知識點01等差數(shù)列的前n項和公式
注:(1)等差數(shù)列的前n和公式的推導(dǎo)
對于一般的等差數(shù)列{an},如何求其前n項和Sn?設(shè)其首項為a1,公差為d.(倒序相加法)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn=a1+a2+a3+…+an,,Sn=an+an-1+an-2+…+a1,))
?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn=a1+a1+d+a1+2d+…+a1+?n-1?d,,Sn=an+an-d+an-2d+…+an-?n-1?d,))
兩式相加可得2Sn=n(a1+an),即Sn=eq \f(n?a1+an?,2),上述過程實際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項的和相等.
我們不妨將上面的推導(dǎo)方法稱為倒序相加求和法. 今后,某些數(shù)列求和常常會用到這種方法.
(2)公式的結(jié)構(gòu)
①Sn=na1+an2形似于梯形面積公式.
②Sn=na1+nn?12d=d2n2+a1?d2n形似n的二次式,且常數(shù)項為0,n2的系數(shù)為d2即公差的一半.
(3)等差數(shù)列{an}的前n項和公式的函數(shù)特征
Sn=eq \f(n?a1+an?,2) eq \(――→,\s\up7(an=a1+?n-1?d),\s\d5( ))Sn=na1+eq \f(n?n-1?,2)d=eq \f(d,2)n2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1-\f(d,2)))n?當(dāng)d≠0時,Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式,即點(n,Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上,這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù),它的圖象是拋物線y=eq \f(d,2)x2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1-\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點.且d>0時圖象開口向上,d0時,Sn有最小值;當(dāng)d0,d>0時Sn有最小值S1,當(dāng)a1

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2.2 等差數(shù)列的前n項和

版本: 北師大版 (2019)

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