導(dǎo)語
我們知道，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)形式，那么等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是否具有二次函數(shù)的性質(zhì)呢？除此之外，它還有什么樣的性質(zhì)呢？
一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
問題1 等差數(shù)列{an}中，你能發(fā)現(xiàn)其前n項(xiàng)和Sn、前2n項(xiàng)和S2n與前3n項(xiàng)和S3n有何關(guān)系嗎？
提示 S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同樣我們發(fā)現(xiàn)S3n＝3Sn＋3n2d，這里出現(xiàn)了一個(gè)有意思的數(shù)列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一個(gè)公差為n2d的等差數(shù)列．
問題2 公差為d，項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng)的等差數(shù)列{an}中，各項(xiàng)和S2n、奇數(shù)項(xiàng)之和S奇與偶數(shù)項(xiàng)之和S偶分別如何表示？若項(xiàng)數(shù)為(2n＋1)項(xiàng)呢？
提示 (1)若數(shù)列共有2n項(xiàng)，則
S2n＝eq \f(2n?a1＋a2n?,2)＝eq \f(2n?an＋an＋1?,2)＝n(an＋an＋1)，
S奇＝eq \f(n?a1＋a2n－1?,2)＝eq \f(2nan,2)＝nan，
S偶＝eq \f(n?a2＋a2n?,2)＝eq \f(2nan＋1,2)＝nan＋1.
(2)若數(shù)列共有(2n＋1)項(xiàng)，則
S2n＋1＝eq \f(?2n＋1??a1＋a2n＋1?,2)＝eq \f(2?2n＋1?an＋1,2)＝(2n＋1)an＋1，
S奇＝eq \f(?n＋1??a1＋a2n＋1?,2)＝eq \f(2?n＋1?an＋1,2)＝(n＋1)an＋1，
S偶＝eq \f(n?a2＋a2n?,2)＝eq \f(2nan＋1,2)＝nan＋1.
知識(shí)梳理
等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)
角度1 “片段和”性質(zhì)的應(yīng)用
例1 已知等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為30，前6項(xiàng)的和為100，則它的前9項(xiàng)的和為( )
A．130 B．170 C．210 D．260
答案 C
解析 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，
解得S9＝210.
角度2 “奇偶項(xiàng)”性質(zhì)的應(yīng)用
例2 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)．
解 設(shè)等差數(shù)列{an}共有(2n＋1)項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有(n＋1)個(gè)，偶數(shù)項(xiàng)有n個(gè)，中間項(xiàng)是第(n＋1)項(xiàng)，即an＋1，
所以eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(\f(1,2)?a1＋a2n＋1?·?n＋1?,\f(1,2)?a2＋a2n?·n)＝eq \f(?n＋1?an＋1,nan＋1)＝eq \f(n＋1,n)＝eq \f(44,33)＝eq \f(4,3)，解得n＝3.
又因?yàn)镾奇＝(n＋1)·an＋1＝44，
所以an＋1＝11.
故這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)為11，共有2n＋1＝7(項(xiàng))．
反思感悟 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡化計(jì)算
(1)在解決等差數(shù)列問題時(shí)，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有時(shí)運(yùn)算量大些．
(2) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．
(3)設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)在等差數(shù)列{an}中，若S4＝1，S8＝4，則a17＋a18＋a19＋a20的值為( )
A．9 B．12 C．16 D．17
答案 A
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)知S4，S8－S4，S12－S8，…也構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項(xiàng)中，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(11,13)，則公差d＝________.
答案 2
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝120，,\f(S奇,S偶)＝\f(11,13)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＝55，,S偶＝65，))
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)與最值
問題3 根據(jù)上節(jié)課所學(xué)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有什么樣的函數(shù)特點(diǎn)？
提示 由Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d，可知Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．該函數(shù)的定義域是n∈N＋，公差的符號(hào)決定了該二次函數(shù)的開口方向，通項(xiàng)簡記為Sn＝An2＋Bn.
知識(shí)梳理
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)與最值
1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d可化成關(guān)于n的函數(shù)得Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
2．因?yàn)镾n＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d0，d0，d>0時(shí)，Sn有最小值S1；當(dāng)a1a3>a4>a5>a6＝0，a70，公差d0，d0，C中曲線滿足．
3．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 ∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，
∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
4．在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，則正整數(shù)k為( )
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021
答案 D
解析 因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，
所以由二次函數(shù)的對(duì)稱性及S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，
可得eq \f(2 012＋2 019,2)＝eq \f(2 010＋k,2)，
解得k＝2 021.
5．含2n＋1項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為( )
A.eq \f(2n＋1,n) B.eq \f(n＋1,n) C.eq \f(n－1,n) D.eq \f(n＋1,2n)
答案 B
解析 S奇＝eq \f(?n＋1??a1＋a2n＋1?,2)，S偶＝eq \f(n?a2＋a2n?,2)，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n＋1,n).
6．(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S5S8，則下列結(jié)論正確的是( )
A．dS5
D．S6與S7均為Sn的最大值
答案 ABD
解析 ∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a80，∴d0，②正確．
S12＝eq \f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正確．
{Sn}中最大項(xiàng)為S6，④不正確．
故正確的是①②.
12．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d變化時(shí)，若a5＋a8＋a11是一個(gè)定值，則下列為定值的是( )
A．S17 B．S18 C．S15 D．S16
答案 C
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a5＋a11＝2a8，由a5＋a8＋a11為定值，得a8為定值．又因?yàn)镾15＝eq \f(15?a1＋a15?,2)＝eq \f(15×2a8,2)＝15a8，所以S15為定值．
13．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq \f(An,Bn)＝eq \f(7n＋45,n＋3)(n∈N＋)，則eq \f(a7,b7)＋eq \f(a9,b11)＝________.
答案 eq \f(46,3)
解析 設(shè)An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，則n≥2，n∈N＋時(shí)，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，則eq \f(a7,b7)＝eq \f(k?14×7＋38?,k?2×7＋2?)＝eq \f(17,2)，eq \f(a9,b11)＝eq \f(k?14×9＋38?,k?2×11＋2?)＝eq \f(41,6)，所以eq \f(a7,b7)＋eq \f(a9,b11)＝eq \f(17,2)＋eq \f(41,6)＝eq \f(46,3).
14．已知在無窮項(xiàng)等差數(shù)列{an}中，它的前n項(xiàng)和為Sn，且S7>S6，S7>S8，若數(shù)列{bn}中bn＝|an|，數(shù)列{bn}的和為Tn，則下列命題正確的是________(填序號(hào))．
①{bn}中b7最大；②{an}中a3或a4最大；
③當(dāng)n≥8時(shí)，anS6知a7>0，由S7>S8知a8t.∴t∈(－∞，－64)．性質(zhì)1：“片段和”性質(zhì)
等差數(shù)列中依次k項(xiàng)之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列
性質(zhì)2：“奇偶項(xiàng)”性質(zhì)
若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N＋)，則S2n－1＝(2n－1)an(an是數(shù)列的中間項(xiàng))，S奇－S偶＝an，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n－1,n)(S奇≠0)

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

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