平均增長(zhǎng)率．
21. 如圖，這是小雅同學(xué)為準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)考試組裝的制取氧氣的實(shí)驗(yàn)裝置．已知試管，，試管傾斜角為．實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊貼水槽，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，（點(diǎn)在同一條直線上）．經(jīng)測(cè)量，得，，．請(qǐng)求出鐵架桿與水槽之間的水平距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）
22. 冬至是我國(guó)重要的傳統(tǒng)節(jié)氣之一，民間流傳著諺語(yǔ)“冬至不端餃子碗，凍掉耳朵沒(méi)人管”．某飯店準(zhǔn)備了蝦仁、羊肉兩種餃子共200斤進(jìn)行銷售，其中蝦仁餃子的數(shù)量不高于羊肉餃子數(shù)量的一半．已知蝦仁餃子的利潤(rùn)為9元／斤，羊肉餃子的利潤(rùn)為5元／斤．設(shè)準(zhǔn)備了蝦仁餃子m（m為正整數(shù)）斤，這200斤餃子的銷售總利潤(rùn)為w元（假設(shè)這200斤餃子均可售出）．
（1）求w與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）該飯店如何準(zhǔn)備這兩種餃子的數(shù)量，才能獲利最大？
23. 某地教育考試中心為了解中考體育選報(bào)“引體向上”項(xiàng)目初三年級(jí)男生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了本地部分選報(bào)“引體向上”項(xiàng)目初三年級(jí)男生的平時(shí)測(cè)試成績(jī)，并將測(cè)試成績(jī)繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題．
（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中的__________．
（2）補(bǔ)全條形圖．
（3）測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是__________個(gè)、__________個(gè)．
（4）若該地體育中考選報(bào)“引體向上”的男生共有人，體育中考引體向上達(dá)個(gè)以上（含個(gè)），則該項(xiàng)目即為滿分，請(qǐng)你估計(jì)該地體育中考中選報(bào)“引體向上”的男生該項(xiàng)目能獲得滿分的人數(shù)．
24. 如圖中，，平分交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，為半徑作交于點(diǎn)F．
（1）求證：與相切；
（2）若，試求的長(zhǎng)．
25. 如圖1，這是一座位于山谷中的大橋，全長(zhǎng)70米，橋面水平，橋底近似為拋物線，橋面和橋底用若干混凝土石柱豎直支撐．經(jīng)測(cè)量，當(dāng)在橋面上距離橋頭35米時(shí)，橋面和橋底的支撐石柱最長(zhǎng)，長(zhǎng)度為20米．以橋面為x軸，左側(cè)橋頭為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若其中一根石柱的長(zhǎng)度為16.8米，則這根石柱安放的位置距離左側(cè)橋頭多遠(yuǎn)？
26. 【問(wèn)題探究】
下面是某品牌新能源車輛的車機(jī)智駕系統(tǒng)關(guān)于彎道對(duì)通行車輛長(zhǎng)度的限制的研究．
（1）用線段模擬汽車通過(guò)寬度相同直角彎道，探究發(fā)現(xiàn)：
①當(dāng)時(shí)（如圖1），線段__________（填“能”或“不能”）通過(guò)直角彎道．
②當(dāng)時(shí)，必然存在線段的中點(diǎn)E與點(diǎn)B重合的情況，線段恰好不能通過(guò)直角彎道（如圖2）．此時(shí)，的度數(shù)是__________．
③當(dāng)時(shí)，線段__________（填“能”或“不能”）通過(guò)直角彎道．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖3，某彎道外側(cè)形狀可近似看成反比例函數(shù)的圖象，第一象限的角平分線交圖象于點(diǎn)A，彎道內(nèi)側(cè)的頂點(diǎn)B在射線上，彎道內(nèi)側(cè)的兩邊分別與x軸、y軸平行，，．用矩形模擬汽車，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且時(shí)，矩形恰好不能通過(guò)該彎道．若，，要使矩形能通過(guò)該彎道，求b的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：，）
絕密★啟用前 試卷類型：A
九年級(jí)學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)
數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．全卷滿分120分，答題時(shí)間為120分鐘．
2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. -8的倒數(shù)是（ ）
A. -8B. 8C. -D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，互為倒數(shù)的兩數(shù)乘積為1，-8×(-)=1，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)倒數(shù)的定義得：-8×(-)=1，
因此-8的倒數(shù)是-．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查倒數(shù)的概念及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．
2. 下列是陜西4個(gè)地市高中的圖標(biāo)，其中小圓內(nèi)的圖案（不包括數(shù)字）即是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的定義，數(shù)形結(jié)合分析即可求解．
軸對(duì)稱圖形，是指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸；中心對(duì)稱，在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)明這兩個(gè)圖形的形狀關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心；根據(jù)上述定義，數(shù)形結(jié)合，找出對(duì)稱軸，對(duì)稱中心即可求解．
【詳解】解：小圓內(nèi)的圖案（不包括數(shù)字），
A、有對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、沒(méi)有對(duì)稱軸，也沒(méi)有對(duì)稱中心，既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、有對(duì)稱軸，有對(duì)稱中心，既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
D、沒(méi)有對(duì)稱軸，也沒(méi)有對(duì)稱中心，既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
故選：C ．
3. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨著我國(guó)人口政策的調(diào)整優(yōu)化，2024年我國(guó)新生兒數(shù)量達(dá)到954萬(wàn)人，結(jié)束了連續(xù)七年的下降趨勢(shì)．?dāng)?shù)據(jù)“954萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的概念：將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【詳解】解：954萬(wàn)，
故選：B．
4. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪相除，利用相關(guān)法則逐一計(jì)算判斷即可，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、，故該選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
5. 如圖，在平行四邊形中，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接，使．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等得，然后在根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，幾何圖形面積的計(jì)算，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，幾何圖形面積的計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】解：一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
故選：D ．
7. 如圖，在中，弦，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接，．若，，則度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，過(guò)點(diǎn)作，求得，再利用圓周角定理即可求得，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故選：C．
8. 已知拋物線，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的最大值是，最小值是，則的值是（ ）
A B. 13C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的開(kāi)口，對(duì)稱軸，增減性是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)解析式得到二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸直線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此得到，，即可求解．
【詳解】解：拋物線，
∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸直線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的最大值是，最小值是，
∴，
故選：A ．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 在，3.010010001，，這個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算，無(wú)理數(shù)的識(shí)別，掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵．
無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)的有：含有的最簡(jiǎn)式子，開(kāi)不盡方的數(shù)，特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)（如相連兩個(gè)2之間1的個(gè)數(shù)逐漸增加），由此即可求解．
【詳解】解：是有理數(shù)，是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，是開(kāi)不盡方的數(shù)，屬于無(wú)理數(shù)，
故答案為： ．
10. 正九邊形的一個(gè)外角為_(kāi)________度．
【答案】40
【解析】
【分析】正多邊形的外角都相等，用外角和360°除以邊數(shù)9，即得一個(gè)外角度數(shù)．
【詳解】∵正多邊形每個(gè)內(nèi)角都相等
∴正多邊形每個(gè)外角都相等．
又∵多邊形外角和為360°
∴正九邊形的一個(gè)外角為：360°÷9=40°．
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】此題考查正多邊形角的計(jì)算．其關(guān)鍵點(diǎn)是要抓住外角和為360°與邊數(shù)無(wú)關(guān)，和每個(gè)內(nèi)角都相等．
11. 明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有一個(gè)“以碗知僧”的問(wèn)題：“巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧．三百六十四只碗，恰合用盡不差爭(zhēng)．三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹．請(qǐng)問(wèn)先生能算者，都來(lái)寺內(nèi)幾多僧？”其大意：山上有一座古寺叫都來(lái)寺．在這座寺廟里，位和尚合吃一碗飯，位和尚合分一碗湯，一共用了只碗．設(shè)都來(lái)寺里有位和尚，則可列方程：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)都來(lái)寺里有位和尚，由題意列出方程即可，讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)都來(lái)寺里有位和尚，
由題意得：，
故答案為：．
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的兩個(gè)頂點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，對(duì)角線的交點(diǎn)恰好是原點(diǎn)，且對(duì)角線所在直線是第二、四象限的角平分線．若，，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，待定系數(shù)法反比例函數(shù)解析式，勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理得到，待定系數(shù)法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得到，對(duì)角線所在直線是第二、四象限的角平分線，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示，可得，，即，則，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∵對(duì)角線所在直線是第二、四象限的角平分線，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，（負(fù)值舍去），
∴，
∴，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為，
故答案為： ．
13. 如圖，為的直徑，C為半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向外作等邊（點(diǎn)D在直線的上方），連接．若的半徑為2，則線段的最大值為_(kāi)_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到圓的距離，以為邊作等邊三角形，連接，證明，可得點(diǎn)D在以點(diǎn)E為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，即可解答，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
點(diǎn)D在以點(diǎn)E為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)O，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，OD最大，最大值為．
故答案：．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，乘方運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，乘方運(yùn)算，再進(jìn)行加減計(jì)算．
【詳解】解：原式．
15. 解不等式組：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查解不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的求解方法是解題的關(guān)鍵．
運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解，再根據(jù)不等式組的求解方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無(wú)解”即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式組的解集為．
16. 解分式方程：．
【答案】原方程無(wú)解
【解析】
【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程，然后檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：
方程兩邊同時(shí)乘以得：
解得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴是原方程的增根，
∴原方程無(wú)解．
17. 如圖，有一圓弧形拱橋，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓弧所在圓的半徑．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了尺規(guī)作垂線，垂直平分線的性質(zhì)，圓心的確定方法，掌握?qǐng)A心的確定方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圓心到圓上的各點(diǎn)的距離相等，垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作垂線即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

連接，分別以點(diǎn)為圓心，以大于為半徑畫弧，得到兩個(gè)交點(diǎn)，連接兩交點(diǎn)得到線段的垂直平分線，交圓弧于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
同理，連接，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，
∴即為所求．
18. 如圖，與交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意證明即可求解．
【詳解】證明：，
，
，
，
在和中，
，
，
．
19. 某班有兩名男生、兩名女生報(bào)名參加志愿者活動(dòng)．
（1）若從該四人中任選一人參加志愿者活動(dòng)，則選中男生的概率為_(kāi)_________．
（2）若從該四人中任選兩人參加志愿者活動(dòng)，求選中的兩人都是男生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了用列表或者畫樹(shù)狀圖法求概率，正確畫出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)概率公式即可解答；
（2）畫出樹(shù)狀圖，根據(jù)概率公式即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：從該四人中任選一人參加志愿者活動(dòng)，則選中男生的概率為，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：畫樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)狀圖，可知所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中選中的兩人都是男生的結(jié)果共有2種，
．
20. 今年2月，我國(guó)自主研發(fā)的AI軟件DeepSeek一經(jīng)發(fā)布，便占據(jù)各大應(yīng)用市場(chǎng)下載榜首位．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該軟件首日在某平臺(tái)的下載量為50萬(wàn)次，第二天、第三天下載量連續(xù)增長(zhǎng)，第三天為162萬(wàn)次．求第二天、第三天下載量的平均增長(zhǎng)率．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵，設(shè)第二天、第三天下載量的平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)首日在某平臺(tái)的下載量為50萬(wàn)次，第二天、第三天下載量連續(xù)增長(zhǎng)，第三天為162萬(wàn)次，列方程，解方程即可得解．
【詳解】解：設(shè)第二天、第三天下載量的平均增長(zhǎng)率為x．
根據(jù)題意，得，
解得，（舍去）．
答：第二天、第三天下載量的平均增長(zhǎng)率為．
21. 如圖，這是小雅同學(xué)為準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)考試組裝的制取氧氣的實(shí)驗(yàn)裝置．已知試管，，試管傾斜角為．實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊貼水槽，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，（點(diǎn)在同一條直線上）．經(jīng)測(cè)量，得，，．請(qǐng)求出鐵架桿與水槽之間的水平距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，在中，有正余弦可得∴，，，，由題意得到，，，由即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，
．
，
四邊形是矩形，
，，
在中，，，
∴，
∴，
，，，
，
，，
．
22. 冬至是我國(guó)重要的傳統(tǒng)節(jié)氣之一，民間流傳著諺語(yǔ)“冬至不端餃子碗，凍掉耳朵沒(méi)人管”．某飯店準(zhǔn)備了蝦仁、羊肉兩種餃子共200斤進(jìn)行銷售，其中蝦仁餃子的數(shù)量不高于羊肉餃子數(shù)量的一半．已知蝦仁餃子的利潤(rùn)為9元／斤，羊肉餃子的利潤(rùn)為5元／斤．設(shè)準(zhǔn)備了蝦仁餃子m（m為正整數(shù)）斤，這200斤餃子的銷售總利潤(rùn)為w元（假設(shè)這200斤餃子均可售出）．
（1）求w與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）該飯店如何準(zhǔn)備這兩種餃子的數(shù)量，才能獲利最大？
【答案】（1）
（2）準(zhǔn)備蝦仁餃子66斤，羊肉餃子134斤時(shí)，才能使獲利最大，最大利潤(rùn)是1264元
【解析】
【分析】本題主要考查一次函數(shù)的運(yùn)用，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，增減性，最值的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)準(zhǔn)備了蝦仁餃子m（m為正整數(shù)）斤，羊肉有斤，蝦仁餃子的利潤(rùn)為9元／斤，羊肉餃子的利潤(rùn)為5元／斤，由此列式即可求解；
（2）根據(jù)一次函數(shù)求最值的計(jì)算方法即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：蝦仁、羊肉兩種餃子共200斤，蝦仁餃子的利潤(rùn)為9元／斤，羊肉餃子的利潤(rùn)為5元／斤，設(shè)準(zhǔn)備了蝦仁餃子m（m為正整數(shù)）斤，這200斤餃子的銷售總利潤(rùn)為w元（假設(shè)這200斤餃子均可售出），
∴羊肉有斤，
∴銷售總利潤(rùn)為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：已知蝦仁、羊肉兩種餃子共200斤進(jìn)行銷售，其中蝦仁餃子的數(shù)量不高于羊肉餃子數(shù)量的一半，
∴，
解得，，
，
隨m的增大而增大，
為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，w有最大值，
，
．
答：該飯店準(zhǔn)備蝦仁餃子66斤，羊肉餃子134斤時(shí)，才能使獲利最大，最大利潤(rùn)是1264元．
23. 某地教育考試中心為了解中考體育選報(bào)“引體向上”項(xiàng)目初三年級(jí)男生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了本地部分選報(bào)“引體向上”項(xiàng)目初三年級(jí)男生的平時(shí)測(cè)試成績(jī)，并將測(cè)試成績(jī)繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題．
（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中的__________．
（2）補(bǔ)全條形圖．
（3）測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是__________個(gè)、__________個(gè)．
（4）若該地體育中考選報(bào)“引體向上”的男生共有人，體育中考引體向上達(dá)個(gè)以上（含個(gè)），則該項(xiàng)目即為滿分，請(qǐng)你估計(jì)該地體育中考中選報(bào)“引體向上”的男生該項(xiàng)目能獲得滿分的人數(shù)．
【答案】（1）；
（2）見(jiàn)解析； （3），；
（4）人．
【解析】
【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，眾數(shù)與中位數(shù)的意義，樣本估計(jì)總體，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）用減去其他所占的百分比即可得到的值；
（）先求出隨機(jī)抽取的人數(shù)（人），然后乘以測(cè)試成績(jī)?yōu)閭€(gè)的占比得到測(cè)試成績(jī)?yōu)閭€(gè)的人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；
（）根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可；
（）用乘以樣本中得滿分的學(xué)生所占比即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
故答案：；
【小問(wèn)2詳解】
解：（人），（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問(wèn)3詳解】
解：由條形圖可知，引體向上個(gè)的學(xué)生有人，人數(shù)最多，所以眾數(shù)是；
由于隨機(jī)抽取共名同學(xué)，排序后第名與第名同學(xué)的成績(jī)都是個(gè)，
故中位數(shù)為，
故答案為：，；
【小問(wèn)4詳解】
解：（人），
答：估計(jì)該地體育中考選報(bào)“引體向上”的男生該項(xiàng)目能獲得滿分的有人．
24. 如圖中，，平分交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，為半徑作交于點(diǎn)F．
（1）求證：與相切；
（2）若，試求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）3
【解析】
【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合，熟練掌握角平分線性質(zhì)，圓切線判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，是解題的關(guān)鍵．
（1）作于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線性質(zhì)得，得點(diǎn)H在上，即得與相切；
（2）根據(jù)勾股定理得，得，根據(jù)是的切線，得，得，根據(jù)，得，解得，，即得．
【小問(wèn)1詳解】
證明：作于點(diǎn)H，
∵平分，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)H在上，
∴與相切．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，，
∴是切線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為3．
25. 如圖1，這是一座位于山谷中的大橋，全長(zhǎng)70米，橋面水平，橋底近似為拋物線，橋面和橋底用若干混凝土石柱豎直支撐．經(jīng)測(cè)量，當(dāng)在橋面上距離橋頭35米時(shí)，橋面和橋底的支撐石柱最長(zhǎng)，長(zhǎng)度為20米．以橋面為x軸，左側(cè)橋頭為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若其中一根石柱的長(zhǎng)度為16.8米，則這根石柱安放的位置距離左側(cè)橋頭多遠(yuǎn)？
【答案】（1）
（2）21米或49米
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線為頂點(diǎn)式，再將代入即可解答；
（2）將代入二次函數(shù)解析式即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意，可知該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
拋物線過(guò)點(diǎn)，
，
解得，
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：令，
，
或，
這根石柱安放的位置在距離左側(cè)橋頭21米或49米的地方．
26. 【問(wèn)題探究】
下面是某品牌新能源車輛的車機(jī)智駕系統(tǒng)關(guān)于彎道對(duì)通行車輛長(zhǎng)度的限制的研究．
（1）用線段模擬汽車通過(guò)寬度相同的直角彎道，探究發(fā)現(xiàn)：
①當(dāng)時(shí)（如圖1），線段__________（填“能”或“不能”）通過(guò)直角彎道．
②當(dāng)時(shí)，必然存在線段的中點(diǎn)E與點(diǎn)B重合的情況，線段恰好不能通過(guò)直角彎道（如圖2）．此時(shí)，的度數(shù)是__________．
③當(dāng)時(shí)，線段__________（填“能”或“不能”）通過(guò)直角彎道．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖3，某彎道外側(cè)形狀可近似看成反比例函數(shù)的圖象，第一象限的角平分線交圖象于點(diǎn)A，彎道內(nèi)側(cè)的頂點(diǎn)B在射線上，彎道內(nèi)側(cè)的兩邊分別與x軸、y軸平行，，．用矩形模擬汽車，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且時(shí)，矩形恰好不能通過(guò)該彎道．若，，要使矩形能通過(guò)該彎道，求b的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）①能，②，③不能；（2）6
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）①利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答；
②過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明，即可求得，即可解答；
③利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得反比例函數(shù)解析式，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，即可求得直線的解析式，列方程，求得的坐標(biāo)，即可求得的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】解：（1）①如圖，當(dāng)時(shí)，線段恰好不能通過(guò)直角彎道，
當(dāng)時(shí)，線段能通過(guò)直角彎道，
故答案為：能；
②如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
，
，
線段模擬汽車通過(guò)寬度相同的直角彎道，
，
，
，
，
由題意可得，
，
當(dāng)時(shí)，必然存在線段的中點(diǎn)E與點(diǎn)B重合的情況，
，
，
故答案為：；
③根據(jù)①可得，當(dāng)時(shí)，線段不能通過(guò)直角彎道，
故答案為：不能；
解：（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
第一象限的角平分線交圖象于點(diǎn)A，彎道內(nèi)側(cè)的頂點(diǎn)B在射線上，
，
為等腰直角三角形，
，
，
，
把代入，可得，
解得，
反比例函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
，
，
根據(jù)（1）中可得與軸的夾角為，
故可設(shè)直線的解析式為，
把代入可得，
解得，
直線的解析式為，
令，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
,
，
，
要使矩形能通過(guò)該彎道，b的最大整數(shù)值為．

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