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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9539" 題型01 超幾何分布與二項分布 PAGEREF _Tc9539 \h 1
\l "_Tc16416" 題型02 獨立事件的乘法公式應用 PAGEREF _Tc16416 \h 5
\l "_Tc8268" 題型03 正態(tài)分布 PAGEREF _Tc8268 \h 6
\l "_Tc4660" 題型04 條件概率、全概率和貝葉斯公式 PAGEREF _Tc4660 \h 8
\l "_Tc22312" 題型05 概率與數列 PAGEREF _Tc22312 \h 11
\l "_Tc630" 題型06 概率中的決策性問題 PAGEREF _Tc630 \h 14
\l "_Tc29567" 題型07 獨立性檢驗 PAGEREF _Tc29567 \h 17
\l "_Tc25401" 題型08 線性回歸與非線性回歸 PAGEREF _Tc25401 \h 21
\l "_Tc14455" 題型09 概率與統(tǒng)計綜合 PAGEREF _Tc14455 \h 25
題型01 超幾何分布與二項分布
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三上·青?！て谀┠硨W校為了了解學生平時的運動時長情況，現(xiàn)從全校名學生中隨機抽取名學生，統(tǒng)計出他們的運動時長（單位：分鐘），將這些運動時長按、、、分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求出的值，并估計全校學生中運動時長超過分鐘的人數；
(2)在上述選取的名學生中任意選取名學生，設為運動時長超過分鐘的人數，求的分布列與期望；
(3)現(xiàn)將運動時長高于分鐘的學生稱為“熱愛運動者”，現(xiàn)從樣本中任意選取名學生，求恰有名學生是“熱愛運動者”的概率．
2．（24-25高三上·江蘇揚州·期末）已知給定兩個集合，從兩個集合中各隨機取出兩個元素合并成一個集合．
(1)若，求集合中恰有三個元素的概率；
(2)若，設集合中元素的個數為，求隨機變量的分布列與期望．
3．（24-25高三下·重慶·階段練習）某工廠的生產線上的產品按質量分為：一等品，二等品，三等品.質檢員每次從生產線上任取2件產品進行抽檢，若抽檢出現(xiàn)三等品或2件都是二等品，則需要調整設備，否則不需要調整.已知該工廠某一條生產線上生產的產品每件為一等品，二等品，三等品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產品的質量情況互不影響.
(1)求在一次抽檢后，設備不需要調整的概率；
(2)若質檢員一天抽檢3次，以表示一天中需要調整設備的次數，求的分布列和數學期望.
4．（24-25高三上·河南南陽·期末）高三（1）班有名同學，在某次考試中總成績在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、??；在分—分之間的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中數學成績超過分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)從該班同學中任選一人，求在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率；
(2)從數學成績超過分的同學中隨機抽取人.
①采取不放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的分布列和期望；
②采取放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的值.（直接寫出結果）
5．（2025高三下·全國·專題練習）某工廠的檢驗員為了檢測生產線上生產零件的情況，現(xiàn)從產品中隨機抽取了80個零件進行測量，根據測量的數據作出如圖所示的頻率分布直方圖．
注：尺寸數據在內的零件為合格品，頻率作為概率．
(1)從產品中隨機抽取4個，記合格品的個數為，求的分布列與期望；
(2)從產品中隨機抽取個，全是合格品的概率不小于，求的最大值；
(3)為了提高產品合格率，現(xiàn)提出兩種不同的改進方案進行試驗．若按方案進行試驗后，隨機抽取15個產品，不合格品個數的期望是2；若按方案進行試驗后，隨機抽取25個產品，不合格品個數的期望是4．你會選擇哪種改進方案？
6．（24-25高三下·河北·開學考試）12月4日是國家憲法日，為進一步弘揚憲法精神，推動憲法的全面貫徹落實，營造尊法學法守法用法的濃厚氛圍，某部門對A，B兩所學校就憲法相關知識做問卷調查，兩所學校一共隨機調查了500名學生，其中被調查的A校中回答優(yōu)秀的同學占，得到以下的列聯(lián)表：
(1)根據以上數據，完成列聯(lián)表，依據小概率的獨立性檢驗，能否認為學生對憲法知識的了解情況與兩所學校普法宣傳有關；
(2)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在從B校學生中隨機抽取50名，記回答優(yōu)秀的人數為X，求使事件“”概率最大的k的取值.
參考公式：其中.
參考數據：
7．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習）某單位在“全民健身日”舉行了一場趣味運動會，其中一個項目為投籃游戲.游戲的規(guī)則如下:每局游戲需投籃3次，若投中的次數多于未投中的次數，該局得3分，否則得1分.已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結果相互獨立.
(1)求甲在一局游戲中投籃命中次數的分布列與期望；
(2)若參與者連續(xù)玩局投籃游戲獲得的分數的平均值大于2，即可獲得一份大獎.現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎概率最大，甲應該如何選擇?請說明理由.
題型02 獨立事件的乘法公式應用
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三上·河南·開學考試）某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準備了4道面試題，面試者按順序提問，若每位被面試者答對兩道題則通過面試，面試結束；若每位被面試者前三道題均答錯，則不通過面試，面試結束．已知李明答對每道題的概率均為，且每道題是否答對相互獨立．
(1)求李明沒通過面試的概率；
(2)記李明所答題目的數量為，求的分布列和數學期望．
2．（2025高三·全國·專題練習）世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內進球多的球隊取勝，如果參賽雙方在90分鐘內無法決出勝負（踢成平局），將進行30分鐘的加時賽，若加時賽階段兩隊仍未分出勝負，則進入“點球大戰(zhàn)”．點球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：
①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數多者勝；
②如果在踢滿5球前，一隊進球數已多于另一隊踢5球可能踢中的球數，則該隊勝出，譬如：第4輪結束時，雙方進球數比為，則不需踢第5輪了；
③若前5輪點球大戰(zhàn)中雙方進球數持平，則采用“突然死亡法”決出勝負，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進球另一方不進球的情況，進球方勝．
現(xiàn)有甲、乙兩隊在淘汰賽中相遇，雙方勢均力敵，120分鐘（含加時賽）仍未分出勝負，須采用“點球大戰(zhàn)”決定勝負．設甲隊每名球員射進的概率為，乙隊每名球員射進的概率為．每輪點球結果互不影響．
(1)設甲隊踢了5球，X為射進點球的個數，求X的分布列與期望；
(2)若每輪點球都由甲隊先踢，求乙隊在第4輪點球結束時以勝出的概率．
3．（24-25高三上·山東臨沂·期末）某學校為緩解高三學生的學習壓力，組織了一場“投籃換零食”的游戲，參與游戲的每名同學有兩次投籃的機會且必須用完.投中一次即可獲得一個零食，且每名學生每次投中與否相互獨立.已知甲、乙兩名同學參與游戲，甲同學每次投中的概率是，乙同學每次投中的概率是．
(1)求甲、乙兩名同學投籃結束后，兩人恰好各獲得一個零食的概率；
(2)記甲、乙兩名同學投籃結束后獲得的零食個數總和是X，求隨機變量X的分布列及其數學期望．
4．（2024·江蘇淮安·模擬預測）投籃測試中，某同學投籃5次，每次投籃命中的概率為，且各次投籃是否投中相互獨立.
(1)當時，隨機變量表示該同學投籃命中的次數，求的概率分布與數學期望；
(2)設該同學投籃5次恰好有3次投中的概率為，求的最大值及此時的值.
5．（2025高三·全國·專題練習）某玩具公司推出一款智能機器狗玩具，開啟電源后機器狗從起點處每次向前或向后跳動1個單位，當機器狗位置距離起點處不足（，且，可以進行手動設置）個單位時，每次向前跳動的概率為，向后跳動的概率為，當機器狗跳動后的位置距離起點處為個單位時，則連續(xù)向起點處跳動次，回到起點，然后從起點處重新開始跳動．
(1)若設置，求機器狗跳動6次后恰好回到起點的概率；
(2)若設置，記機器狗跳動5次后距離起點處個單位，求的分布列與數學期望；
(3)若機器狗跳動了次，求每次跳動后距離起點處都不足個單位的概率．
題型03 正態(tài)分布
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三下·福建寧德·開學考試）已知福建某地生產的罐裝巖茶的凈含量的均值為250克，且每罐巖茶的凈含量（單位：克）服從正態(tài)分布.
(1)求；
(2)若甲從該地生產的罐裝巖茶中隨機購買7罐，求恰有3罐的凈含量不大于250克的概率；
(3)若乙從該地生產的罐裝巖茶中隨機購買100罐，設這100罐巖茶中凈含量在內的罐數為，求的數學期望.
2．（24-25高三下·湖南長沙·開學考試）新疆是我國杏產量最大的地區(qū)，杏的種植面積近200萬畝.杏子品種豐富，如庫車小白杏、托克遜杏、木亞格杏等.新疆的杏子以其優(yōu)良的品質和獨特的風味而聞名，尤其是托克遜縣，被譽為“中國早熟杏之鄉(xiāng)”.已知該地區(qū)某種植園成熟的托克遜杏（按個計算）的質量（單位：克）服從正態(tài)分布，且，.從該種植園成熟的托克遜杏中摘取了10個，它們的質量（單位：克）分別為101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且這10個托克遜杏的平均質量恰等于克.
(1)求的值；
(2)求；
(3)甲和乙都從該種植園成熟的托克遜杏中隨機摘取1個，若摘取的托克遜杏的質量不大于100克，則不贈送庫車小白杏；若摘取的托克遜杏的質量大于100克且不大于102克，則贈送1個庫車小白杏；若摘取的托克遜杏的質量大于102克，則贈送2個庫車小白杏.記甲和乙獲贈庫車小白杏的總個數為，求的分布列與數學期望.
3．（24-25高三下·重慶·階段練習）智利的車厘子在中國市場上非常受歡迎，尤其是在春節(jié)前后，成為果品市場的“銷售冠軍”.進口水果辦會對智利車厘子進行了分級，標準主要依據果實直徑進行劃分，通常分為以下幾個等級：0級；直徑在24mm到26mm之間；J級：直徑在26mm到28mm之間；JJ級：直徑在28mm到30mm之間；JJJ級：直徑在30mm到32mm之間；JJJJ級：直徑在32mm以上.某商貿公司根據長期檢測結果，發(fā)現(xiàn)每批次進口車厘子的直徑服從正態(tài)分布并把直徑不小于的車厘子稱為一等品，其余稱為二等品.現(xiàn)從某批次的車厘子中隨機抽取100顆（直徑位于24mm至34mm之間）作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據長期檢測結果，車厘子直徑的標準差，用標準差作為的估計值，用樣本平均數（按四舍五入取整數）作為的近似值.若從該批次中任取一顆，試估計該顆車厘子為一等品的概率（保留小數點后兩位數字）；（①同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）
(2)若從樣本中直徑在和的車厘子中隨機抽取3顆，記其中直徑在的個數為，求的分布列和數學期望.
題型04 條件概率、全概率和貝葉斯公式
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（2025高三·全國·專題練習）抽屜里裝有5雙型號相同的手套，其中2雙是非一次性手套，3雙是一次性手套，每次使用手套時，從抽屜中隨機取出1雙（2只都為一次性手套或都為非一次性手套），若取出的是一次性手套，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性手套，則使用后經過清洗再次放入抽屜中．
(1)求在第2次取出的是非一次性手套的條件下，第1次取出的是一次性手套的概率；
(2)記取了3次后，取出一次性手套的次數為X，求X的數學期望．
2．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02，現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗，篩查出該種疾病攜帶者.
(1)若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01，未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.
①求檢測結果顯示患有該疾病的概率；
②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.（保留四位有效數字）
(2)若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按人一組分組，然后將個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次（每一小組都要按要求獨立完成），取何值時，總化驗次數最少？
說明：函數先減后增.
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發(fā)經室到達室．粒子在室不旋轉，在室、室都旋轉，且只有上旋和下旋兩種狀態(tài)，粒子間的旋轉狀態(tài)相互獨立．粒子從室經過1號門進入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經過2號門進入室后，粒子的旋轉狀態(tài)發(fā)生改變的概率為．現(xiàn)有兩個粒子從室出發(fā)，先后經過1號門、2號門進入室，記室兩個粒子中，上旋狀態(tài)粒子的個數為．
(1)求的分布列和數學期望；
(2)設，若兩個粒子經過2號門后都為上旋狀態(tài)，求這兩個粒子通過1號門后都為上旋狀態(tài)的概率．
4．（2024·重慶·三模）重慶一中被評為“全國最美校園書屋”，學校和重慶大學圖書館簽訂了合作共享協(xié)議，重慶大學圖書館對重慶一中所有學生開放圖書借閱.已知小張同學在重慶大學的圖書借閱規(guī)律如下:他在重慶大學圖書館只借閱“期刊雜志”和“文獻書籍”兩類書籍.第一次隨機選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻書籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為.
(1)設小張同學在兩次借閱過程中借閱“期刊雜志”的次數為，求的分布列與數學期望；
(2)若小張同學第二次借閱“文獻書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說明理由.
5．（24-25高三下·江蘇常州·開學考試）已知某旅游景區(qū)在手機APP上推出游客競答的問卷，題型為單項選擇題，每題均有4個選項，其中有且只有一項是正確選項.對于游客甲，在知道答題涉及的內容的條件下，可選出唯一的正確選項；在不知道答題涉及的內容的條件下，則隨機選擇一個選項.已知甲知道答題涉及內容的題數占問卷總題數的.
(1)求甲任選一題并答對的概率；
(2)若問卷答題以題組形式呈現(xiàn)，每個題組由2道單項選擇題構成，每道選擇題答對得2分，答錯扣1分，放棄作答得0分.假設對于任意一道題，甲選擇作答的概率均為，且兩題是否選擇作答及答題情況互不影響，記每組答題總得分為，求的分布列和期望.
6．（2025·山東聊城·模擬預測）2024年2月27日，電動垂直起降航空器eVTOL“盛世龍”成功飛越深圳至珠海的航線，實現(xiàn)了“飛行汽車”的首飛，打開了未來城際通勤的巨大想象空間.某市教育局為了培養(yǎng)學生的科技創(chuàng)新素養(yǎng)，在全市高三、高三年級舉辦了一次科技知識競賽，兩個年級的學生人數基本相同.已知高三年級學生成績的優(yōu)秀率為0.24（優(yōu)秀：競賽成績，單位：分），現(xiàn)從高三年級隨機抽取100名學生的競賽成績，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從高三年級競賽分數在中的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機抽取3人，記成績優(yōu)秀的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(2)以樣本的頻率估計概率，從參與競賽的學生中隨機抽取1人，求這名學生競賽成績優(yōu)秀的概率；
(3)若從參與競賽的學生中隨機抽取人，求為何值時，競賽成績優(yōu)秀的人數為8的概率最大.
題型05 概率與數列
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三上·安徽阜陽·期末）元旦期間，某商場舉行促銷活動，消費滿500元有一次抽獎機會，抽獎規(guī)則如下：有個（，）個編號分別為1、2、3、…、的盒子，1號盒子里有1個白球、2個黑球，其余盒子有1個白球和1個黑球．所有抽獎從1號盒子開始，從1號盒子中任取一球，放入2號盒子中，再從2號盒子取一個球，放入3號盒子……依次進行直至抽獎機會用完，從每個盒子中抽取出白球就獲得一張10元優(yōu)惠券，記從號盒子中取出白球為事件（1、2、3…）
(1)某人購買1000元商品，有兩次抽獎機會，求他抽到2張10元優(yōu)惠券的概率；
(2)求證：為等比數列；
(3)某人購物5000元，求他抽到優(yōu)惠券的金額的期望（精確到0.1元）．
2．（2025·四川·二模）小楊上的高中食堂有3種套餐，小王第一次選擇A，B，C三種套餐的概率相等，若某次選擇A之后，下一次仍會在三種套餐以相等概率繼續(xù)選擇，若某次選擇B套餐之后，下一次只會在B，C兩種套餐中以相等概率去選擇，在某次選擇C套餐之后，以后只會選擇C套餐，根據以上規(guī)則回答下列問題：
(1)試寫出第n次選擇時，小王選A套餐的概率表達式，并求出第3次選擇B套餐的概率.
(2)試寫出第n次選擇時，小王選B套餐的概率表達式，并求出選A套餐的均值.
3．（2025·安徽·模擬預測）投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分；獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分.
(1)設投擲2次骰子，最終得分為，求隨機變量的分布列與期望；
(2)設最終得分為的概率為，證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式.
（提示：請結合數列的遞推關系求解）
4．（24-25高三下·湖北武漢·開學考試）為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來武漢旅游的游客進行了問卷調查，據統(tǒng)計，其中的人計劃只參觀黃鶴樓，另外的人計劃既參觀黃鶴樓又游覽晴川閣，每位游客若只參觀黃鶴樓，則記1分；若既參觀黃鶴樓又游覽晴川閣，則記2分．假設每位首次來武漢旅游的游客計劃是否游覽晴川閣相互獨立，視頻率為概率．
(1)從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為X，求X的分布列和數學期望；
(2)從游客中隨機抽取n人，記這n人的合計得分恰為分的概率為，求；
(3)從游客中隨機抽取若干人逐個統(tǒng)計，記這些人的合計得分出現(xiàn)n分的概率為，求數列的通項公式．
5．（24-25高三上·湖北·階段練習）某學校為豐富學生活動，積極開展乒乓球選修課，甲乙兩同學進行乒乓球訓練，已知甲第一局贏的概率為，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復進行.記甲同學第局贏的概率為.
(1)求乙同學第2局贏的概率；
(2)求；
(3)若存在，使成立，求整數的最小值.
6．（2025·吉林長春·二模）某企業(yè)舉辦企業(yè)年會，并在年會中設計了抽獎環(huán)節(jié)和游戲環(huán)節(jié)．
(1)抽獎環(huán)節(jié)：該企業(yè)每位員工在年會上都會得到相應的獎金X（單位：千元），其獎金的平均值為，標準差為．經分析，X近似服從正態(tài)分布，用獎金的平均值作為的近似值，用獎金的標準差s作為的近似值，現(xiàn)任意抽取一位員工，求他所獲得獎金在的概率；
(2)游戲環(huán)節(jié)：從員工中隨機抽取40名參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規(guī)則如下：參與者擲一枚骰子，初始分數為0，每次所得點數大于4，得2分，否則，得1分．連續(xù)投擲累計得分達到9或10時，游戲結束．
①設員工在游戲過程中累計得n分的概率為，求；
②得9分的員工，獲得二等獎，獎金1000元，得10分的員工，獲得一等獎，獎金2000元，估計該企業(yè)作為游戲獎勵的預算資金（精確到1元）．
（參考數據：，．
題型06 概率中的決策性問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三上·陜西商洛·期末）已知某公司生產某產品采用兩種不同的方案，每種方案均有兩道加工工序，每道工序的加工結果相互獨立，且只有每道加工工序都合格，該產品才為合格品，若某道加工工序不合格，則該產品為不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均為，方案二第一、二道加工工序合格的概率分別為，．該產品只有合格品才能出廠銷售．已知每件產品未加工之前的成本為10元．
(1)若分別用方案一與方案二各自生產一件該產品，求生產的兩件產品中只有一件產品為合格品的概率．
(2)已知方案一每件產品每道工序的加工成本為20元，售價為120元；方案二每件產品的第一、二道工序的加工成本分別為10元，30元，售價為120元，若以每件產品獲利的數學期望為決策依據，請判斷該公司應采用哪種方案進行加工生產．
2．（24-25高三上·云南昭通·階段練習）為增加學生對于籃球運動的興趣，學校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比賽的規(guī)則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的三個位置分別投籃一次.在三個位置均投進得10分；在處投進，且在兩處至少有一處未投進得7分；其余情況（包括三處均不投進）保底得4分.已知小王在三處的投籃命中率分別為，且在三處的投籃相互獨立.
(1)設為小王同學在第一輪比賽的得分，求的分布列和期望；
(2)若第二輪比賽中設置兩種參賽方法.方法1：按第一輪比賽規(guī)則進行比賽；方法2：選手可以選擇在處縮短投籃距離0.5米，但總得分會減少分.選手可以任選一種規(guī)則參加比賽.若小王在處縮短投籃距離0.5米后，投籃命中率會增加.請你根據統(tǒng)計知識，幫助小王同學選擇采用哪種方法參加比賽更好.
3．（24-25高三上·云南德宏·期末）為更好的發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考數學試卷采用了多選題這一題型．教育部考試中心通過科學測量分析，指出該題型擴大了試卷考點的覆蓋面，有利于提高試卷的區(qū)分度，也有利于提高學生的得分率．多選題評分規(guī)則如下：對于多選題，每個小題給出的四個選項中，有兩項或三項是正確的，滿分6分．全部選對得6分，有錯選或全不選得0分，正確答案為兩項時，選對1個得3分；正確答案為三項時，選對1個得2分，選對2個得4分．多選題正確答案是兩個選項的概率為p，正確答案是三個選項的概率為（其中）．
(1)在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若，求學生甲該題得2分的概率；
(2)針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：
Ⅰ：隨機選一個選項； Ⅱ：隨機選兩個選項； Ⅲ：隨機選三個選項．
（i）若，且學生甲選擇方案Ⅰ，求本題得分的數學期望；
（ii）以本題得分的數學期望為決策依據，p的取值在什么范圍內唯獨選擇方案Ⅰ最好?
4．（2024·廣東深圳·一模）新高考數學試卷出現(xiàn)多項選擇題，即每小題的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．若正確答案為兩項，每對一項得3分：若正確答案為三項，每對一項得2分；
(1)學生甲在作答某題時，對四個選項作出正確判斷、判斷不了（不選）和錯誤判斷的概率如下表：
若此題的正確選項為AC．求學生甲答此題得6分的概率：
(2)某數學小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（）．現(xiàn)有一道多選題，學生乙完全不會，此時他有兩種答題方案：Ⅰ．隨機選一個選項；Ⅱ．隨機選兩個選項．
①若，且學生乙選擇方案Ⅰ，分別求學生乙本題得0分、得2分的概率．
②以本題得分的數學期望為決策依據，p的取值在什么范圍內唯獨選擇方案Ⅰ最好？
5．（23-24高三上·遼寧撫順·期末）11月29日，遼寧省政府新聞辦召開“山海有情 天遼地寧”冰雪主題系列首場現(xiàn)場新聞發(fā)布會，該會重點介紹今年沈陽市深入開展冰雪旅游?冰雪運動?冰雪文化的主要舉措?重點活動和亮點特色.某冰雪樂園計劃推出冰雪優(yōu)惠活動，發(fā)放冰雪消費券.該冰雪樂園計劃通過摸球兄獎的方式對1000位顧客發(fā)放消費券，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸取2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲得的消費券的總額.
(1)若袋中所裝的4個球中1個所標的面值為30元，其余3個均為20元，求顧客所獲得的消費券的總額為50元的概率.
(2)該冰雪樂園對消費券總額的預算是100000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值40元?60元的2種球組成，或由標有面值30元?50元?70元的3種球組成.為了使顧客得到的消費券總額的期望符合該冰雪樂園的預算且每位顧客所獲得的消費券的總額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計方案，并說明理由.
6．（24-25高三上·重慶·階段練習）育才中學為普及法治理論知識，舉辦了一次法治理論知識闖關比賽．比賽規(guī)定：三人組隊參賽，按順序依次闖關，無論成敗，每位隊員只闖關一次．如果某位隊員闖關失敗，則由該隊下一隊員繼續(xù)闖關，如果該隊員闖關成功，則視作該隊獲勝，余下的隊員無需繼續(xù)闖關；若三位隊員闖關均不成功，則視為該隊比賽失?。荣惤Y束后，根據積分獲取排名，每支獲勝的隊伍積分Y與派出的闖關人數X的關系如下：，比賽失敗的隊伍則積分為0．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為、、，且每人能否闖關成功互不影響．
(1)已知，，，
（i）若按甲、乙、丙的順序依次參賽，求該隊比賽結束后所獲積分的期望；
（ii）若第一次闖關從三人中隨機抽取，求該隊比賽結束后所獲積分的概率．
(2)若甲只能安排在第二位次參賽，且，要使該隊比賽結束后所獲積分的期望最大，試確定乙、丙的參賽順序，并說明理由．
題型07 獨立性檢驗
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（2025高三·全國·專題練習）某機構為了解2024年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2024年全年網購消費金額（單位：千元）進行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間內，并按，，…，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中a的值，并估計居民網購消費金額的中位數．
(2)若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全下面的列聯(lián)表，并判斷能否依據小概率值的獨立性檢驗認為樣本數據中網購迷與性別有關．
附，其中．
2．（24-25高三上·青海玉樹·階段練習）電動車的安全問題越來越引起廣大消費者的關注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調查了名市民，其中被調查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的列聯(lián)表：
(1)根據以上數據，完成列聯(lián)表，依據小概率的獨立性檢驗，能否認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關；
(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機抽取人，再從這名市民中抽取人進行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；
參考公式：，其中.
參考數據：
3．（24-25高三上·上?！るA段練習）近年來，隨著智能手機的普及，網上買菜迅速進入了我們的生活.現(xiàn)將一周網上買菜次數超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為“不喜歡網上買菜”.某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數據如下表所示：
(1)試根據的獨立性檢驗，分析社區(qū)的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關？
(2)M社區(qū)的市民小張周一、二均在網上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，如果周一選每平臺買菜，那么周二選擇平合買菜的概率為，求小張周二選擇平臺買菜的概率；
(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從M社區(qū)隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為隨機變量，并記隨機變量，求、的期望和方差.
參考公式：，其中.
參考公式及數據：，其中.
4．（2025·山東濰坊·模擬預測）截至2024年底，我國新能源汽車保有量達到3140萬輛，占汽車總量的8.9%．某市調查了1000名汽車駕駛員對新能源汽車的偏好程度，調查結果如下：
(1)請根據所給數據，完成上面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別有關；
(2)用頻率估計概率，在所有參加調查的駕駛員中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取10名駕駛員，再從這10名駕駛員中隨機抽取2人進行問卷調查．
（?。┏槿〉?人中，求在有女性駕駛員參加問卷調查的條件下，恰有1名男性駕駛員也參加問卷調查的概率；
（ⅱ）記抽取的2人中，來自女性駕駛員且偏好新能源汽車的人數為X，求X的分布列和數學期望．
附：
5．（24-25高三下·云南玉溪·階段練習）一個航空航天的興趣小組，隨機對學校100名學生關于航空航天是否感興趣的話題進行統(tǒng)計，其中被選取的男女生的人數之比為．
(1)請補充完整列聯(lián)表，并根據小概率值的獨立性檢驗，來推斷學生男女性別是否對航空航天感興趣的情況有差異．
(2)一名興趣小組成員在試驗桌上進行兩艘飛行器模型間的“交會對接”游戲，已知左右兩邊均有2艘“運輸船”和1艘“轉移塔”．游戲規(guī)則是每次在左右兩邊各任取一艘飛行器交換，假設“交會對接”重復了次，記左邊剩余“轉移塔”的艘數為，左邊恰有1艘“轉移塔”的概率為，恰有2艘“轉移塔”的概率為，求
①求的分布列；
②求；
③試判斷是否為定值，并加以證明．
附：．
題型08 線性回歸與非線性回歸
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三下·安徽·階段練習）某健身俱樂部研究會員每周鍛煉時長與體重減少量的關系，隨機抽取10名會員的數據如下：
并計算得：
(1)根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明；
(2)求經驗回歸方程（結果精確到 0.01 ）；
(3)該俱樂部推廣了一項激勵措施后，發(fā)現(xiàn)會員平均每周鍛煉時長增加2個小時，實際觀測到的平均體重減少量增加了0.8千克.請結合回歸分析結果，判斷該回歸模型是否具有參考價值，并給出合理的解釋.
(參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，. 參考值：)
2．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）近年來，政府相關部門引導鄉(xiāng)村發(fā)展旅游業(yè)的同時，鼓勵農戶建設溫室大棚種植高品質農作物.為了解某農作物的大棚種植面積對種植管理成本的影響，甲?乙兩名同學一起收集了6家農戶的數據，進行回歸分析，得到兩個回歸模型：模型①；模型②.對以上兩個回歸方程進行殘差分析，得到下表：
注：表中.
(1)將以上表格補充完整，并根據殘差平方和判斷哪個模型擬合效果更好；
(2)視殘差的絕對值超過1.5的數據為異常數據，針對（1）中擬合效果較好的模型，剔除異常數據后，重新求其經驗回歸方程.
參考公式：.
3．（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，其產卵數與溫度有關．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產卵數（個）和溫度的8組觀測數據，制成圖l所示的散點圖，現(xiàn)用兩種模型①，②分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖．
根據收集到的數據，計算得到如下值：表中；；；
(1)根據殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，哪種模型比較合適？
(2)求出關于的回歸方程．附：對于一組數據，，…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，
4．（24-25高三·上海·課堂例題）2020年1月15日，教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，由試點高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié).
(1)為了更好地服務于高三學生，某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力和判斷力進行統(tǒng)計分析，得到下表數據：
請用相關系數說明該組數據中與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，并求關于的線性回歸方程（精確到0.01）；
(2)現(xiàn)有甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門筆試科目通過的概率均為，該考生報考乙大學，每門筆試科目通過的概率依次為、、，其中，根據規(guī)定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的期望為依據作出決策，求該考生更希望通過乙大學筆試時的取值范圍.
5．（2025高三·全國·專題練習）人們用大數據來描述和定義信息時代產生的海量數據，并利用這些數據處理事務和做出決策，某公司通過大數據收集到該公司銷售的某電子產品1月至5月的銷售量如下表.
該公司為了預測未來幾個月的銷售量，建立了關于的回歸模型：.
(1)根據所給數據與回歸模型，求關于的回歸方程（的值精確到0.1）；
(2)已知該公司的月利潤（單位：萬元）與，的關系為，根據（1）的結果，問該公司哪一個月的月利潤預報值最大？
題型09 概率與統(tǒng)計綜合
【解題規(guī)律·提分快招】
1、概率與統(tǒng)計圖表的綜合應用題關鍵點：
（1）從題目條件或統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉出所需要的信息；
（2） = 1 \* GB3 ①進行概率與統(tǒng)計的正確計算； = 2 \* GB3 ②此類問題中的概率大多是古典概型、條件概率，求解時注意運用對立事件的概率。
2、頻率分布直方圖
（1）頻率、頻數、樣本容量的計算方法
①eq \f(頻率,組距)×組距＝頻率．
②eq \f(頻數,樣本容量)＝頻率，eq \f(頻數,頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數．
③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于．
（2）頻率分布直方圖中數字特征的計算
= 1 \* GB3 ①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．
= 2 \* GB3 ②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設中位數為，利用左（右）側矩形面積之和等于，即可求出．
= 3 \* GB3 ③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點，為每個小長方形的面積．
【典例訓練】
一、解答題
1．（2025·陜西寶雞·二模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產線進行試產．其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：、、、、．根據長期檢測結果，發(fā)現(xiàn)芯片的質量指標值服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該品牌芯片的生產線中隨機抽取件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據檢測結果，樣本中芯片質量指標值的標準差的近似值為，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，可得到X服從的正態(tài)分布．求和的值；
(2)從樣本中質量指標值在和的芯片中隨機抽取件，記其中質量指標值在的芯片件數為，求的分布列和數學期望；
(3)將指標值不低于的芯片稱為等品．通過對芯片長期檢測發(fā)現(xiàn)，在生產線任意抽取一件芯片，它為等品的概率為，用第（1）問結果試估計的值．
（附：①同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．）
2．（24-25高三上·上?！るA段練習）某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇．為了解該校學生是否同意“三項體育活動中要有籃球”，學校隨機調查了名學生，數據如表：
(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關?
(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學生選擇．若甲、乙兩學生從三項運動中隨機選一種（他們的選擇相互獨立）．若在甲學生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為．記事件為“甲學生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件是否獨立，并說明理由．
(3)經觀察，該校學生每分鐘跳繩個數，由往年經驗，訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時增加個，該校有名學生，預估經過訓練后每分鐘跳個以上人數（結果四舍五入到整數）．
參考公式和數據：，其中；
若，則，，．
3．（24-25高三下·山東青島·開學考試）某城市一室內游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內周一至周五銷售優(yōu)惠券情況．
經計算可得：，，．
(1)已知y關于t的經驗回歸方程為，求y關于t的經驗回歸方程；
(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為．
①求、及；
②求及的最值．
參考公式：，．
4．（2024·四川德陽·模擬預測）恰逢盛世，風調雨順.某稻米產地今秋獲得大豐收，為促進當地某品牌大米銷售，甲、乙兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產的該品牌大米.通過在某時段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干部的直播間（下簡稱甲直播間、乙直播間）購買的情況進行調查（假定每人只在一個直播間購買大米），得到以下數據：
(1)補全2×2列聯(lián)表，并判斷依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區(qū)有關；
(2)用樣本分布的頻率分布估計總體分布的概率，若共有名網民在甲、乙直播間購買大米，且網民選擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買大米的網民數為，求使事件“”的概率取最大值時的值.
附：，其中.
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）2024年初，冰城哈爾濱充分利用得天獨厚的冰雪資源，成為2024年第一個“火出圈”的網紅城市，冰城通過創(chuàng)新營銷展示了豐富的文化活動，成功提升了吸引力和知名度，為其他旅游城市提供了寶貴經驗，從2024年1月1日至5日，哈爾濱太平國際機場接待外地游客數量如下：
(1)計算的相關系數（計算結果精確到0.01），并判斷是否可以認為日期與游客人數的相關性很強；
(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
(3)為了吸引游客，在冰雪大世界售票處針對各個旅游團進行了現(xiàn)場抽獎的活動，具體抽獎規(guī)則為：從該旅游團中隨機同時抽取兩名游客，兩名游客性別不同則為中獎．已知某個旅游團中有5個男游客和個女游客，設重復進行三次抽獎中恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？
參考公式：，，，
參考數據：．
6．（24-25高三上·上海·期末）某射擊隊舉行一次娛樂活動，該活動分為兩階段，第一階段是選拔階段，甲、 乙兩位運動員各射擊100次，所得成績中位數大的運動員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：
①有4次游戲機會；
②依次參加游戲.
③若一個游戲勝利，可以參加下一個游戲； 若游戲失敗，繼續(xù)進行該游戲； 若輪到游戲后，無論勝利還是失敗，一直都參加游戲，直到4次機會全部用完.
④參加游戲，則每次勝利可以獲得獎金100元； 參加游戲，則每次勝利可以獲得獎金200元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎金500元； 不管參加哪一個游戲，失敗均無獎金.
已知甲參加每一個游戲獲勝的概率都是乙參加每一個游戲獲勝的概率都是甲、 乙參加每次游戲相互獨立，第一階段甲、乙兩位運動員射擊所得成績的頻率分布直方圖如下：

(1)甲、乙兩位運動員誰參加第二階段游戲? 并說明理由.
(2)在（1）的基礎上，解答下列兩問：
（i）求該運動員能參加游戲的概率.
（ii）設4次游戲結束后有種不同的獎金額，記：為該運動員最終獲得的獎金額，為獲得元獎金對應的概率，定義最終獲得獎金的期望為求該運動員最終獲得獎金的期望.
一、解答題
1．（24-25高三下·江蘇宿遷·開學考試）為服務北京城市副中心三大文化建筑（北京藝術中心，北京城市圖書館和北京大運河博物館）游客差異化出行需求，北京市交通委于2024年開通三大文化建筑周邊自動駕駛微公交接駁服務．無人駕駛微公交每輛車滿載可乘坐9名乘客，為預測未來某站點在客流量高峰期乘車人數的規(guī)律，收集了以往某個客流量高峰期連續(xù)20輛微公交的乘車人數數據．如下：
用頻率估計概率．
(1)試估計該站點客流量高峰期微公交乘車人數為9人的概率；
(2)假設微公交乘車人數相互獨立，記X為未來該站點客流量高峰期兩輛微公交乘車人數之和，求X的分布列及數學期望．
2．（24-25高三下·青海玉樹·開學考試）中俄廣場舞健身操大賽作為中俄文化年活動內容的一部分，以“民相親、增友誼、促交流、共發(fā)展”為宗旨，續(xù)寫中俄友誼的新篇章.某城市通過微信端對100支參賽隊伍進行投票海選，下面是根據投票結果繪制的票數頻率分布直方圖，且得票總數不低于40百張的隊伍晉級全省復賽.

(1)根據已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據此資料你是否認為隊伍“晉級復賽”與平均年齡有關？
(2)將上述城市投票所得到的頻率視為概率．現(xiàn)從全國所有參賽隊伍中，采用隨機抽樣方法每次抽取1支隊伍，抽取3次，記被抽取的3支隊伍中“晉級復賽”的隊伍數為若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望和方差
附：
3．（2024·全國·模擬預測）一座城市的夜間經濟不僅有助于拉動本地居民內需，還能延長外地游客、商務辦公者等的留存時間，帶動當地經濟發(fā)展，是衡量一座城市生活質量、消費水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標．數據顯示，近年來中國各地政府對夜間經濟的扶持力度加大，夜間經濟的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經濟的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），其中2017—2022年對應的年份代碼依次為1~6．
(1)已知可用函數模型擬合與的關系，請建立關于的回歸方程（的值精確到0.01）；
(2)某傳媒公司預測2024年中國夜間經濟的市場規(guī)模將達到48.1萬億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預測2024年中國夜間經濟的市場規(guī)模，若兩個預測規(guī)模誤差不超過1萬億元，則認為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數據：
其中．
參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．
4．（2025屆煙臺市、東營市高考診斷性測試（高三一模）數學試題）為加強中小學科學教育，某市科協(xié)，市教育局擬于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全市中小學機器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設置穿越障礙、搬運物品兩個項目.每支參賽隊先挑戰(zhàn)穿越障礙項目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運物品項目.每支參賽隊每個項目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金2000元，該項目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金1000元，否則，不獲得獎金.假設甲參賽隊在每個項目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，第一次挑戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項目成功的概率為；兩個項目是否挑戰(zhàn)成功相互獨立.
(1)設事件“甲參賽隊兩個項目均挑戰(zhàn)成功”，求；
(2)設比賽結束時，甲參賽隊獲得獎金數為隨機變量，求的分布列；
(3)假設本屆比賽共有36支參賽隊，且根據往屆比賽成績，甲參賽隊獲得獎金數近似為各參賽隊獲得獎金數的平均水平.某贊助商計劃提供全部獎金，試估計其需提供的獎金總額.
5．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發(fā)主要采用（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為，當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.
(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求的分布列和數學期望；
(2)設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．
6．（24-25高三下·內蒙古呼和浩特·階段練習）某校高三學生共有500人，年級組長利用數字化學習軟件記錄每位學生每日課后作業(yè)完成的時長，期中考試之后統(tǒng)計得到了如下平均作業(yè)時長與學業(yè)成績的數據表：
(1)填寫如下列聯(lián)表，試判斷：是否有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均作業(yè)時長不小于2小時且小于3小時有關？
(2)常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比．已知該校高三學生女生中成績優(yōu)秀的學生占比，現(xiàn)從所有高三學生中任選一人，A表示“選到的是男生”，表示“選到的學生成績優(yōu)秀”，若，求．
附：．
7．（24-25高三上·海南·階段練習）近年來，隨著電腦、智能手機的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展.某在線教育平臺為了解利用該平臺學習的高三學生化學學習效果，舉行了一次化學測試，并從中隨機抽查了200名學生的化學成績，將他們的成績分成以下6組：，，，，，統(tǒng)計結果如下面的頻數分布表所示.
(1)現(xiàn)利用分層抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機抽取4人調查其成績不理想的原因，試求這4人中至少有2人來自前2組的概率.
(2)高三學生的這次化學成績（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本的標準差，并已求得.且這次測試恰有2萬名學生參加.
（i）試估計這些學生這次化學成績在區(qū)間內的概率（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（ii）為了提升學生的成績，該平臺決定免費贈送給在平臺學習的學生若干學習視頻，具體贈送方案如下：
方案1：每人均贈送25小時學習視頻；
方案2：這次測試中化學成績不高于56.19分的學生贈送40小時的學習視頻，化學成績在內的學生贈送30小時的學習視頻，化學成績高于84.81分的學生贈送10小時的學習視頻.問：哪種方案該平臺贈送的學習視頻總時長更多？請根據數據計算說明.
參考數據：則，.
8．（24-25高三下·北京·階段練習）某大學附屬中學高三年級同時選考物理、化學、生物的學生共有400人，其中A類班型140人，B類班型180人，C類班型80人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該年級的所有同時選考物理、化學、生物的學生中抽取20人，調查其各科在考試中“失誤丟分多于5分”的情況，并按照班型進行各專項人數匯總，數據統(tǒng)計如表：
若同一學生不同學科是否“失誤丟分多于5分”相互獨立，不同學生同一學科是否“失誤丟分多于5分”也相互獨立.
(1)在抽取的20人中，A類班型、B類班型、C類班型各有多少人；
(2)從上表中物理“失誤丟分多于5分”的學生中隨機選取2人，記為選出的B類班型的人數，求的分布列和數學期望：
(3)從A、B、C三類班型中各隨機抽取一人，將其“失誤丟分多于5分”的科目數量記作，，，直接寫出它們的期望，，的大小關系.
9．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發(fā)經室到達室．粒子在室不旋轉，在室、室都旋轉，且只有上旋和下旋兩種狀態(tài)，粒子間的旋轉狀態(tài)相互獨立．粒子從室經過1號門進入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經過2號門進入室后，粒子的旋轉狀態(tài)發(fā)生改變的概率為．現(xiàn)有兩個粒子從室出發(fā)，先后經過1號門、2號門進入室，記室兩個粒子中，上旋狀態(tài)粒子的個數為．
(1)求的分布列和數學期望；
(2)設，若兩個粒子經過2號門后都為上旋狀態(tài)，求這兩個粒子通過1號門后都為上旋狀態(tài)的概率．
10．（2024·山東煙臺·二模）2024年1月1日起新修訂的《中華人民共和國體育法》正式施行，這對于引領我國體育事業(yè)高質量發(fā)展，推進體育強國和健康中國建設具有十分重要的意義．某學校為調查學生性別與是否喜歡排球運動的關系，在全校范圍內采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖：

(1)根據等高堆積條形圖，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據的獨立性檢驗，推斷是否可以認為該校學生的性別與是否喜歡排球運動有關聯(lián)；
(2)將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學生中隨機抽取50名學生，設其中喜歡排球運動的學生的人數為X，求使得取得最大值時的k（）值．
附：，其中．
11．（23-24高三上·山東日照·期末）普法宣傳教育是依法治國、建設法治社會的重要內容，也是構建社會主義和諧社會的應有之意．為加強對學生的普法教育，某校將舉辦一次普法知識競賽，共進行5輪比賽，每輪比賽結果互不影響．比賽規(guī)則如下：題庫中有法律文書題和案例分析題兩類問題，每道題滿分10分．每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內完成法律文書題和案例分析題各2道，若有不少于3道題得分超過8分，將獲得“優(yōu)勝獎”，5輪比賽中，至少獲得4次“優(yōu)勝獎”的同學將進入決賽．甲同學經歷多次限時模擬訓練，指導老師從訓練題庫中隨機抽取法律文書題和案例分析題各5道，其中有4道法律文書題和3道案例分析題得分超過8分．
(1)從這10道題目中，隨機抽取法律文書題和案例分析題各2道，求該同學在一輪比賽中獲“優(yōu)勝獎”的概率；
(2)將上述兩類題目得分超過8分的頻率作為概率．為提高甲同學的參賽成績，指導老師對該同學進行賽前強化訓練，使得法律文書題和案例分析題得分超過8分的概率共增加了，以獲得“優(yōu)勝獎”的次數期望為參考，試預測該同學能否進入決賽．
12．（24-25高三上·廣東深圳·期末）人工智能在做出某種推理和決策前，常常是先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據后驗概率做出推理和決策.我們利用這種方法設計如下試驗：有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子內有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球，乙袋中有2個紅球和8個白球.我們首先從這兩個袋子中隨機選擇一個袋子，假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率），再從該袋子中隨機摸出一個球，稱為一次試驗.經過多次試驗，直到摸出紅球，則試驗結束.
(1)求首次試驗結束的概率；
(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調整.
（i）求選到的袋子為甲袋的概率；
（ii）將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有兩種方案.方案①：從原來袋子中摸球；方案②：從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.
13．（2025高三下·全國·專題練習）某工廠的檢驗員為了檢測生產線上生產零件的情況，現(xiàn)從產品中隨機抽取了80個零件進行測量，根據測量的數據作出如圖所示的頻率分布直方圖．
注：尺寸數據在內的零件為合格品，頻率作為概率．
(1)從產品中隨機抽取4個，記合格品的個數為，求的分布列與期望；
(2)從產品中隨機抽取個，全是合格品的概率不小于，求的最大值；
(3)為了提高產品合格率，現(xiàn)提出兩種不同的改進方案進行試驗．若按方案進行試驗后，隨機抽取15個產品，不合格品個數的期望是2；若按方案進行試驗后，隨機抽取25個產品，不合格品個數的期望是4．你會選擇哪種改進方案？
14．（2025·重慶·一模）年月日國家市場監(jiān)督管理總局第次局務會議審議通過《食品安全抽樣檢驗管理辦法》，自年月日起實施．某地市場監(jiān)管部門對當地一食品廠生產的水果罐頭開展固形物含量抽樣檢驗，按照國家標準規(guī)定，在一瓶水果罐頭中，固形物含量不低于為優(yōu)級品，固形物含量低于且不低于為一級品，固形物含量低于為二級品或不合格品．
(1)現(xiàn)有瓶水果罐頭，已知其中瓶為優(yōu)級品，瓶為一級品．
（ⅰ）若每次從中隨機取出瓶，取出的罐頭不放回，求在第次抽到優(yōu)級品的條件下，第次抽到一級品的概率；
（ⅱ）對這瓶罐頭依次進行檢驗，每次檢驗后不放回，直到區(qū)分出瓶罐頭的等級時終止檢驗，記檢驗次數為，求隨機變量的分布列與期望；
(2)已知該食品廠生產的水果罐頭優(yōu)級品率為，且各件產品是否為優(yōu)級品相互獨立，若在次獨立重復抽檢中，至少有次抽到優(yōu)級品的概率不小于（約為），求的最小值．
15．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）某學校有、兩個餐廳，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，學生在第一天就餐時會隨機地選擇一個餐廳用餐．此后，如果某同學某天去餐廳，那么該同學下一天還去餐廳的概率為；如果某同學某天去餐廳，那么該同學下一天去餐廳的概率為．
(1)記甲、乙、丙3位同學中第2天選擇餐廳的人數為，求隨機變量的分布列和期望；
(2)甲同學第幾天去餐廳就餐的可能性最大？并說明理由．
16．（23-24高三下·重慶·階段練習）一個袋子中有10個大小相同的球，其中有4個白球，6個黃球，從中依次隨機地摸出4個球作為樣本，設采用有放回摸球和不放回摸球得到的樣本中黃球的個數分別為.
(1)求；
(2)現(xiàn)采用不放回摸球，設表示“第次取出的是黃球”，證明：；
(3)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差的絕對值不超過0.2的概率.并比較所求兩概率的大小，說明其實際含義.
17．（2024·湖南長沙·二模）某高新技術企業(yè)新研發(fā)出了一種產品， 該產品由三個電子元件構成， 這三個電子元件在 生產過程中的次品率分別為 ，組裝過程中不會造成電子元件的損壞，若有 一個電子元件是次品， 則該產品為次品. 現(xiàn)安排質檢員對這批產品一一檢查， 確保無任 何一件次品流入市場.
(1)若質檢員檢測出一件次品， 求該產品僅有一個電子元件是次品的概率;
(2)現(xiàn)有兩種方案， 方案一: 安排三個質檢員先行檢測這三個元件， 次品不進入組裝生 產線; 方案二: 安排一個質檢員檢測成品， 一旦發(fā)現(xiàn)次品， 則取出重新更換次品的 電子元件， 更換電子元件的費用為 20 元/個. 已知每個質檢員每月的工資約為 3000 元，該企業(yè)每月生產該產品 件 ，請從企業(yè)獲益的角度選擇最優(yōu)方案.
18．（2025高三·全國·專題練習）某玩具公司推出一款智能機器狗玩具，開啟電源后機器狗從起點處每次向前或向后跳動1個單位，當機器狗位置距離起點處不足（，且，可以進行手動設置）個單位時，每次向前跳動的概率為，向后跳動的概率為，當機器狗跳動后的位置距離起點處為個單位時，則連續(xù)向起點處跳動次，回到起點，然后從起點處重新開始跳動．
(1)若設置，求機器狗跳動6次后恰好回到起點的概率；
(2)若設置，記機器狗跳動5次后距離起點處個單位，求的分布列與數學期望；
(3)若機器狗跳動了次，求每次跳動后距離起點處都不足個單位的概率．
19．（2025高三下·全國·專題練習）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2020年至2024年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2020年至2024年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．
(1)根據散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤Y（單位：億元）關于年份代碼X的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據（1）中的判斷結果，建立Y關于X的回歸方程；
(3)根據（2）的結果，估計2025年的企業(yè)利潤．
參考公式及數據：，．
20．（24-25高三上·廣西·期中）某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現(xiàn)對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：
(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；
(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標準差的近似值為．根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本標準差．假設某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間的車輛數，求；
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在軸上從原點出發(fā)向右運動，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，遙控車向右移動一個單位，若擲出反面，遙控車向右移動兩個單位，直到遙控車移動到點（勝利大本營）或點（失敗大本營）時，游戲結束．若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．設遙控車移到點的概率為，試證明數列是等比數列，求出數列的通項公式，并解釋這種游戲方案對意向客戶是否有吸引力．
參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．
21．（2024高三·全國·專題練習）某校為了解該校學生“停課不停學”的網絡學習效率，隨機抽查了高三年級100位學生的某次數學成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：
(1)估計這100位學生的數學成績的平均值；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）
(2)根據整個年級的數學成績可以認為學生的數學成績近似地服從正態(tài)分布，經計算，（1）中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現(xiàn)任抽取一位學生，求他的數學成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量，則，，）
(3)該年級1班的數學老師為了能每天督促學生的網絡學習，提高學生每天的作業(yè)質量及學習數學的積極性，特意在微信上設計了一個每日作業(yè)小程序，每當學生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據獲得積分的多少向老師領取相應的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結束，每天的積分自動累加，設小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數列，并求（獲勝的概率）的值.
一、二項分布
1.定義
一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
…
…
…
…
由于表中第二行恰好是二項式展開式
各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．
注：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．
2.二項分布的適用范圍及本質
（1）適用范圍：
①各次試驗中的事件是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
③隨機變量是這次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數．
（2）本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．
3.二項分布的期望、方差
若，則，．
二、超幾何分布
1.定義
在含有件次品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．
0
1
…
…
2.超幾何分布的適用范圍件及本質
（1）適用范圍：
①考察對象分兩類；
②已知各類對象的個數；
③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數的概率分布．
（2）本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．
回答不優(yōu)秀
回答優(yōu)秀
合計
A校學生
B校學生
200
100
合計
500
一、正態(tài)分布
1.定義
隨機變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．
一般地，如果對于任何實數，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．
其中，參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
2.原則
若，則對于任意的實數，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大
特別地，有；；．
由，知正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間之內．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．
一、條件概率
（1）一般地，設，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
二、條件概率性質應用
（1）由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（2）如果和是兩個互斥事件，則；
三、全概率公式及其應用
一般地,設,,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.
四、貝葉斯公式及其應用
（1）設,,是一組兩兩互斥的事件,,且，，
則對任意的事件,，有，.
0.8858
0.8681
0.8508
0.8337
一、馬爾科夫鏈
①基本原理
1、轉移概率：對于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉移概率.
2、馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當前狀態(tài)的影響，與之前的無關.
無記憶性：下一個狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關，與更前面的狀態(tài)沒有關系
高中階段考察的馬爾科夫鏈，其實很簡單，找到初始狀態(tài)和遞推關系即可
3、完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個條件：
（1）；
（2）.
則稱是的一個完備事件組，也稱是的一個分割.
4、全概率公式： 設是一個完備事件組，則有
5、一維隨機游走模型，即：設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位. 若記狀態(tài)表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.
進一步，我們假設在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.
進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據全概率公式可得：
②解題技巧
①找到當下狀態(tài)下的“前一次事件”的所有可能性
②結合對應概率寫出“前一次”狀態(tài)下所有可能性的數列遞推關系（一階遞推數列或二階遞推數列）
③利用數列遞推關系求出數列的通項公式
決策問題的解決策略：決策的工具是有關概率，決策方案的最佳選擇是將概率最大（最小）作為最佳方案，可能需要借助函數的性質去實現(xiàn)。
選項
作出正確判斷
判斷不了（不選）
作出錯誤判斷
A
0.8
0.1
0.1
B
0.7
0.1
0.2
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2
一、獨立性檢驗的具體步驟
（1）根據題目信息，完善列聯(lián)表；
（2）提出零假設：假設兩個變量相互獨立，并給出在問題中的解釋。
（3）根據列聯(lián)表中的數據及計算公式求出的值；
（4）當時，我們就推斷不成立，即兩個變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當時，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為兩個變量相互獨立。
男
女
合計
網購迷
20
非網購迷
47
合計
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好石墨烯電池電動車
偏好鉛酸電池電動車
合計
男性市民
女性市民
合計
500
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜歡網上買菜
不喜歡網上買菜
合計
年齡不超過45歲的市民
40
10
50
年齡超過45歲的市民
20
30
50
合計
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好燃油汽車
偏好新能源汽車
合計
男性駕駛員
女性駕駛員
100
400
合計
400
1000
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
感興趣
不感興趣
合計
男生
女生
15
合計
50
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
一、線性回歸模型
1.線性回歸
線性回歸是研究不具備確定的函數關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法．
對于一組具有線性相關關系的數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為
其中，，，（，）稱為樣本點的中心．
2.殘差分析
對于預報變量，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值等于殘差，稱為相應于點的殘差，即有．殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析．
（1）殘差圖
通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．
（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．
（3）相關指數
用相關指數來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．
越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．
二、非線性回歸模型
解答非線性擬合問題，要先根據散點圖選擇合適的函數類型，設出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉化為我們熟悉的線性回歸方程．
求出樣本數據換元后的值，然后根據線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測，注意計算要細心，避免計算錯誤．
1.建立非線性回歸模型的基本步驟：
（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；
（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；
（3）由經驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈非線性關系，一般選用反比例函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數模型等）；
（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；
（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數（如最小二乘法），得到線性回歸方程；
（6）消去新元，得到非線性回歸方程；
（7）得出結果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等．
會員序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
鍛煉時長（小時）
3
4
2
5
6
4
5
3
4
4
40
體重減少量（千克）
1.0
1.5
1.0
2.0
2.5
1.8
2.0
1.0
1.6
2.0
16.4
種植面積畝
2
3
4
5
7
9
每畝種植管理成本/百元
25
24
21
22
16
14
模型①
估計值
25.27
23.62
21.97
17.02
13.72
殘差
0.38
0.28
模型②
估計值
26.84
20.17
18.83
17.31
16.46
殘差
0.83
3.17
25
2.9
646
168
422688
50.4
70308
6
8
9
10
12
2
3
4
5
6
月份
1
2
3
4
5
銷售量（萬件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
男生
女生
合計
同意
不同意
合計
星期t
1
2
3
4
5
銷售量y（張）
218
224
230
232
236
網民類型
在直播間購買大米的情況
合計
在甲直播間購買
在乙直播間購買
本地區(qū)網民
外地區(qū)網民
30
45
合計
20
100
a
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
（日）
1
2
3
4
5
（萬人）
45
50
60
65
80
車次序號
乘車人數
1-10號
8
9
9
9
8
9
9
9
9
7
11-20號
9
9
8
9
9
9
9
9
7
8
未晉級復賽
晉級復賽
合計
平均年齡不超過50歲
平均年齡超過50歲
10
55
合計
k
年份代碼
1
2
3
4
5
6
中國夜間經濟的市場發(fā)展規(guī)模萬億元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
3.366
73.282
17.25
1.16
2.83
平均作業(yè)時長（單位：小時）
學業(yè)成績優(yōu)秀：
學業(yè)成績不優(yōu)秀：
時長
其他
總計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
總計
組別
頻數
20
30
40
60
30
20
“失誤丟分多于5分”人數
語文
數學
英語
物理
化學
生物
A類班型
4
1
2
2
1
3
B類班型
6
2
1
5
1
6
C類班型
1
2
1
1
2
1
性別
是否喜歡排球運動
合計
是
否
男生
女生
合計
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828

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