蘇教版必修一模型綜合訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【中考母題學(xué)方法】
【典例1-1】（2022?建湖縣一模）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2020?武漢模擬）平面直角坐標(biāo)系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．7
【典例1-3】（2022?開(kāi)州區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中點(diǎn)，E為AC邊上任意一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，交AB于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若AB＝6，AE＝，求ED的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)G恰好是EF的中點(diǎn)，連接BF，求證：CD＝BF；
（3）如圖3，若AB＝4，連接CF，當(dāng)CF+BF取得最小值時(shí)．請(qǐng)直接寫(xiě)出S△CEF的值．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
【變式1-2】已知直線y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在拋物線y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（）
A．8個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【變式1-3】如圖，已知點(diǎn)A（1，2）是反比例函數(shù)y＝圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)；若△PAB是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．
題型二：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
【中考母題學(xué)方法】
【典例2-1】（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)．連接、、，且．

(1)求證：為的切線；
(2)延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，求證：；
(3)若，求陰影部分的面積．
【典例2-2】（2023·福建泉州·二模）如圖，是半圓的直徑，與半圓相切于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若的半徑為，求的長(zhǎng)．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，若△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C共有（）
A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)
【變式2-2】（2022·浙江寧波·二模）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，其中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn) ．
(1)證明：；
(2)如圖 2，若，且恰好經(jīng)過(guò)圓心，求的值；
(3)若，設(shè)的長(zhǎng)為．
①如圖3，用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)；
②如圖4，恰好經(jīng)過(guò)圓心，求內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．
【變式2-3】（2021·浙江杭州·一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C重合），連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，△ADF的外接圓O交邊CD于點(diǎn)G，連接GA、GE，設(shè)＝α．
（1）求∠EAG的度數(shù)．
（2）當(dāng)α＝時(shí)，求tan∠AEG．
（3）用α的代數(shù)式表示，并說(shuō)明理由．
【變式2-4】（2023·黑龍江哈爾濱·二模）如圖1，內(nèi)接于中，為直徑，點(diǎn)在弧上，連接．

(1)求證：；
(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：；
(3)在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)在線段上，連接交于點(diǎn)，若，，，求線段的長(zhǎng)．
題型三：胡不歸模型
【中考母題學(xué)方法】
【典例3-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．
【典例3-2】（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【典例3-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
【嘗試初探】
（1）如圖①，在四邊形中，若，，，求的長(zhǎng)；
【深入探究】
（2）如圖②，在四邊形中，若，，，求的長(zhǎng)；
【拓展延伸】
（3）如圖③，在四邊形中，若，，，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式3-1】（22-23九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，中，，，于點(diǎn)E，D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）

A．B．C．D．10
【變式3-2】（2023·安徽黃山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式3-3】（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，若，函數(shù)的最小值為，且．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)如果將該拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形．當(dāng)函數(shù)的圖象與圖形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于時(shí)，求的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，函數(shù)的圖象與圖形的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，若過(guò)作平行于軸的直線交圖形于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，已知點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的速度為單位長(zhǎng)度每秒，在上運(yùn)動(dòng)的速度為單位長(zhǎng)度每秒．求當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式3-4】（24-25九年級(jí)上·海南三亞·期末）如圖1，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
①求四邊形的面積；
②求的邊CE上的高的最大值；
③如圖2，在②的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)G，使得的值最小？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-5】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．

(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在（1）條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少?
【變式3-6】（2023·廣西柳州·二模）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-7】（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的理由；
(3)在M，N移動(dòng)的過(guò)程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫(xiě)出理由．
題型四：阿氏圓模型
【中考母題學(xué)方法】
【典例4-1】（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．
【典例4-2】（2023·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是第一象限的動(dòng)點(diǎn)且，線段繞點(diǎn)在第一象限轉(zhuǎn)動(dòng)；
（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)到的最近距離；
（2）試求的最小值．
【典例4-3】（2023·重慶萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作交過(guò)點(diǎn)的直線于點(diǎn)，，直線交于．
(1)如圖，若，求的長(zhǎng)；
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，取線段的中點(diǎn)，連接，求證：．
(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，連接，將沿折疊，折疊后的三角形記為，當(dāng)取得最小時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式4-1】（22-23九年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，，，，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，分別交，于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．
【變式4-2】（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、、，點(diǎn)P在第一象限，且，則的最小值為．

【變式4-3】（2020·江蘇南京·二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是 .

【變式4-4】（2022·廣東廣州·一模）已知，AB是⊙O的直徑，AB＝，AC＝BC．
(1)求弦BC的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)D是AB下方⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），以CD為邊，作正方形CDEF，如圖1所示，若M是DF的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證：線段MN的長(zhǎng)為定值；
(3)如圖2，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，且AP＝2，連接CP，PB，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段CP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值．
【變式4-5】（2022·廣東惠州·一模）如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)是直線下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使四邊形的面積為16，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【變式4-6】（2021·重慶九龍坡·二模）在中，，．若點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；
(2)如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；
(3)如圖3，若，為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，連接，，當(dāng)最小時(shí)，求．
題型五：瓜豆原理模型
【中考母題學(xué)方法】
【典例5-1】（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接，則線段的最小值為（）
A．B．C．D．3
【典例5-2】（2020·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為( )

A．B．C．D．
【典例5-3】（2023·北京海淀·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形和點(diǎn)，若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿足且，則稱點(diǎn)是圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)，．
(1)在點(diǎn)，，中，______是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
(2)是以點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓．
①當(dāng)時(shí)，若線段上任一點(diǎn)均為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求r的取值范圍；
②記線段與線段組成折線，若存在，使折線G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出r的最小值．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式5-1】（2024·安徽六安·三模）如圖，在等邊中，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角，分別交、于點(diǎn)E、F，N為線段上一動(dòng)點(diǎn)，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且，以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，．正確的個(gè)數(shù)為（）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【變式5-2】（2024·山東德州·二模）如圖，在矩形中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接，則線段的最小值為（）
A．B．5C．3D．1
【變式5-3】（2022·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是．
【變式5-4】（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．
【變式5-5】（2022九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）若，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，取點(diǎn)B，使為等腰直角三角形，，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
①點(diǎn)的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；
②的最小值是；
(2)如圖2，以為邊作等邊（點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求的最大值．
(3)如圖3，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)M，連接，則的最小值為．
【變式5-6】（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．
(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，求A′B的長(zhǎng)；
(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時(shí)，求tan∠A′AD；
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝．
分類討論:
若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A 為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑的圓上;
若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑的圓上;
若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡(jiǎn)稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無(wú)法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN以及線段AB中點(diǎn)E(共除去5個(gè)點(diǎn))需要注意細(xì)節(jié)
平面內(nèi)有兩點(diǎn)A，B，再找一點(diǎn)C，使得ABC 為直角三角形
分類討論:
若∠A=90°,則點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)A 且垂直于AB 的直線上(除點(diǎn)A外);
若∠B=90°,則點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)B外);
若∠C=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(除點(diǎn)A,B外).
以上簡(jiǎn)稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點(diǎn).
一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V11，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】垂線段最短。
動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足 PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓。
如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點(diǎn) A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值。
其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3所示。
阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過(guò)構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似。
阿氏圓最值問(wèn)題常見(jiàn)考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）；點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)了“k·PA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題．
瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。
主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
條件：1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

結(jié)論：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．
證明：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
條件：2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

結(jié)論：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
證明：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，
比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。
解題策略：1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過(guò)以下四種方法進(jìn)行確定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都不合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。

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