題型一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表
1．某校有男生人，女生人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取人進(jìn)行調(diào)查，則男生被抽取的人數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)男生被抽取的人數(shù)是，
由已知可得，
解得，.
故選：C.
2．已知三種不同型號(hào)的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為的樣本，若樣本中型號(hào)產(chǎn)品有件，則為（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】B
【解析】因?yàn)槿N不同型號(hào)的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，
且用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，
所以型號(hào)產(chǎn)品被抽的抽樣比為：，
因?yàn)樾吞?hào)產(chǎn)品有件，所以，解得.
故選：B.
3．某高校對(duì)中文系新生進(jìn)行體測(cè)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，001，002，…，649，650.從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
【答案】A
【解析】從第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，
第一個(gè)數(shù)為253，第二個(gè)數(shù)是313，
第三個(gè)數(shù)是457，下一個(gè)數(shù)是860，不符合要求，
下一個(gè)數(shù)是736，不符合要求，下一個(gè)是253，重復(fù)，
第四個(gè)是007，第五個(gè)是328，第六個(gè)數(shù)是623，，故A正確.
故選：A.
題型二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征
4．學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)十名護(hù)旗手身高（單位：cm）分別為175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，則十名護(hù)旗手身高的分位數(shù)為（ ）
A．177.5B．178C．178.5D．179
【答案】C
【解析】將這10個(gè)數(shù)從小到大排列為174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，則,故第分位數(shù)為，
故選：C
5．已知參觀某次航展的中小學(xué)生人數(shù)和購(gòu)買(mǎi)航展模型的比率分別如圖1、圖2所示.為了解各學(xué)段學(xué)生對(duì)航展的愛(ài)好程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本量和抽取的初中生里購(gòu)買(mǎi)航展模型的人數(shù)（估計(jì)值）分別為（ ）
A．200，24B．200，28C．100，24D．100，28
【答案】D
【解析】樣本量為，
抽取的初中生人數(shù)為，
所以抽取的初中生里購(gòu)買(mǎi)航展模型的人數(shù)約為.
故選：D
6．在某校高一年級(jí)參加的一次質(zhì)量檢測(cè)中，共有1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試.為了解本次考試考生的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，本中抽取了100名學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在內(nèi)，按照的分組作出頻率分布直方圖（如圖所示），據(jù)圖中數(shù)據(jù)，則（ ）
A．該樣本中學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)一定大于75
B．該樣本中學(xué)生成績(jī)的極差介于40至50之間
C．該樣本中學(xué)生成績(jī)的平均值介于70至80之間
D．若成績(jī)不低于60分為及格，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)及格人數(shù)不超過(guò)1300
【答案】C
【解析】由題意得，，解得.
對(duì)于選項(xiàng)A，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，故中位數(shù)在間，但樣本成績(jī)?cè)陂g的可能均為74分，故中位數(shù)不一定大于75，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，由極差的定義知，學(xué)生成績(jī)的極差介于40至60之間，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，由平均數(shù)的定義知，學(xué)生成績(jī)的平均成績(jī)?yōu)?，介?0至80之間，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，由于成績(jī)不低于60分的頻率為，所以成績(jī)不低于60分的人數(shù)是，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C.
題型三：傳統(tǒng)線性擬合
7．某水文站為了研究所在河段降雨量（單位：）與水位增長(zhǎng)量（單位：）之間的關(guān)系，記錄了10次相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)繪制散點(diǎn)圖可看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，并設(shè)其回歸方程為.已知和分別表示第次降雨量（單位）和水位增長(zhǎng)量（單位：cm），且.若某次降雨量為，據(jù)此估計(jì)水位增長(zhǎng)量為 .
【答案】35
【解析】由題意得，
所以，
所以回歸方程為，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以若某次降雨量為，據(jù)此估計(jì)水位增長(zhǎng)量為.
故答案為：35.
8．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用萬(wàn)元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
若有數(shù)據(jù)知對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系．其線形回歸方程為，請(qǐng)估計(jì)使用年時(shí)的維修費(fèi)用是 萬(wàn)元．
【答案】
【解析】由題意可得，，
由回歸方程過(guò)點(diǎn)可得，解得，
故方程為，
把代入可得，
故答案為：．
9．已知變量y與x線性相關(guān)，由樣本點(diǎn)求得的回歸方程為，若點(diǎn)在回歸直線上，且，，則 ．
【答案】6
【解析】由題意，點(diǎn)在回歸直線上，代入可得，，解得，
因，且樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，將條件代入得：，
故，解得．
故答案為：6.
題型四：非線性擬合處理
10．某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)，與的數(shù)據(jù)如表格所示：
得到與的線性回歸方程，則 .
【答案】
【解析】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以.
由，得，
所以，
所以.
故答案為：.
11．已知變量y關(guān)于x的回歸方程為，若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與x線性相關(guān)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示，時(shí)，預(yù)測(cè)y值為 .
【答案】/
【解析】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得 令則

代入得故
故，
當(dāng)時(shí)，
故答案為：
12．用模型擬合一組數(shù)據(jù)，若，，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則ak= .
【答案】
【解析】由題意得，因?yàn)樵诨貧w直線上，所以，由得與比較得：，a.
故答案為：.
題型五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)
13．學(xué)校開(kāi)設(shè)了游泳選修課.某教練為了解學(xué)生對(duì)游泳運(yùn)動(dòng)的喜好和性別是否有關(guān)，在全校學(xué)生中選取了男、女生各人進(jìn)行調(diào)查，并繪制如下圖所示的等高堆積條形圖.則（ ）
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
A．參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的人數(shù)比不喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的人數(shù)多
B．全校學(xué)生中喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的男生人數(shù)比喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的女生人數(shù)多
C．若，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為游泳運(yùn)動(dòng)的喜好和性別有關(guān)
D．若，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為游泳運(yùn)動(dòng)的喜好和性別有關(guān)
【答案】D
【解析】對(duì)于A，由等高堆積條形圖可知，參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的人數(shù)比不喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的人數(shù)少，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，全校學(xué)生中男生和女生人數(shù)比不確定，故不能確定全校學(xué)生中喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的男生人數(shù)比喜歡游泳運(yùn)動(dòng)的女生人數(shù)多，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，結(jié)合等高堆積條形圖可得：
故，
若，則，
故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為游泳運(yùn)動(dòng)的喜好和性別有關(guān)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為游泳運(yùn)動(dòng)的喜好和性別有關(guān)，故D正確.
故選：D
14．如圖為對(duì)某高中學(xué)生是否對(duì)父母說(shuō)過(guò)“我愛(ài)你”這樣的話的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，則下列統(tǒng)計(jì)分析中不正確的是：（ ）.
A．男性被調(diào)查者沒(méi)有對(duì)父母說(shuō)過(guò)“我愛(ài)你”這樣的話的人數(shù)比例高于女性
B．無(wú)論男女對(duì)母親說(shuō)“我愛(ài)你”這類話的比例都高于對(duì)父親所說(shuō)
C．大部分調(diào)查者沒(méi)有對(duì)父母說(shuō)過(guò)“我愛(ài)你”這樣的話
D．經(jīng)常對(duì)父母說(shuō)“我愛(ài)你”這樣的話的人數(shù)總計(jì)比例較女生比例有所下降，說(shuō)明這張統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)果可能存在錯(cuò)誤
【答案】D
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，觀察統(tǒng)計(jì)圖，比較男性和女性未對(duì)父母說(shuō)過(guò)“我愛(ài)你”的比例，
發(fā)現(xiàn)男性未說(shuō)的比例高于女性，所以A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng)，分別對(duì)比男女對(duì)母親和對(duì)父親說(shuō)“我愛(ài)你”的比例，
能看出無(wú)論男女對(duì)母親說(shuō)的比例都高于對(duì)父親說(shuō)的比例，所以B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，從統(tǒng)計(jì)圖整體來(lái)看，未說(shuō)過(guò)“我愛(ài)你”的人數(shù)比例較大，
所以大部分調(diào)查者沒(méi)有對(duì)父母說(shuō)過(guò)“我愛(ài)你”這樣的話，C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，經(jīng)常對(duì)父母說(shuō)“我愛(ài)你”的人數(shù)總計(jì)比例較女生比例有所下降，
并不能直接說(shuō)明統(tǒng)計(jì)圖結(jié)果存在錯(cuò)誤，有可能是實(shí)際調(diào)查結(jié)果就是如此，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D
15．設(shè)研究某兩個(gè)屬性變量時(shí)，作出零假設(shè)并得到2×2列聯(lián)表，計(jì)算得，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有99.5%的把握認(rèn)為不成立B．有5%的把握認(rèn)為的反面正確
C．有95%的把握判斷正確D．有95%的把握能反駁
【答案】D
【解析】依題意，，因此有95%的把握反駁，
故選：D.
題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)
16．定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“數(shù)”為:在點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如:，點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)的“數(shù)”的均值與最小值之差為 .
【答案】
【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)，可分三種情況討論：
①恰有3個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有4個(gè)；
②恰有2個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有36個(gè)；
③3個(gè)數(shù)字各不相同的排列為種，則共有24個(gè)，
所以點(diǎn)的“數(shù)”的平均值為，
則平均值與最小值之差為.
故答案為：.
17．2022年春天我國(guó)東部片區(qū)降水量出現(xiàn)近年新低，旱情嚴(yán)重，城市缺水問(wèn)題顯得較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，科學(xué)決策，在全市隨機(jī)抽取了100位居民某年的月均用水量（單位：）得到如圖所示的頻率分布直方圖，在統(tǒng)計(jì)中我們定義一個(gè)分布的分位數(shù)為滿足的，則估計(jì)本例中 .（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）
【答案】2.45
【解析】由題意可知：就是滿足的橫坐標(biāo)的值，
因?yàn)閷?duì)應(yīng)的頻率為，
對(duì)應(yīng)的頻率為，
對(duì)應(yīng)的頻率為，
對(duì)應(yīng)的頻率為，
對(duì)應(yīng)的頻率為，
所以落在內(nèi)，設(shè)距離2.5的距離為，
所以，所以，所以.
故答案為：2.45
18．（多選題）比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù).某地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共40000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且平均分為57.4，離散系數(shù)為0.36，則下列說(shuō)法正確是（ ）
（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.）
A．學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為
B．學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布
C．約有20000名學(xué)生的成績(jī)低于58分
D．全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為78
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，根據(jù)離散系數(shù)，平均分為57.4，離散系數(shù)為0.36，可得標(biāo)準(zhǔn)差為，故A正確；
對(duì)于B，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，則學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，平均分為57.4，所以成績(jī)低于58分得概率約為，所以約有名學(xué)生的成績(jī)低于58分，故C正確；
對(duì)于D，又因?yàn)?，且，所以全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為，故D正確；
故選：ACD.
題型七：正態(tài)分布
19．某批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與8的誤差不超過(guò)4即合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則的最小值為 ．
【答案】4
【解析】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，，
所以，所以，所以，
所以，即每個(gè)零件合格的概率為．
因?yàn)楹细窳慵簧儆?件的對(duì)立事件是合格零件件數(shù)為0或1，
且合格零件件數(shù)為0或1的概率為，
所以，即．
令，所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，而，，
所以不等式的解集為，所以的最小值為4．
故答案為：4.
20．設(shè)為任取的某袋包裝誤差的產(chǎn)品的質(zhì)量，，則的概率是 （結(jié)果精確到）．（已知表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)從到的累計(jì)面積）
【答案】/
【解析】因?yàn)?，所以，由，得?br>由，知，
由正態(tài)分布圖象知
，
故答案為：.
21．“立定跳遠(yuǎn)”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：cm）服從正態(tài)分布 ，且 ，現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，并記 在 的人數(shù)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，則，
則，故A錯(cuò)誤；
在的概率為，則，
則，故C正確；
，故D錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤.
故選：C.
題型八：超幾何分布與二項(xiàng)分布
22．某學(xué)校組織趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，一共設(shè)置了3個(gè)項(xiàng)目（其中只包含1個(gè)球類項(xiàng)目），每位教師只能從3個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇2個(gè)參加，設(shè)李老師選擇的2個(gè)項(xiàng)目中所含球類項(xiàng)目的數(shù)量為，則的所有可能取值為 ，數(shù)學(xué)期望 ．
【答案】 0，1； .
【解析】X的取值可能為0，1．
依題意可知服從超幾何分布，
則，，
所以．
故答案為：0，1；.
23．在高考志愿模擬填報(bào)實(shí)驗(yàn)中，共有9個(gè)專業(yè)可供學(xué)生甲填報(bào)，其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個(gè)．若在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)進(jìn)行填報(bào)，則填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為 ．
【答案】
【解析】隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)，基本事件總數(shù)為，
填報(bào)的專業(yè)中沒(méi)有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)為，
由題可知，填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．
故答案為：.
題型九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
24．以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近0；
②設(shè)是隨機(jī)變量，則，；
③設(shè)隨機(jī)變量，若，則；
④設(shè)隨機(jī)變量，則．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】B
【解析】?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故①錯(cuò)誤；
若是隨機(jī)變量，則，故②正確；
隨機(jī)變量，若，則，故③錯(cuò)誤；
設(shè)隨機(jī)變量，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故④錯(cuò)誤；
故選：B．
25．新華社北京2024年9月8日電，中共中央黨史和文獻(xiàn)研究院編輯的習(xí)近平同志《論教育》，由中央文獻(xiàn)出版社出版，在全國(guó)發(fā)行．這部專題文集，收入習(xí)近平同志關(guān)于教育的重要文稿47篇．九江市教育局準(zhǔn)備了9個(gè)相關(guān)問(wèn)題（含問(wèn)題A）到某校調(diào)研教職員工的學(xué)習(xí)情況，從該校隨機(jī)抽取了6名教師，每名教師相互獨(dú)立地隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題并作答，且每個(gè)問(wèn)題被抽取的可能性相等．記表示抽到問(wèn)題A的教師人數(shù)，則（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】D
【解析】每名教師抽到問(wèn)題的概率為，
由題意可知，，
故選：D．
題型十：古典概型
26．如圖，14塊相同的正方體壘放在桌子上，每次施法會(huì)隨機(jī)讓其中某塊正方體消失，直到所有正方體全部消失不見(jiàn)．如果某次被施法的正方體的正上方仍有其他正方體，那么它正上方的正方體會(huì)豎直掉落下來(lái)，我們稱發(fā)生了“坍塌”．那么在全部14次施法過(guò)程中，不發(fā)生坍塌的概率為 ．
【答案】
【解析】把題設(shè)中的14個(gè)小正方體編號(hào)如下：
其中1代表最上方的一個(gè)小正方體，第二層、第三層相應(yīng)的標(biāo)號(hào)如下圖所示.
與1號(hào)小正方體在同一個(gè)豎直方向小正方體從上至下記為2,6，
標(biāo)號(hào)為3的正方體下面的小正方體標(biāo)號(hào)為7，
標(biāo)號(hào)為4的正方體下面的小正方體標(biāo)號(hào)為8，
標(biāo)號(hào)為5的正方體下面的小正方體標(biāo)號(hào)為9，
若不發(fā)生坍塌，則
則全部14次施法過(guò)程中，不發(fā)生坍塌的事件總數(shù)為
設(shè)事件為：“全部14次施法過(guò)程中，不發(fā)生坍塌”，
則
故答案為：.
27．設(shè)為正整數(shù)，從集合的所有二元子集中任取兩個(gè)，記為，，其中與可以相同.在平面直角坐標(biāo)系中，記直線與直線的四個(gè)交點(diǎn)分別為，則以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形的概率為 .（用含的代數(shù)式表示）附參考公式：
【答案】
【解析】由題知，邊長(zhǎng)為的正方形有種情況，
故
故答案為：
28．甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于13或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束．若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是 ．
【答案】/0.1
【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從8張卡片中抽取了5張，
且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為13，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為13；
總的情況相當(dāng)于從8張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；
其中三張卡片數(shù)字之和為13的組合有；；；；；共6種情況；
當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；時(shí)，
乙在剩余的5個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；
當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，
要排除乙抽到或，此時(shí)共有種；
所以符合題意的排列總數(shù)為種，
可得所求概率為.
故答案為：
題型十一：條件概率與全概率
29．某射擊俱樂(lè)部開(kāi)展青少年射擊培訓(xùn)，俱樂(lè)部共有6支氣槍，其中有2支氣槍未經(jīng)試射校正，有4支氣槍已校正，若用校正過(guò)的氣槍射擊，射中10環(huán)的概率為0.8，用未校正過(guò)的氣槍射擊，射中10環(huán)的概率為0.4，某少年射手任取一支氣槍進(jìn)行1次射擊，射中10環(huán)的概率是 ；若此少年射手任取一支氣槍進(jìn)行4次射擊（每次射擊后將氣槍放回），每次射擊結(jié)果相互不影響，則4次射擊中恰有2次射中10環(huán)的概率為 ．
【答案】
【解析】①設(shè)事件表示使用已校正的氣槍，事件表示射中10環(huán)，
則，
故任取一支氣槍射中10環(huán)的概率是；
②4次射擊中恰有2次射中10環(huán)的概率為：.
故答案為：①；②.
30．小張一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市與珠海市的概率分別為0.7，0.3，在深圳市去游樂(lè)園的概率為0.6，在珠海市去游樂(lè)園的概率為0.4，則小張一家去游樂(lè)園的概率為（ ）
A．0.48B．0.49C．0.52D．0.54
【答案】D
【解析】根據(jù)全概率公式可得小張一家去游樂(lè)園的概率為．
故選：D.
31．已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對(duì)乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】記事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，
則，，，
因?yàn)?，即，解得?br>又因?yàn)?，即，解得?br>因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：D.
32．某高中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)400名高二學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生飲用碳酸飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)“學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，
設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則，，
由全概率公式可得，
所以若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為.
故選：A
題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題
33．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，現(xiàn)從中隨機(jī)刪除兩項(xiàng)，得到一個(gè)新的數(shù)列.這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為 .
【答案】/0.4
【解析】不妨設(shè)，則，其極差為．
若隨機(jī)刪除兩項(xiàng)后極差不變，則刪除的兩項(xiàng)必存在于第2項(xiàng)至第5項(xiàng)，
則有種刪除方法，所以．
故答案為：.
34．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，x，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為 ．
【答案】/
【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，的概率為，
所以這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.
故答案為：.
35．定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某日小張擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若擲出1點(diǎn)向上兩次時(shí)即停止．設(shè)A表示第一次擲出1點(diǎn)向上時(shí)的投擲次數(shù)，B表示第二次擲出1點(diǎn)向上時(shí)的投擲次數(shù)，則 ．
【答案】2
【解析】由可得或或，
由題意可得
故答案為：2
題型十三：新賽制概率問(wèn)題
36．甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為 .
【答案】0.245/
【解析】由題意知甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”，
設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，
則甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第一場(chǎng)負(fù)，另外四場(chǎng)全勝概率為
，
甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第二場(chǎng)負(fù)，另外四場(chǎng)全勝概率為
，
甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第三次場(chǎng)，另外四場(chǎng)全勝概率為
，
甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第四次場(chǎng)，另外四場(chǎng)全勝概率為
所以甲隊(duì)以4：1獲勝的概率
.
故答案為：0.245
37．已知甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球比賽，每人輸兩次即被淘汰，比賽順序?yàn)榧?、乙先比，丙輪空，之后勝者與丙比賽，敗者輪空，以此類推直到比出獲勝者，假如甲、乙、丙三人實(shí)力相當(dāng)，則丙獲勝的概率為 .
【答案】
【解析】根據(jù)賽制，最小比賽4場(chǎng)，最多比賽5場(chǎng)，比賽結(jié)束，假如甲、乙、丙三人實(shí)力相當(dāng)，則每局比賽雙方獲勝的概率均為，
比賽進(jìn)行4場(chǎng)，丙最終獲勝，則后3場(chǎng)丙全勝，概率為；
比賽進(jìn)行5場(chǎng)，丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開(kāi)始的4場(chǎng)比賽按照丙的勝負(fù)輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為
;
所以丙獲勝的概率為.
故答案為：
38．甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無(wú)平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為 ．
【答案】
【解析】第一局甲勝，第二局乙勝：
若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，
若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，
所以，第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；
故答案為：.
重難點(diǎn)突破：遞推型概率命題
39．一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)每次只能向左或向右跳動(dòng)1個(gè)單位，且第1次向左跳動(dòng)．若前一次向左跳動(dòng)，則后一次向左跳動(dòng)的概率為；若前一次向右跳動(dòng)，則后一次向左跳動(dòng)的概率為．記第n次向左跳動(dòng)的概率為，則 ； ．
【答案】
【解析】由題意，得，，，
由，
設(shè)，則，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，
所以．
故答案為：；
40．某學(xué)校有、兩個(gè)餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會(huì)在這兩個(gè)餐廳中選擇一個(gè)就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個(gè)餐廳，他第二天會(huì)有的可能性換另一個(gè)餐廳就餐，假如第天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為 .
【答案】
【解析】當(dāng)且時(shí)，若甲在第天選擇了餐廳，
那么在第天有的可能性選擇餐廳，
若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，
所以第天選擇餐廳的概率，
即，所以.
又由題意得，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
故答案為：.
41．引得無(wú)數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚(yáng)頑強(qiáng)拼搏的體育競(jìng)技精神，某學(xué)校的足球社團(tuán)利用課余時(shí)間展開(kāi)“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為“傳球訓(xùn)練賽”，即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)，第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學(xué)傳球的概率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)第次由乙同學(xué)傳球的概率為，顯然，
第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，這兩人每人得到球的概率為，
如果球傳到乙，則乙不能傳到乙，
故第次由乙傳球的概率與第次由乙傳球的概率的關(guān)系為：
，即，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，則，故.
故答案為：.
42．一個(gè)平臺(tái)的俯視圖為一個(gè)3×3的方格表，初始時(shí)在中心的方格處有一只電子瓢蟲(chóng)，每過(guò)一秒鐘，該瓢蟲(chóng)都會(huì)隨機(jī)選擇平行于平臺(tái)邊界的四個(gè)方向之一移動(dòng)一個(gè)單位．如果瓢蟲(chóng)跌落平臺(tái)就會(huì)“死亡”，那么在2023秒后，該瓢蟲(chóng)仍然“存活”的概率是 ．
【答案】
【解析】
設(shè)第秒后瓢蟲(chóng)在角的概率為，在中心的概率，在邊中間的概率為，
則，，，
其中，所以，
又，，
而，
故，
故在2023秒后，該瓢蟲(chóng)仍然“存活”的概率為，
故答案為: .
1．（2025·廣東肇慶·二模）小王數(shù)學(xué)期末考試考了分，受到爸爸表?yè)P(yáng)的概率為，受到媽媽表?yè)P(yáng)的概率也為，假設(shè)小王受爸爸表?yè)P(yáng)和受媽媽表?yè)P(yáng)獨(dú)立，則小王被表?yè)P(yáng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】記小王受到爸爸表?yè)P(yáng)為事件，小王受到媽媽表?yè)P(yáng)為事件，小王受到表?yè)P(yáng)為事件，
小王同學(xué)受爸爸表?yè)P(yáng)和受媽媽表?yè)P(yáng)相互獨(dú)立，則.
故選：C.
2．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）在研究“溫度是否影響莊稼生長(zhǎng)”時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量的值為.已知，則（ ）
A．的值小于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”
B．的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”
C．的值越大，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越小
D．的值越小，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越大
【答案】B
【解析】因?yàn)?，則的值大于3.841，
就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；
的值的大小不能說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
3．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知4名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為98，110，m，120，且上四分位數(shù)為118，則（ ）
A．115B．116C．117D．118
【答案】B
【解析】由題意，上四分位數(shù)為98，110，m，120從小到大排列的第3、4位的平均數(shù)，
當(dāng)時(shí)，上四分位數(shù)為不合題意；
當(dāng)時(shí)，上四分位數(shù)為，解得，滿足題意.
故選：B
4．（2025·吉林·二模）已知隨機(jī)事件A和B，下列表述中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若互斥，則D．若互斥，則
【答案】C
【解析】若，則，，故AB選項(xiàng)的內(nèi)容都是正確的；
若互斥，則，，所以C選項(xiàng)的內(nèi)容是錯(cuò)誤的，D選項(xiàng)的內(nèi)容是正確的.
故選：C
5．（2025·河南鄭州·一模）將一枚質(zhì)地均勻的正八面體骰子連續(xù)拋擲2次，其八個(gè)面上分別標(biāo)有八個(gè)數(shù)字，記錄骰子與地面接觸的面上的點(diǎn)數(shù)，用X，Y表示第一次和第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)事件A為：
當(dāng)時(shí)，
分兩種情況：
第一次擲出4，第二次擲出大于等于4的數(shù)，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5種情況;
第二次擲出4，第一次擲出大于等于4的數(shù)，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5種情況，
兩種情況都有第一次和第二次都擲出4，共1種情況，
所以事件A包含的基本事件數(shù)為
設(shè)事件B為：，
則事件AB為：且，
有，和，兩種情況.
由條件概率公式：
故選：B．
6．（2025·重慶·一模）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重 （單位: 克） 與心率（單位: 次/分鐘）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù). 根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出與近似滿足 （ 為參數(shù)），令 ，計(jì)算得到. 由最小二乘法得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ，則的值為（ ）
A．B．0.4C．D．0.2
【答案】A
【解析】因?yàn)?，兩邊取?duì)數(shù)可得，
又，
依題意回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，
所以，解得，所以.
故選：A.
7．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽，中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國(guó)歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對(duì)戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合再次以獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】“莎頭”組合再次以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負(fù)局，第局“莎頭”組合獲勝，
所以“莎頭”組合再次以獲勝的概率.
故選：B
8．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）春季流感爆發(fā)期間，某學(xué)校通過(guò)在校門(mén)口并排設(shè)立三個(gè)紅外體溫檢測(cè)點(diǎn)作為預(yù)防手段，進(jìn)入學(xué)校的人員只需要在任意一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)檢測(cè)體溫即可進(jìn)入校園.假設(shè)每個(gè)人在進(jìn)入學(xué)校時(shí)選擇每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的概率都是，現(xiàn)有三男三女六位學(xué)生通過(guò)體溫檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)入學(xué)校，則每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題知，每個(gè)人進(jìn)入學(xué)校時(shí)選擇每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的概率都相等，
則三男三女六位學(xué)生通過(guò)體溫檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)入學(xué)校，共有種不同的結(jié)果，
若每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等，
則①每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)均為一男一女通過(guò)，共有種不同的結(jié)果；
②三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中，一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)0人，一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)一男一女，一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)兩男兩女，共有種不同的結(jié)果；
③六人均在同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)，共有種不同的結(jié)果.
則每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等的概率為.
故選：B.
9．（多選題）（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，“田”字型方格是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成，A，B，C，D為其中的4個(gè)格點(diǎn)，在9個(gè)格點(diǎn)中依次取不同的兩點(diǎn)P，Q，則概率等于的事件是（ ）
A．B．
C．D．在條件下，
【答案】BD
【解析】由于向量是有方向和大小的量，所以在9個(gè)格點(diǎn)中依次取不同的兩點(diǎn)共有個(gè)不同的向量，
對(duì)于A，，由于，故，且方向相同，
所以只能在只能在,只有這一種情況，故，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由于，
所以可以為共18種，
所以，B正確，
對(duì)于C，，則，
故可以為共4種，所以，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，在條件下，
可以為共16種,
滿足有，故概率為，D正確，
故選：BD
10．（多選題）（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）坐位體前屈（Sit And Reach）是一種體育鍛煉項(xiàng)目，也是大中小學(xué)體質(zhì)健康測(cè)試項(xiàng)目，通常使用電動(dòng)測(cè)試儀進(jìn)行測(cè)試．為鼓勵(lì)和推動(dòng)學(xué)生積極參加體育鍛煉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，我國(guó)于2002年開(kāi)始在全國(guó)試行《學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，坐位體前屈屬于該標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的測(cè)試內(nèi)容之一．已知某地區(qū)進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)測(cè)試統(tǒng)計(jì)得到高三女生坐位體前屈的成績(jī)（單位）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機(jī)抽取3人，記不在區(qū)間的人數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，由，得，
則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A知，不在區(qū)間的概率為，，，
因此，B正確；
對(duì)于C，由B知，，因此，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11．（多選題）（2025·福建廈門(mén)·一模）藥物臨床試驗(yàn)是驗(yàn)證新藥有效性和安全性必不可少的步驟．在某新藥的臨床實(shí)驗(yàn)中，志愿者攝入一定量藥物后，在較短時(shí)間內(nèi)，血液中藥物濃度將達(dá)到峰值，當(dāng)血液中藥物濃度下降至峰值濃度的20%時(shí)，需要立刻補(bǔ)充藥物．已知血液中該藥物的峰值濃度為120mg/L，為探究該藥物在人體中的代謝情況，研究人員統(tǒng)計(jì)了血液中藥物濃度y（mg/L）與代謝時(shí)間x（h）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則（ ）
A．B．變量y與x的相關(guān)系數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，殘差為-1.5D．代謝約10小時(shí)后才需要補(bǔ)充藥物
【答案】AC
【解析】因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在直線上，所以，A選項(xiàng)正確；
血液中藥物濃度y（mg/L）隨代謝時(shí)間x（h）的增大而減小，所以變量y與x的相關(guān)系數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，殘差為，C選項(xiàng)正確；
令，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
綜上所述，應(yīng)選AC．
故選：AC.
12．（多選題）（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)圓環(huán)隧道內(nèi)等間距裝有若干個(gè)完全一樣的開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”或“關(guān)”兩種狀態(tài)（這些開(kāi)關(guān)總數(shù)和標(biāo)記為“開(kāi)”或“關(guān)”的開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)均未知）.小郅同學(xué)位于隧道內(nèi)部，從某個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)開(kāi)始，以下策略一定可以一次確定開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)的選項(xiàng)為：（ ）.
A．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)
B．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，計(jì)數(shù)為（不包括最后一個(gè)開(kāi)關(guān)），將其標(biāo)記為“關(guān)”后，從這個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），發(fā)現(xiàn)第個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)為“關(guān)”
C．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)第（為合數(shù)）個(gè)開(kāi)關(guān)為“開(kāi)”，將其標(biāo)記為“關(guān)”后從這個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），發(fā)現(xiàn)第個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)為“關(guān)”
D．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），并將沿途的個(gè)開(kāi)關(guān)均標(biāo)記為“開(kāi)”，第個(gè)開(kāi)關(guān)標(biāo)記為“關(guān)”，再?gòu)倪@個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)開(kāi)始逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），直至第一次遇到狀態(tài)為“關(guān)”的開(kāi)關(guān)，計(jì)數(shù)為（包括最后1個(gè)開(kāi)關(guān)），
【答案】BD
【解析】對(duì)于A.顯然錯(cuò)誤，例如5個(gè)燈，第1、4個(gè)為“開(kāi)”；
對(duì)于B.發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開(kāi)關(guān)為“關(guān)”只能是小郅手動(dòng)關(guān)上的，而順時(shí)針途經(jīng)過(guò)程中沒(méi)有其他“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，所以m為開(kāi)關(guān)總數(shù)，B正確；
對(duì)于C.順時(shí)針沿途可能遇到狀態(tài)為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，所以可能繞了不止一圈，例如，開(kāi)關(guān)總數(shù)為5，取m=10，繞了兩圈，開(kāi)關(guān)總數(shù)為10的非1因子（所以m取合數(shù)時(shí)都可能無(wú)法一次確定開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)）；
對(duì)于D.第1~m-1個(gè)開(kāi)關(guān)均為“開(kāi)”，第m個(gè)開(kāi)關(guān)為“關(guān)”，假設(shè)環(huán)繞不足一圈，則，矛盾，于是環(huán)繞數(shù)大于等于一圈；而不論環(huán)繞是否多于一圈，兩個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)之間一定間隔一圈，即逆時(shí)針一定只環(huán)繞一圈，所以n為所求，D正確.
故選:BD.
13．（2025·江西九江·一模）如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為 ．
【答案】
【解析】從9個(gè)燈區(qū)中隨機(jī)先后按下兩個(gè)燈區(qū)，共有種按法．
與相鄰的燈區(qū)為；與相鄰的燈區(qū)為，故將9個(gè)燈區(qū)分為三類：第一類燈區(qū)，第二類燈區(qū)，第三類燈區(qū)．若要使得燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，則需在同類燈區(qū)中隨機(jī)先后按兩個(gè)不同燈區(qū)．
①若先后按下的是兩個(gè)燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；
②若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；
③若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法．故燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．
故答案為：．
14．（2025·云南昆明·一模）圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一．一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現(xiàn)有枚黑色棋子和枚白色棋子隨機(jī)排成一行，每枚棋子排在每個(gè)位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為 ．
【答案】
【解析】若兩端的棋子顏色不同，那么兩端的棋子的顏色分布有種可能，中間的棋子的顏色分布有種可能.
所以兩端棋子顏色不同的概率為，故兩端是同色棋子的概率為.
故答案為：.
15．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知，記，若是唯一的最大值，則的值為 .
【答案】13.8
【解析】依題意，，由是唯一的最大值，得
即則
即解得，而，因此，所以，
所以.
故答案為：13.8
16．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）有個(gè)人圍坐在一個(gè)圓桌邊上，每人都越過(guò)桌面與另外一人握手，若要求所有人握手時(shí)手臂互不交叉，例如時(shí)，一共有4個(gè)人，以、、、表示，握手兩人用一條線連結(jié)，共有2種方式，如圖所示.記一次握手中，共有對(duì)相鄰的兩人握手，當(dāng)時(shí)，的數(shù)學(xué)期望 .
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，按順時(shí)針?lè)较虬讶藰?biāo)記為，，，，，，用表示和握手.
若1和2握手，共有兩種方法：，和，
若1和6握手，共有兩種方法：，和，
若1和4握手，共有1種方法：，，所以一共有5種方法。
當(dāng)時(shí)，
若1和2握手，剩下6個(gè)人，情況同，共5種方法，
若1和8握手，剩下6個(gè)人，情況同，共5種方法，
若1和4握手，則2和3握手，5，6，7，8之間握手情況同，一共2種，從而種方法；
若1和6握手，由對(duì)稱性，情況同1和4握手，共2種方法；
所以，一共有種方法.
其中，共2種方法使得（相鄰兩人按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛞来挝帐郑?br>共4種方法使得（類似，，，等），
共8種方法使得（類似，，，等），
的分布列如下：
故.
故答案為：.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc190811853" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc190811853 \h 2
\l "_Tc190811854" 題型一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表 PAGEREF _Tc190811854 \h 2
\l "_Tc190811855" 題型二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征 PAGEREF _Tc190811855 \h 3
\l "_Tc190811856" 題型三：傳統(tǒng)線性擬合 PAGEREF _Tc190811856 \h 5
\l "_Tc190811857" 題型四：非線性擬合處理 PAGEREF _Tc190811857 \h 6
\l "_Tc190811858" 題型五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn) PAGEREF _Tc190811858 \h 8
\l "_Tc190811859" 題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì) PAGEREF _Tc190811859 \h 10
\l "_Tc190811860" 題型七：正態(tài)分布 PAGEREF _Tc190811860 \h 13
\l "_Tc190811861" 題型八：超幾何分布與二項(xiàng)分布 PAGEREF _Tc190811861 \h 14
\l "_Tc190811862" 題型九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 PAGEREF _Tc190811862 \h 15
\l "_Tc190811863" 題型十：古典概型 PAGEREF _Tc190811863 \h 16
\l "_Tc190811864" 題型十一：條件概率與全概率 PAGEREF _Tc190811864 \h 19
\l "_Tc190811865" 題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題 PAGEREF _Tc190811865 \h 20
\l "_Tc190811866" 題型十三：新賽制概率問(wèn)題 PAGEREF _Tc190811866 \h 22
\l "_Tc190811867" 重難點(diǎn)突破：遞推型概率命題 PAGEREF _Tc190811867 \h 23
\l "_Tc190811868" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc190811868 \h 27
使用年限
維修費(fèi)用
3
4
6
7
2.5
3
4
5.9
x
1
2
3
4
y
e
x
1
2
3
4
y
e
z
1
3
4
6
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
性別
游泳
合計(jì)
喜歡
不喜歡
男生
0.6n
0.4n
n
女生
0.4n
0.6n
n
合計(jì)
n
n
2n
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
120
110
103
93
82
68
59
47
38
2
3
4

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