題型一：球與截面面積問題
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在該球面上，若兩個(gè)圓錐的高之比為，它們的體積之和為，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
記該截面和球的半徑分別為，由于兩個(gè)圓錐的高之比為，
故球心到該截面的距離為，從而，.
而兩個(gè)圓錐的高分別是，故體積之和.
從而，故，.
該球的表面積.
故選：B.
2．已知正四面體內(nèi)接于球O，E為底面三角形ABC中邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，若存在半徑為的截面圓，則此四面體的棱長的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，在正四面體中，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，
則球心在上，在上，且,連接?，
設(shè)正四面體的棱長為，則 ，
則正四面體的高，
設(shè)外接球半徑為，
在中，，即，解得，
∴在中，，
過點(diǎn)作外接球的截面，只有當(dāng)截面圓所在的平面時(shí)，截面圓的面積最小，
此時(shí)截面圓的半徑為，
最大截面圓為過球心的大圓，半徑為，
由題設(shè)存在半徑為的截面圓，∴，解得，
故選:C.
3．（2024·陜西榆林·一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，
因?yàn)椋?br>所以.由勾股定理，得，由題意得，
所以，解得，
此時(shí)過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.
設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，
所以只需球心到所求截面的距離最大即可，
而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，
即，所以.
故選：C
題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題
4．（多選題）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A．B．平面ABCD
C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等
【答案】AD
【解析】對(duì)A，不妨取點(diǎn)與點(diǎn)重合，
因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，且不過點(diǎn)，
所以異面，即此時(shí)異面，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，因?yàn)槠矫?，且平面平面?br>所以平面，所以平面，B正確，不符合題意；
對(duì)C，易知，點(diǎn)到平面的距離為定值，又，
所以三棱錐的體積為定值，C正確；
對(duì)D，記的中點(diǎn)分別為，連接，
易知平面，平面，所以，
因?yàn)?，是平面?nèi)的兩條相交直線，
所以平面，
又平面，所以，所以，
所以，D錯(cuò)誤.
故選：AD
5．（多選題）在正八面體中，所有棱長均為1，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為正八面體內(nèi)切球球面上的任意一點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．正八面體內(nèi)切球的表面積
B．正八面體的體積為
C．的范圍是
D．若,，二面角的平面角為，則為定值
【答案】ACD
【解析】A.由題意得，可以只分析正四棱錐，易得正四棱錐的高為，
側(cè)面正三角形的高為，因此由等面積法可得，解得，
所以表面積為，故A正確；
B．正四面體的體積為兩個(gè)正四棱錐的體積之和，
因此，故B錯(cuò)誤；
C．取中點(diǎn)，
，
而點(diǎn)到的距離為，
因此的最小值為，最大值為， ，
代入數(shù)據(jù)可得的范圍是，故C正確；
D．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn),
因此,即為二面角的平面角，
在三角形中，，
在三角形中，，
所以，
化簡可知
因此，因此D正確.
故選：ACD
題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題
6．（多選題）在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，平面
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，的面積為定值
D．當(dāng)時(shí)，直線與所成角的范圍為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，
又平面，所以平面，
在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，
所以，，平面，平面，平面，
同理可證平面，
，所以，平面平面，
平面，所以，平面，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，
三棱錐的體積為定值，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過作于點(diǎn)，
則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，
因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，
在正中，的取值范圍為，D正確.
故選：ABD.
7．（多選題）（2024·湖南常德·一模）已知正方形邊長為4，將沿向上翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)點(diǎn)為翻折過程中點(diǎn)的位置（不包含在點(diǎn)處的位置），則下列說法正確的有（ ）
A．無論點(diǎn)在何位置，總有
B．直線與平面所成角的最大值為
C．三棱錐體積的范圍為
D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為
【答案】ACD
【解析】
對(duì)于A，設(shè)是正方形的中心，則.
過在正方形上方作直線，使得平面，，
再在平面內(nèi)以為圓心，為半徑作圓，
則的軌跡為圓位于正方形上方的部分（不含點(diǎn)）.
由于平面，在平面內(nèi)，故.
而，和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，所以平面.
又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，A正確；
對(duì)于B，由于平面，平面的兩直線和相交，
故直線與平面所成角即為，
而當(dāng)在圓的上半部分（不含點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，的范圍是，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于到平面的距離的取值范圍是，即，
而三棱錐的體積，故其取值范圍是，C正確；
對(duì)于D，若平面平面，由于平面，在平面內(nèi)，
故.
而平面平面，在平面內(nèi)，，平面和平面的交線是，
故平面.
而平面，故位于同一直線上，而，且均在正方形上方，故點(diǎn)和點(diǎn)重合.
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為.
由于，故.
而，，且由C選項(xiàng)的計(jì)算可知.
故，得，D正確.
故選：ACD.
8．（多選題）（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．點(diǎn)F到平面EAC的距離為
D．過E作平面與平面ACE垂直，當(dāng)與正方體所成截面為三角形時(shí)，其截面面積的范圍為
【答案】BCD
【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
對(duì)于A，，顯然與不共線，即與不平行，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，因此，B正確；
對(duì)于C，，設(shè)平面的法向量，
則，令，得，而，
點(diǎn)F到平面的距離為，C正確；
對(duì)于D，過點(diǎn)垂直于平面的直線與平面相交，令交點(diǎn)為，
則，點(diǎn)，由，得，即，
當(dāng)平面經(jīng)過直線并繞著直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，平面與平面的交線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，
當(dāng)交線與線段，都相交時(shí)，與正方體所成截面為三角形，
令平面與平面的交線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，設(shè)，，
，，由，
得，，斜邊上的高，
則截面邊上的高，
截面的面積
，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，D正確.
故選：BCD
題型四：立體幾何中的交線問題
9．（2024·山東棗莊·一模）在側(cè)棱長為2的正三棱錐中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，則以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長的和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取中點(diǎn)，連接、，則有，，
又，、平面，故平面，
又平面，故，又，
，、平面，故平面，
又、平面，故，，
由正三棱錐的性質(zhì)可得、、兩兩垂直，
故，即以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為：
，即與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長的和為.
故選：C.
10．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在正六棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以球不與側(cè)而及側(cè)面相交，
連接．由題得，．所以，
所以球與側(cè)面交于點(diǎn)，，與側(cè)面交于點(diǎn)，．
在正六邊形中，易得，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，又，平面，
所以平面，即平面，且，又，．
所以球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓．
由題易得，則球與上底面及下底面的交線均為個(gè)半徑為的圓．
所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為．
故選：D．
11．（多選題）已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（ ）
A．的長度為B．的長度為
C．的長度為D．的長度為
【答案】AD
【解析】如圖所示，
連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點(diǎn)，
交的延長線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，
則即為，即為，
由，得，所以，，
由，得，則，
所以，故C錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)，
故選：AD.
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
12．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】將正方體的側(cè)面與展開到同一平面
在同一平面內(nèi)可知的最小值就是點(diǎn)到的距離，
正方體中，為棱的中點(diǎn)，所以，，
是正方形，所以
故答案為：
13．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，三棱錐的外接球體積為 .
【答案】/
【解析】由題意得，，將平面展成與平面同一平面，
當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，
在展開圖中作，垂足為N，
因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，?br>由得，，解得，
在正方體，過點(diǎn)作，垂足為，則，
如圖，以D為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槠矫?，且?br>所以平面，
因?yàn)椋?br>所以三棱錐外接球的球心在上，
設(shè)球心為，設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，即，所以外接球，
所以三棱錐外接球的體積，
故答案為：.
14．如圖，在三棱錐中，平面，，，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和線段上任意一點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)槠矫妫?，所以?br>又因?yàn)?，?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>在中，可得，
在中，，
故，
則，
又因?yàn)椋?br>所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，
綜上所述，的最小值是.
故答案為：
題型六：空間角問題
15．正三棱錐和正三棱錐共底面，這兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，點(diǎn)和點(diǎn)在平面ABC的異側(cè)，這兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為，則當(dāng)最大時(shí)，
【答案】
【解析】如圖：設(shè)在平面的射影為，根據(jù)正三棱錐和球的對(duì)稱性知：球心O在線段PQ上.
取中點(diǎn)，連接，則，又平面，
所以,分別為兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角，
記，
不妨設(shè)，，
所以
則
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由于，
故當(dāng)最大時(shí)， .
故答案為：
16．（2024·山東青島·三模）已知長方體中，，點(diǎn)為矩形 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若 ，則三棱錐體積的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，
連接，則，，由，則，
又、平面，故，，則，
由拋物線定義可知，的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，
所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，
當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，即三棱錐體積最小，
取中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
則直線的方程為：，即，
拋物線的方程為，則，
由題意，令，得，代入，得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為：
，因?yàn)椋?br>所以，
所以三棱錐體積的最小值為.
故答案為：.
17．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為4的球O的表面上，且平面，，，，點(diǎn)M在上，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)， ．
【答案】
【解析】
設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，設(shè)的中點(diǎn)為，
外接球的球心為，連接，則平面，，
因?yàn)槠矫?，故，故四點(diǎn)共面，
而平面，故，故，
故四邊形為矩形.
而，故，故.
在中，，
故，故，故，
故，
因?yàn)槠矫妫蕿橹本€與平面所成的角，
當(dāng)長度最小時(shí)，最大值，此時(shí)，故.
故答案為：
題型七：軌跡問題
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）在三棱錐中，已知與均是邊長為4的正三角形，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，為三棱錐的外接球表面上一動(dòng)點(diǎn)，若異面直線，始終保持垂直，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成圖形的周長為 ．
【答案】/
【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，
則，，平面，
所以平面，則，
又，所以，所以．
過作于，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點(diǎn)且，
所以點(diǎn)的軌跡為平面截三棱錐的外接球所得的截面圓．
設(shè)，的中心分別為，，連接，，，易知平面，平面，
且，，，四點(diǎn)共面，
由題可得，，所以．
又，則三棱錐的外接球半徑．
易知平面平面，點(diǎn)到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑，
所以截面圓的周長，即所求周長為．
故答案為：
19．如圖，在棱長為 的正方體 中， 為面 上的動(dòng)點(diǎn)， ，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】如圖，連接，由正方體的性質(zhì)可得，平面，
則平面，又平面，則，
又平面，
則平面，又平面，則，
因?yàn)槠矫?，則平面，不妨設(shè)垂足為，
則，
又因?yàn)椋獾?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是在平面中，
以正的中心為圓心，為半徑的圓弧，如圖4，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為劣?。?br>如圖5，過作的垂線，垂足為，連接，在中，，，
所以，又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為．
故答案為：.
20．已知菱形的各邊長為2，.如圖所示，將沿折起，使得到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)，是線段中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，則三棱錐外接球半徑為 ，則點(diǎn)的軌跡的周長為 .
【答案】 /
【解析】取中點(diǎn)，則，，，平面,
平面，，又，
，
作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，
則平面經(jīng)過點(diǎn)且，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，，的中心分別為，，
易知平面，平面，且，，，四點(diǎn)共面，
由題可得，，
在△，得，又，
則三棱錐外接球半徑，
易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
截面圓的周長為，即點(diǎn)軌跡的周長為．
故答案為：，．
題型八：翻折問題
21．（多選題）已知平行四邊形中，，將沿著翻折使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)且不在平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線可能與直線垂直
B．直線可能與直線垂直
C．直線可能與直線垂直
D．直線不可能與直線垂直
【答案】AB
【解析】
當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，平面 PBD 與平面 BCD 相交于BD，
由，可得平面，平面，
此時(shí)，，則A正確，D錯(cuò)誤；
而，即直線與直線所成角為，只要,
此時(shí)為等腰直角三角形. 在以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，
則根據(jù)直徑AP所對(duì)圓周角為直角，即.滿足題意.
所以存在點(diǎn)，使得，B正確；
由可得，所以為銳角，則為銳角，所以C錯(cuò)誤.
故選：AB.
22．（多選題）如圖，等邊三角形的邊長為4，E為邊的中點(diǎn)，于D.將沿翻折至的位置，連接.那么在翻折過程中，下列說法當(dāng)中正確的是（ ）
A．
B．四棱錐的體積的最大值是
C．存在某個(gè)位置，使
D．在線段上，存在點(diǎn)M滿足，使為定值
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，即，?br>因?yàn)椋?，面，則平面，
因?yàn)槠矫妫?，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大.
由A易知為二面角的平面角，此時(shí).
即，，，，面，
此時(shí)平面，即為四棱錐底面上的高，
由題意可得，
四棱錐的體積的最大值為：，故B正確；
對(duì)于C：假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，連接，由正三角形性質(zhì)得，
因?yàn)?，，面，所以平面?br>由平面，所以，由A知，
因?yàn)?，，面，所以平面?br>由平面，所以，則，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由題設(shè)，點(diǎn)M在線段上，且，
取的中點(diǎn)N，連接NB，則，，
由底面三角形的邊長為4，則，，，
因?yàn)槠矫?，所以面，面，所以?br>所以為直角三角形，且，，故為定值，故D正確.
故選：ABD.
23．（多選題）在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，將沿直線翻折成．若M為線段的中點(diǎn)，則在從起始到結(jié)束的翻折過程中，（ ）
A．存在某位置，使得
B．存在某位置，使得
C．的長為定值
D．與所成角的正切值的最小值為
【答案】BCD
【解析】如圖，
設(shè)的中點(diǎn)，連接，則，若，由，平面，可得平面，平面，則可證出，顯然矛盾，故 A 錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?dāng)平面，由平面可得，由，平面，即可得平面，再由平面，則有，故B正確；
取中點(diǎn)，，，，且方向相同，
所以為定值，所以為定值，故C正確；
不妨設(shè)，以分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
，，設(shè)與所成角為，
則，即與所成最小角的余弦值為，此時(shí)，故D正確.
故選：BCD
重難點(diǎn)突破：以立體幾何為載體的情境題
24．連接三角形三邊中點(diǎn)所得的三角形稱為該三角形的“中點(diǎn)三角形”，定義一個(gè)多面體的序列；是體積為1的正四面體，是以的每一個(gè)面上的中點(diǎn)三角形為一個(gè)面再向外作正四面體所構(gòu)成的新多面體.則的體積為 .
【答案】
【解析】如圖，畫出了，因?yàn)橛?個(gè)面，則有24個(gè)面，歸納可知有個(gè)面，
這個(gè)數(shù)即是到時(shí)增加的小正四面體的個(gè)數(shù)，
由于新增加的每一個(gè)小正四面體的體積是前一個(gè)小正四面體體積的，
歸納得到時(shí)增加的每個(gè)小正四面體的體積為，
所以比的體積增加了，
所以的體積為.
故答案為：.
25．在空間直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)之間的“直角距離”．若和兩點(diǎn)之間的距離是，則和兩點(diǎn)之間的“直角距離”的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以設(shè)，
其中，因此
，
因?yàn)椋?，因此?br>設(shè)，
于是有
，
因?yàn)?，所以?br>因此當(dāng)且時(shí)，即當(dāng)且時(shí)，
有最大值，
當(dāng)且或時(shí)，有最小值，
此時(shí)，或，
所以的最小值，
綜上，和兩點(diǎn)之間的“直角距離”的取值范圍是.
故答案為：
26．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為：，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，，平面和平面遍歷多面體M的所有以點(diǎn)P為公共點(diǎn)的面，在長方體中，，，點(diǎn)S為底面的中心，記三棱錐在點(diǎn)A處的離散曲率為，四棱錐在點(diǎn)S處的離散曲率為n，則 ．
【答案】
【解析】在長方體中, ,
故三棱錐在點(diǎn)A處的離散曲率；
設(shè)交于O,連接,，，四邊形為正方形，
則 , ,故 ,同理,
四棱錐為正四棱錐，而 ,則四棱錐每個(gè)側(cè)面都為正三角形，
所以 ,
故四棱錐在點(diǎn)S處的離散曲率，
故，
故答案為：
1．（2025·廣東佛山·一模）已知直線與平面所成的角為，若直線，直線，設(shè)與的夾角為，與的夾角為，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)斜線為直線，平面為平面，且，
由圖可知，當(dāng)恰為時(shí)，此時(shí)與的夾角為；
當(dāng)為時(shí)，，
由于，知，
故由在上單調(diào)遞減得，知.綜上可知；
由于，故是二面角所成角，即，，
由于，則，
故由在上單調(diào)遞增得，即，可知.
故選：A
2．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）將2個(gè)棱長均為2的直三棱柱密封在一個(gè)球體內(nèi)，則該球體的體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若將這2個(gè)直三棱柱合成1個(gè)高為4的直三棱柱，上下底面外心連線段中點(diǎn)是其外接球球心，，其外接球半徑為．
若將這2個(gè)直三棱柱合成1個(gè)高為2的直四棱柱，
上下底面對(duì)角線交點(diǎn)連線段中點(diǎn)為，，，，因此所得球半徑為．
故該球體的體積的最小值為．
故選：C．
3．（2024·云南·一模）已知正四棱錐的高為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖：
設(shè)正四棱錐的高為，球的體積為，所以球的半徑，
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，則，解得，
所以正四棱錐的體積，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取得最大值，最大值為.
故選：C
4．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知長方體的表面積與體積在數(shù)值上相等，若，則該長方體的體積的最小值為（ ）
A．B．81C．D．243
【答案】D
【解析】設(shè)，，
由題意可得，即，解得，
所以，且，（當(dāng)時(shí)，不存在），
，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)取得極小值，也為最小值，此時(shí)，
故選：D.
5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知一圓錐的底面半徑為，為其高，是其底面⊙的兩條相互垂直的直徑，為中點(diǎn)，那么平面與該圓錐的截面是一條拋物線.設(shè)的側(cè)面積與底面積的比值為，的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，則的值為：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，設(shè)，，
設(shè)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線為對(duì)稱軸的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由點(diǎn)在此拋物線上，得，因此，
圓錐側(cè)面積，底面積，因此，
所以.
故選：A
6．若在長方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】如圖：
取與的交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，
則三棱錐即為四面體與四面體的公共部分.
因?yàn)?
又，所以，所以.
過作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面，所?
因?yàn)椋矫?，所以平?
所以為到平面的距離，其值為，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為：.
所以.
故選：C
7．（2024·重慶·模擬預(yù)測）正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長線交于點(diǎn)，如果，三棱臺(tái) 的體積為， 的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】過作面于，交面于，連接，
正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長線交于點(diǎn)，所以三棱錐為正三棱錐，
又因?yàn)?，則，所以，又 的面積為，
所以，則，
解得，所以，設(shè)的邊長為，則，解得，
又三棱錐為正三棱錐，所以是的中心，
又易知邊上的高線長為，所以，
又面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，則，
故選：D.
8．（2022·貴州畢節(jié)·三模）在正四棱錐中，底面邊長為，側(cè)棱長為4，點(diǎn)是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則當(dāng)，兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意作圖如圖所示，連接，交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，可得底面．
由底面邊長為，可得，所以，
在中，，，可得，
又由，在中，可得，
即點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
所以當(dāng)點(diǎn)為圓與的交點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間距離最小，最小值為．
以，，所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，，，，
則，，可得，
所以直線與直線所成角的余弦值為，故A正確.
故選：A.
9．（多選題）（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中點(diǎn)，是棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（ ）
A．與平面有可能平行
B．與平面有可能平行
C．三角形周長的最小值為
D．三棱錐的體積為定值
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，連接，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，
因?yàn)椋?，∥，?br>所以，∥，
所以四邊形為平行四邊形，
所以與互相平分，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)镻是棱的中點(diǎn)，所以∥，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以∥平面BPQ，故A正確；
對(duì)于B，，又平面BPQ，BD與平面BPQ只能相交，
所以與平面BPQ只能相交，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，，把沿展開與在同一平面（如圖），
則當(dāng)B，P，Q共線時(shí)，有最小值，
在直角梯形中，，，，，
則，
所以，
所以，
所以三角形BPQ周長的最小值為，故C正確；
對(duì)于D，，因?yàn)槎ㄖ担驗(yàn)椤?，∥?br>所以∥，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距離也為定值，所以為定值．所以D正確，
故選：ACD．
10．（多選題）（2024·安徽淮南·一模）如圖，在正方體中，是對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線∥平面B．直線平面
C．直線與的夾角為D．平面與平面的交線平行于
【答案】BCD
【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，
則由題意可得，，
，
對(duì)于A，設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，因?yàn)椋?br>所以，令，解得，
所以平面的法向量可以為，
注意到，
而，
從而直線與平面不平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，注意到，，所以，
所以，這表明也是平面的法向量，
故直線平面，故B正確；
對(duì)于C，，
所以直線與的夾角的余弦值為，
所以直線與的夾角為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)平面與平面的交線為，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面直線，
所以直線直線，即平面與平面的交線平行于，故D正確.
故選：BCD.
11．（多選題）（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過M、N、P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積為
C．不存在點(diǎn)P使得
D．異面直線BC與MP所成的最大角為45°
【答案】AB
【解析】對(duì)于A，點(diǎn)到平面的距離為為定值，
又，
所以，即三棱錐的體積為定值，故A正確；
對(duì)于D，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則，
則即為異面直線與所成的角，
在中，
，
所以異面直線與所成的最小角為45°，故D不正確；
對(duì)于C，若為中點(diǎn)，則平面，所以，
又，面，所以平面，
又平面，所以，故C不正確；
對(duì)于B，分別取的中點(diǎn)，連接，
則過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，
面積為，故B正確．
故選：AB．
12．（多選題）（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．三棱錐體積最大值為
C．的最小值為6
D．存在點(diǎn)，使得
【答案】ABD
【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，平面，所以，A正確；
選項(xiàng)B，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以，B正確；
選項(xiàng)C，取中點(diǎn)，連接，
則，
，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，C錯(cuò)；
選項(xiàng)D，若，由選項(xiàng)A，，而，平面，
所以平面，又平面，所以，反過來，由也能證得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，從而，即，
設(shè)，，，
所以在上有解，即存在，使得，D正確．
故選：ABD．
13．（2024·重慶·一模）已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長分別為，且，側(cè)面與下底面所成的二面角大小為，若四棱臺(tái)的體積，則的最大值為 .
【答案】
【解析】設(shè)正四棱臺(tái)為，
如下圖，延長棱臺(tái)母線交于點(diǎn)，過作平面于G，交平面于O，連接S，G與AB中點(diǎn)F，交 于P
因?yàn)閭?cè)面與下底面所成的二面角大小為，所以.
過作于，則，所以，，
又因?yàn)?br>所以，所以，則的最大值為2.
故答案為：.
14．（2024·福建·模擬預(yù)測）如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和，為的中點(diǎn)，在平面的射影為，則在翻折過程中，點(diǎn)的軌跡的長度為 ，三棱錐體積最大值為 .
【答案】 33/133
【解析】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：
由為的中點(diǎn)，可得，且；
又為邊的中點(diǎn)，所以，且，
則，故點(diǎn)的軌跡與點(diǎn)軌跡相同，
因?yàn)榱庑沃校?，，為邊的中點(diǎn)，
所以，則，
又平面，所以平面，
在翻折過程中，點(diǎn)由的中點(diǎn)翻折到的中點(diǎn)過程中，
的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，
則點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，
所以點(diǎn)的軌跡是半徑為的半圓，
則在平面的射影為的軌跡應(yīng)為圓的直徑，
所以點(diǎn)的軌跡的長度為1；
當(dāng)時(shí)，由于平面，
所以平面，即又因?yàn)槭嵌ㄖ担?br>故此時(shí)三棱錐體積最大，
在中，易得，，
所以，
故三棱錐體積最大值為.
故答案為：1；.
15．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均位于一個(gè)半徑為的球的球面上，，，，平面經(jīng)過點(diǎn)，則當(dāng)?shù)捏w積取最大值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為： .
【答案】/
【解析】由條件：在一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)，由平面與平面固定，所以到平面的距離為定值，由，要使得最大，只需要最大，
由經(jīng)過球心，所以的外接圓就是球的大圓，半徑為，
由于，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)到的距離為：
，即最大面積為;
取為中點(diǎn)，連接，由于，所以由勾股定理可知：
，即為的外心，由球的性質(zhì)可知：平面，
再取為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，且?jīng)過點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>在平面內(nèi)，過作，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，即，
則△∽△，，，
又，所以，可算得，
連， ，故：，
所以.
故答案為：.
16．（2025·上?！つM預(yù)測）已知P是一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，是母線，，該圓錐的底面半徑是1．B、C分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為 ．
【答案】
【解析】
如圖，過作交底面圓錐于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，則為異面直線與所成角，
所以，
又，所以，即，
因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，
故異面直線與所成角的最小值為.
故答案為：.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc189596439" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc189596439 \h 2
\l "_Tc189596440" 題型一：球與截面面積問題 PAGEREF _Tc189596440 \h 2
\l "_Tc189596441" 題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題 PAGEREF _Tc189596441 \h 4
\l "_Tc189596442" 題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題 PAGEREF _Tc189596442 \h 7
\l "_Tc189596443" 題型四：立體幾何中的交線問題 PAGEREF _Tc189596443 \h 12
\l "_Tc189596444" 題型五：空間線段以及線段之和最值問題 PAGEREF _Tc189596444 \h 15
\l "_Tc189596445" 題型六：空間角問題 PAGEREF _Tc189596445 \h 18
\l "_Tc189596446" 題型七：軌跡問題 PAGEREF _Tc189596446 \h 21
\l "_Tc189596447" 題型八：翻折問題 PAGEREF _Tc189596447 \h 24
\l "_Tc189596448" 重難點(diǎn)突破：以立體幾何為載體的情境題 PAGEREF _Tc189596448 \h 27
\l "_Tc189596449" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc189596449 \h 30

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