第1章：數(shù)列章末綜合測(cè)試卷 （考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分） 注意事項(xiàng)： 1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。 2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。 3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。 4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（2024·云南昆明·一模）若an是等比數(shù)列，a1=1，a3=5，則a5=（???） A．7 B．9 C．25 D．35 【答案】C 【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解. 【詳解】{an}是等比數(shù)列，a1=1，a3=5， 則q2=a3a1=5，故a5=a3q2=5×5=25． 故選：C． 2．（2024·云南貴州·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且S55-S33=2 ，則數(shù)列an的公差為（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出等式即可求解. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d. 因?yàn)閍1=1， 所以S5=5a1+5×42×d=5+10d，S3=3a1+3×22×d=3+3d. 又因?yàn)镾55-S33=2， 所以5+10d5-3+3d3=2，解得：d=2. 故選：B. 3．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：an∈Z，a4=1，an+1=an2,an為偶數(shù),3an+1,an為奇數(shù).則a1所有可能的取值之和是（????） A．6 B．7 C．9 D．17 【答案】C 【分析】分奇數(shù)與偶數(shù)討論，結(jié)合已知條件，解即可. 【詳解】若a3為偶數(shù)，則由a4=1可得a4=a32?a3=2，若a3為奇數(shù)不成立，舍去； 若a2為偶數(shù)，則由a3=2可得a3=a22?a2=4，若a2為奇數(shù)不成立，舍去； 若a1為偶數(shù)，則由a2=4可得a2=a12?a1=8，若a1為奇數(shù)a2=3a1+1?a1=1. 故a1=1或8， 綜上，a1所有取值之和為9， 故選：C. 4．（2024·云南紅河·二模）孫子定理是中國(guó)古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個(gè)重要定理，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，1874年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1至2024這2024個(gè)整數(shù)中能被2除余1且被3除余2的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列an.設(shè)bn=(2)an，則bn+1bn=（????） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【分析】被2除余1且被3除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為6的等差數(shù)列，得出通項(xiàng)公式an=6n-1，代入bn=(2)an，進(jìn)而求得bn+1bn. 【詳解】被2除余1且被3除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為6的等差數(shù)列， 所以an=5+n-1×6=6n-11≤n≤337，n∈N*， 故bn=2an=26n-1，bn+1bn=26n+526n-1=26=8. 故選：A. 5．（2012高一·全國(guó)·競(jìng)賽）an為正項(xiàng)等比數(shù)列，且a4a9+a5a8=16，則log2a1+log2a2+?+log2a12=（????）． A．18 B．16 C．14+log23 D．12+2log23 【答案】A 【分析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案. 【詳解】a4a9+a5a8=2a1a12=8, 所以a1a12=8， log2a1+log2a2+?+log2a12=log2a1a2a3?a12=log2a1a126=log286=6log28=18, 故選：A. 6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列an中，已知a3與a9是方程2x2-x+m=0的兩根，則12log4a1+a2+?+a11=（???） A．1111 B．21111 C．114 D．112 【答案】B 【分析】由韋達(dá)定理得到a3+a9=12，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得到a1+a2+?+a11的值，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可求值. 【詳解】因?yàn)閍3與a9是方程2x2-x+m=0的兩根，由韋達(dá)定理得a3+a9=12， 因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以a1+a11=a2+a10=a3+a9=2a6=12，a6=14， 所以12log4a1+a2+?+a11=12log411a6=12log4114=2log4411=2log221111=21111， 故選：B. 7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在等比數(shù)列an中，2a2+a3=15，a2a3a4=729，則Sn-an=（????） A．2×3n-1-2 B．123n-1-1 C．2×3n-n D．5×3n-3 【答案】B 【分析】借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得. 【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列an中，a2a3a4=729，所以a33=729，解得a3=9， 又2a2+a3=15，解得a2=3， 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q=a3a2=93=3， 所以a1=1，所以Sn-an=1-3n1-3-3n-1=123n-1-1. 故選：B． 8．（23-24高二下·吉林通化·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為2，設(shè)cn=abn，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，則當(dāng)Tn0，∴數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增， 又∵ T9=210-2-9=1024-11=10132023， ∴當(dāng)Tn0， 故an+1∈0,π2,tan2an+1=1cos2an=sin2an+cos2ancos2an=1+tan2an， 則tan2an+1-tan2an=1， 故數(shù)列tan2an是以1為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為tan2a1=tan2π6=13， 故tan2an=n-1+13=3n-23， 即tanan=3n-23. （2）sina1?sina2???sinam=tana1cosa1tana2cosa2??tanamcosam =tana1tana2?tana2tana3???tanamtanam+1 =tana1tanam+1=13m+1， 由13m+1=1100，得m=3333. 18．（23-24高二下·云南昭通·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的公差為12，數(shù)列an與數(shù)列bn滿足an+1bn+1-anbn+1=bn且a15=b2=2． (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn． 【答案】(1)an=12n-112，bn=2n-1； (2)Sn=14n2-214n，Tn=2n-1. 【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出an，利用給定的遞推公式判斷等比數(shù)列，再求出通項(xiàng). （2）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即得. 【詳解】（1）由等差數(shù)列an的公差為12，a15=2，得an=a15+(n-15)?12=12n-112，而an+1-an=12， 由an+1bn+1-anbn+1=bn，得(an+1-an)bn+1=bn，則bn+1=2bn，而b2=2， 顯然數(shù)列bn是等比數(shù)列，于是bn=b2?2n-2=2n-1， 所以數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式分別為an=12n-112，bn=2n-1. （2）由（1）知，an=12n-112，bn=2n-1， 所以Sn=n(-5+12n-112)2=14n2-214n，Tn=1-2n1-2=2n-1. 19．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1=3Sn+1，其中n∈N*. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列dn中是否存在不同三項(xiàng)dm，dk，dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)an=3n-1 (2)不存在，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得an+1=3ann≥2，從而可得公比，故可求首項(xiàng)從而得到通項(xiàng)公式； （2）先求出dn的通項(xiàng)，再利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得矛盾，從而得到數(shù)列dn中不存在不同三項(xiàng)dm，dk，dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列. 【詳解】（1）因?yàn)镾n+1=3Sn+1，故Sn=3Sn-1+1，故an+1=3ann≥2， 而an為等比數(shù)列，故其公比為3， 又S2=3S1+1，故3a1+a1=3a1+1，故a1=1， 故an=1×3n-1=3n-1. （2）由題設(shè)可得dn=an+1-ann+2-1=2×3n-1n+1， 若數(shù)列dn中存在不同三項(xiàng)dm，dk，dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列， 則2×3k-1k+12=2×3m-1m+1×2×3p-1p+1，因m,k,p為等差數(shù)列， 故k+12=m+1×ep+1即k2=mp，故m+p22=mp， 故m=p即m=p=k，這樣m,k,p不同矛盾， 故數(shù)列dn中不存在不同三項(xiàng)dm，dk，dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列. 1a4b6dce20

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本章綜合與測(cè)試

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