題型一：裂項放縮
題型二：等比放縮
題型三：通項放縮
題型四：函數(shù)放縮
【典型例題】
題型一：裂項放縮
例1．記為的前項和，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）證明：．
【解析】解：（1），是公差為2的等差數(shù)列，
，
，
即，
當時，，
即，
，又，
數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
，則．
（2）證明：由（1）得：，
，
，
．
例2．設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且滿足，
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）記，，求證：．
【解析】解：（Ⅰ）當時，．因為，所以，解得
（Ⅱ）當時
所以①，
②，
由②①得：，
所以數(shù)列是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列．
所以．
（Ⅲ）當時，；
當時，
，
所以．
例3．已知函數(shù)（其中、且、為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，．，，，，，是函數(shù)圖象上的點，，，，，，是軸正半軸上的點．
（1）求的解析式；
（2）設為坐標原點，△，△，，△，是一系列正三角形，記它們的邊長是，，，，，，求數(shù)列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，數(shù)列滿足，記的前項和為，證明：．
【解析】解：（1）由題意可得，，
解得，即有；
（2）由題意可得，，，
代入函數(shù)，可得，解得，
又，，
代入函數(shù)，可得，，①
將換成，可得，②
①②，可得．
即有．
化簡可得，，
即有；
（3）證明：，
③
④
③④，可得
，
即有．
變式1．已知數(shù)列與滿足：，且為正項等比數(shù)列，，．
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，證明：．
【解析】解：（1）由①
時，②
①②可得：，
，，設公比為，
，
，
．
（2）證明：由已知：．
變式2．已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列，證明：．
【解析】（1）解：根據(jù)題意，在正項數(shù)列中，
，
，
①，
當時，②；
當時，③，
①③得，④，
②不滿足④，
數(shù)列的通項公式即為：．
（2）證明：根據(jù)題意，由（1）可得，，
則當時，，
．
從而得證．
變式3．已知數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令的前項和為，求證：．
【解析】解：（1）由，，
可得，解得，
又對兩邊取倒數(shù)，可得，
則是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
可得，
所以；
（2）證明：由（1）可得，
所以，
因為，所以，
則．
變式4．已知數(shù)列滿足且，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為，求證：．
【解析】（1）解：因為，
所以，
兩式相減得，
當時，，又，所以，，
所以，
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以；
（2）證明：，
所以，
由，得，得，得，得，
所以，
綜上所述，．
題型二：等比放縮
例4．記為的前項和，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）證明：．
【解析】解：（1），是公差為2的等差數(shù)列，
，
，
即，
當時，，
即，
，又，
數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
，則．
（2）證明：由（1）得：，
，
，
．
例5．記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，，數(shù)列滿足，且．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（Ⅲ）求證：對任意的，．
【解析】（Ⅰ）解：設等差數(shù)列的公差為，，
因為，，
則，
解得或（舍去），
所以；
（Ⅱ）證明：因為，
所以，即，
所以，
因為，所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）得，
故
，
所以．
例6．已知數(shù)列滿足，．
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）設，數(shù)列的前項和為．求證：對任意的，．
【解析】（1）解：由，解得（2分）
（2）證明：，
，
，（6分）
數(shù)列是以3為首項，公比為的等比數(shù)列．（7分）
（3）解：由（2）得．（8分）
，
，（10分）
．（12分）
．（14分）
變式5．定義數(shù)列如下：，，，求證：
（Ⅰ）對于恒有成立；
（Ⅱ）．
【解析】證明：（Ⅰ），，，
，，
由歸納法可知（4分）
（Ⅱ）由，得：，
以上各式兩邊分別相乘得：
，
又，（7分）
又，
，
，
又，
，
．（15分）
變式6．設數(shù)列的前項和為，滿足，，且，，成等差數(shù)列．
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)，有．
【解析】解：（1）在中，
令得：，
令得：，
解得：，
又
解得
（2）由，①
，②
①②得：，
又，也滿足，
所以對成立
，又，，
，
；
（3），
，
．
變式7．已知數(shù)列滿足，，．
（1）求證：當時，和均為等比數(shù)列；
（2）求證：當為奇數(shù)時，；
（3）求證：．
【解析】解：（1）由得：
，
且，．
當時，是首項為15公比為3的等比數(shù)列，
是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）得，
以上兩式相減得．
當為奇數(shù)時，
，
．
（3）由（2）知，當為奇數(shù)時，；
當為偶數(shù)時，
當為奇數(shù)時，
題型三：通項放縮
例7．已知函數(shù)．
（1）求的值；
（2）已知數(shù)列滿足，，求證：是等差數(shù)列；
（3）求證：．
【解析】解：（1）函數(shù)，
當時，
．
即有
；
（2）證明：，，
，
，
則有是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；
（3）證明：由（2）可得，，
即有，
運用數(shù)學歸納法證明．
當時，成立；
假設時，，
當時，，
要證，
即證，
即證，
上式顯然成立．
即有當時，成立，
則有．
例8．已知數(shù)列的首項為1，各項均為正數(shù)，其前項和為，．
（1）求，的值；
（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）設數(shù)列滿足，，求證：．
【解析】解：（1）數(shù)列的首項為1，各項均為正數(shù)，其前項和為，．
當時，，解得，
當時，，整理得．
（2）證明：由于①，
當時，②，
①②整理得，
去分母化簡得：，
所以數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）證明：數(shù)列滿足，③，
當時，，又，故，
由③知，④，
由③④得，，即，
依題意，，故，
當時，
，
當時，也成立．
綜上，．
例9．已知數(shù)列滿足，．
求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
令，，設數(shù)列的前項和為，求證：當時，．
【解析】證明：由題意知，，
又因為，
所以數(shù)列是首項為1、公比為的等比數(shù)列，
所以，故，；
由可知，
則
，
，
兩式相減，得：
，
所以，
當時，，
所以．
變式8．已知數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：．
【解析】（1）解：由題意，，
，，
數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
，
，．
（2）證明：由（1），得，
則
．
不等式對于恒成立．
變式9．已知正項數(shù)列的首項，其前項和為，且數(shù)列滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）記，證明：．
【解析】解：由得，兩式相減得，
由，，
數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別是分差為2的等差數(shù)，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，
綜上所述：，；
證明：由，，，
兩式相減得，適合上式，
，則，
那么，
，
，
．
變式10．已知正項數(shù)列滿足，．
（1）求的值；
（2）證明：對任意實數(shù)，；
（3）記數(shù)列的前項和為，證明：對任意，．
【解析】解：（1），，
即有，
解得（負的舍去）；
（2）證明：，
可得，
即有，
由于正項數(shù)列，
即有，，
則有對任意實數(shù)，；
（3）由（1）可得對任意實數(shù)，；
即為，可得，，
，，
前項和為
，
又，
即有，
則，數(shù)列遞減，
即有
．
則有對任意，．
變式11．已知正項數(shù)列，其前項和為，且對任意，與1的等差中項等于與1的等比中項數(shù)列滿足且
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求證：．
【解析】解：（1）正項數(shù)列，其前項和為，且對任意，與1的等差中項等于與1的等比中項，所以，整理得，所以當時，，
所以兩式相減得，所以（常數(shù)），
所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列．
所以（首項符合通項），故．
證明：（2）數(shù)列滿足且，
所以當時，，故，
所以
．
變式12．已知正項數(shù)列，其前項和為，且對任意的，與1的等差中項等于與1的等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足．，求證：
【解析】解：（Ⅰ）與1的等差中項等于與1的等比中項．
，
即，
當時，，解得．
當時，，
化為：，
數(shù)列是正項數(shù)列，
．
數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，首項為1．
．
（Ⅱ）證明：．，即，
當時，，
兩式相減可得，
可得，
則
．
當時，左邊，右邊，不等式成立．
綜上可得．
題型四：函數(shù)放縮
例10．已知函數(shù)．
（1）當時，討論的單調(diào)性；
（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設，證明：．
【解析】解：（1）當時，，
，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）令，，
因為，
所以，
又，
所以在上不能單調(diào)遞增，
否則存在上使得，
所以當時，，
，且，
令，
，
又，，
①當，即時，
存在滿足當時，，即，與矛盾，
②當時，，
令，，
則，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，
所以，滿足題意，
所以實數(shù)的取值范圍為，．
（3）證明：令，
則，
所以（1），即，
令，
可得，
即，
所以，
所以
，得證．
例11．已知且函數(shù)．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）當時，，求的取值范圍；
（3）設，證明：．
【解析】解：（1）當時，，
所以，
所以當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2），，，
則（1），
，
①當時，有，
所以當，，在，上單調(diào)遞減，
所以當時，（1），與在，上恒成立矛盾，
②當時，，此時在，上成立，
所以在，上是增函數(shù)，
所以（1），
即在，上恒成立，
綜上所述，的取值范圍為，．
（3）證明：由（2）知當時，在，上恒成立，
即，
當時，有，
所以當時，，
令，則有，
即，，2，，
將上述個不等式依次相加得：
，
整理得，．
例12．已知函數(shù)，，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式在，時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，證明：．
【解析】解：（1）求導數(shù)可得，
當時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；
當時，由可得，
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
，即不等式在，時恒成立，
當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
存在，使得，
即不等式不成立，
綜上可知實數(shù)的取值范圍為，；
（3）由（2）得當時，不等式在時恒成立，
即，，．
即，
，，，，
將上述式子相加可得
原不等式得證．
變式13．已知函數(shù)．
（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式在，時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：．
【解析】解：（1）因為所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）求導數(shù)可得，
當時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；
當時，由可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
①當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
，即不等式，在，時恒成立，
②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
存在使得，所以不合題意，舍去．
綜上可知實數(shù)的取值范圍為，；
（3）由（2）得當時，不等式在時恒成立，
即，，．
即，
，
，
，
，
將上述式子相加可得，
原不等式得證．
變式14．已知函數(shù)．
（1）若，求的值；
（2）設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．
【解析】解：（1）因為函數(shù)，，
所以，且（1）．
所以當時恒成立，此時在上單調(diào)遞增，
故當時，（1），這與矛盾；
當時令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即（a），
若，則（a）（1），從而與矛盾；
所以；
（2）由（1）可知當時，即，
所以當且僅當時取等號，
所以，．
，
即；
因為為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，成立，
當時，，
所以的最小值為3．
變式15．已知函數(shù)，，（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，．
（1）令，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；
（2）在（1）的條件下，設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．
【解析】解：（1）因為，
所以，
由對任意的恒成立，即，
由，
當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以時，，
所以不滿足題意．
當時，由，得，
時，，時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
設（a），所以（a），①
因為（a），
令（a），得，
所以（a）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以（a）（1），②
由①②得（a），則．
（2）由（1）知，即，
令，，1，2，3，，，則，
所以，
所以
，
所以，
又，
所以的最小值為2．
變式16．已知函數(shù)，且函數(shù)在點，（1）處的切線為軸．
（1）當時，證明：；
（2）已知，，求證：．
【解析】證明：（1）函數(shù)的定義域是，
，
由，得，解得：，
故，
故，
當時，，當時，，
故在遞增，在遞減，
故（1），
即，
化簡得，（當且僅當時“”成立），
故當時，由，得，
由，得，
故當時，有；
（2）由（1）可知，取，2，3，，，將所得各式相加得：
，
故．
變式17．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），其中．
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：．
【解析】解：（1），
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，由得，．
當時，，
當時，．
在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．（5分）
（2）證明：由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增．
當且時，，即，
當且時，，
．
（12分）
變式18．（1）已知函數(shù)．
（ⅰ）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（ⅱ）若，為函數(shù)的兩個極值點，證明：．
（2）證明：為自然對數(shù)的底數(shù)，，．
【解析】解：（1）函數(shù)，則，，
令，則△，
當△，即時，，故在上單調(diào)遞增；
當△，即或時，
當時，，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
當時，令，解得，，
列表如下：
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
證明：由（1）可知，當時才有兩個極值點，，且，，
不妨設，
則，
要證，即證，
即證，即證，
設，
由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，
又，所以在上單調(diào)遞減，
所以（1），所以，
故原不等式得證；
（2）證明：因為，
所以，即，
故，
所以．
變式19．已知函數(shù)，．
（1）試討論的單調(diào)性；
（2）若對任意，均有，求的取值范圍；
（3）求證：．
【解析】解：（1），（1分）
若，則，在上單調(diào)遞減；（2分）
若，由，得當時，，在上單調(diào)遞增，（3分）
當，時，，在，上單調(diào)遞減．（4分）
綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
（2）當時，，符合題意；（5分）
當時，由（1）知在上單調(diào)遞減，
而，不合題意；（6分）
當時，，即，得；（7分）
綜上，實數(shù)的取值范圍為；（8分）
（3）證明：由（2）知，當時，，即，（9分）
所以，
所以，（11分）
所以，得證．（12分）
變式20．已知函數(shù)的圖象在點，（1）處的切線方程為．
（1）試用表示出，；
（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：．
【解析】解：（1），
（1）．
又點，（1）在切線上，
，
．
（2），
在，上恒成立，
設，則在，上恒成立，
，又，
而當時，．
當即時，
在，上恒成立，
；
當即時，
時；
且時，，
當時，；
則①，
又與①矛盾，不符題意，故舍．
綜上所述，的取值范圍為：，．
（3）證明：由（2）可知時，在，上恒成立，
則當時，在，上恒成立，
令依次取時，
則有，，
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即．
解法二：①當時左邊，右邊，不等式成立；
②假設時，不等式成立，就是．
那么
．
由（2）知：當時，有
令有
令得
這就是說，當時，不等式也成立．
根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任何都成立．
變式21．已知函數(shù)，其中．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：．
【解析】解：（1），
，，
：①當時，．
故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是．
②當時，令，得，或．
當時，與的情況如下：
當時，令，得，或．
當時，與的情況如下：
所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和．
當時，的單調(diào)減區(qū)間是．
當時，，與的情況如下：
所以，的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是和．
③當時，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是．
綜上，當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；
當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和，；
當時，的減區(qū)間是；
當時，的增區(qū)間是，；減區(qū)間是和．
（3）證明：
．
變式22．已知函數(shù)且．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：．
【解析】解：（1），
，
①當時，若，則，若，，
的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；
②當時，若，則，若，，
的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令，則，
所以（1），
由（1）可知在，單調(diào)遞減，故（1），（當時取等號），
所以，即，
從而有，
即，
．
變式23．已知函數(shù)，，數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求；
（3）求證：．
【解析】解：（1），是等比數(shù)列，又，數(shù)列的通項公式為：．
（2）由（1）知，，
．
（3）由函數(shù)，得，又，，
遞減，（1），
即，也就是，
于是：，
即，
故．
變式24．已知函數(shù)
（1）若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）求證：．
【解析】解：（1），，
函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，
恒成立，或恒成立，
，不能恒成立，
而，時，為單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上：；
（2）由（1）得時，在上是減函數(shù)，
，即，，
，
，，，
令，，則，
在上是減函數(shù)，
，即，，
，，，，
，
即，
．，
，
0
0
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
，
，
0
0
，
，
0
0

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