\l "_Tc187184316" 01考情透視·目標導(dǎo)航 PAGEREF _Tc187184316 \h 2
\l "_Tc187184317" 02知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc187184317 \h 3
\l "_Tc187184318" 03 知識梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc187184318 \h 4
\l "_Tc187184319" 04 真題研析·精準預(yù)測 PAGEREF _Tc187184319 \h 6
\l "_Tc187184320" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc187184320 \h 12
\l "_Tc187184321" 題型一：先求和后放縮 PAGEREF _Tc187184321 \h 12
\l "_Tc187184322" 題型二：裂項放縮 PAGEREF _Tc187184322 \h 18
\l "_Tc187184323" 題型三：等比放縮 PAGEREF _Tc187184323 \h 24
\l "_Tc187184324" 題型四：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184324 \h 29
\l "_Tc187184325" 題型五：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184325 \h 37
\l "_Tc187184326" 題型六：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184326 \h 44
\l "_Tc187184327" 題型七：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184327 \h 51
\l "_Tc187184328" 重難點突破：利用遞推關(guān)系進行放縮 PAGEREF _Tc187184328 \h 57
數(shù)列放縮技巧是高考數(shù)學(xué)中的核心考點，尤其在數(shù)列與不等式相結(jié)合的復(fù)雜問題中更為凸顯。當(dāng)前，這類問題的難度已趨于穩(wěn)定，保持在中等偏難水平。解題時，關(guān)鍵在于對數(shù)列通項公式的靈活處理，特別是通過巧妙的變形來接近那些具有明確求和公式的數(shù)列類型。在此過程中，向可裂項相消的數(shù)列和等比數(shù)列靠攏，成為了放縮策略中的高級且有效的手段。
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
1．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，
（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【解析】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，
取，則，即，
當(dāng)時，，
取，此時，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當(dāng)時，，所以，
所以，即，
當(dāng)時，，所以，
所以數(shù)列的通項公式為，
其前項和為：.
2．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
3．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．{bn}是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求{an}和{bn}的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
【解析】（I）因為{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
4．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
5．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
【解析】（I）依題意，而，即，
由于，所以解得，所以.
所以，故 ，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設(shè)，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
題型一：先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【解析】（1）若選擇條件①：因為，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
所以當(dāng)時，當(dāng)n＝1時符合，
∴；
若選擇條件②：因為，
當(dāng)時，
兩式相減得，，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴；
若選擇條件③：∵，
∴時，，
兩式相減得，
當(dāng)n＝1時，，可得，，
∴時成立，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴；
（2）由（1）可知，
則，
所以，
因為，
所以各項均為正數(shù)，
所以，
又因為，
所以．
【典例1-2】已知數(shù)列滿足：是公差為6的等差數(shù)列，是公差為9的等差數(shù)列，且.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)設(shè)是方程的根，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）因為是公差為6的等差數(shù)列，則，
設(shè)，可得，，
又因為是公差為9的等差數(shù)列，
則，
可得，即，
且，解得，
即，，可得，
綜上所述：，所以是等差數(shù)列.
（2）構(gòu)建，則是函數(shù)的零點
因為，則在上單調(diào)遞增，
且，可知有且僅有一個零點，
又因為，
可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
則，
又因為，可得，
所以.
先求和后放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問題的有效策略。其核心思路在于，首先通過求和將數(shù)列的項合并，簡化問題形式；接著，在求和的基礎(chǔ)上進行適當(dāng)?shù)姆趴s，即利用不等式的性質(zhì)對求和結(jié)果進行放大或縮小，從而更便于進行后續(xù)的比較和推導(dǎo)。
【變式1-1】已知數(shù)列滿足.記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)若，數(shù)列的前項和為，求證：.
【解析】（1）由，得，而，則，
又，因此，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，，則，
令數(shù)列的前項和為，則，
，
兩式相減得，則，
所以.
（3）由（2）知，
，
而，所以.
【變式1-2】已知在數(shù)列中，，且當(dāng)時，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時，，
又，可得，
當(dāng)時，，則，即，
又，
故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，故；
（2）由（1）知，
則，
則數(shù)列的前項和
，
又，則，
故.
1．設(shè)數(shù)列的前項和為．若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”．
(1)若，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”；
(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差，且是“數(shù)列”，
①求的值；
②設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：
【解析】（1）因為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又，即也滿足，
綜上可得，
當(dāng)時存在或使得（即或），
對于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，此時，
綜上可得對于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，此時，
故是“數(shù)列”；
（2）①因為是等差數(shù)列，其首項，公差，設(shè)的前項和為，
故，，
對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，
即，
當(dāng)時，，此時只需，
當(dāng)時，，解得，
又，故,又為正整數(shù)，故,此時；
當(dāng)時，，
下面證明恒為正偶數(shù)，
當(dāng)時，，滿足要求，
假設(shè)當(dāng)時，為正偶數(shù)，
則當(dāng)時，，
由于和均為正偶數(shù)，故為正偶數(shù)，滿足要求，
所以恒為正偶數(shù)，證畢，
所以.
②由①可得，所以，
所以
，
因為，
所以單調(diào)遞減且，所以，
所以.
題型二：裂項放縮
【典例2-1】已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，等比數(shù)列是首項為1的遞增數(shù)列，若．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數(shù)．
【解析】（1）因為，
所以當(dāng)時，，
作差得，
兩邊同時除以得，
又，所以，得，
所以，故對，
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，則．
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，所以由，或
又因以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．
（2）因為，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，則，
，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即有，，
又，
故當(dāng)時，，所以，，
又，
所以，當(dāng)時，，故使得成立的最大整數(shù)為6．
【典例2-2】數(shù)列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前n項和，證明：時，.
【解析】（1）若為等比數(shù)列，
則存在，使對成立.
由已知，代入上式，
整理得①
∵①式對成立，∴，解得，
∴當(dāng)，時，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得：，，所以，
所以，因為，
所以，
，（1）
現(xiàn)證：（），
當(dāng)時，
，∴，（2）
根據(jù)（1）（2）可知對于，都成立.
放縮方法是一種處理數(shù)列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數(shù)列的通項進行裂項，即將其拆分為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規(guī)律或進行放縮。
在裂項后，我們可以根據(jù)不等式的需要，對拆分后的項進行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。這種放縮通常基于數(shù)列的單調(diào)性、有界性或其他已知性質(zhì)。
裂項放縮方法的關(guān)鍵在于準確裂項和合理放縮，它能夠幫助我們簡化問題，揭示數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，從而更輕松地證明數(shù)列不等式。
【變式2-1】已知正項數(shù)列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，證明：數(shù)列的前n項和；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）因為，，，
當(dāng)時，，計算得，·
由，可得，
兩相減可知，
整理可得，·
所以為定值，定值為，
所以
所以為等差數(shù)列，故．
（2）證明:由（1）得，所以，·
，
故
因為·，所以，所以，即
（3）證明：
，·
因為，·
所以
．·
另．
【變式2-2】已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．
①求數(shù)列的前項和；
②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．
【解析】（1）∵，∴當(dāng)時，，
兩式相減得，，整理得，即，
∴當(dāng)時，，滿足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，∴，，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.
當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為的整數(shù)倍，是數(shù)列中的項，
當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，不是數(shù)列中的項，
∴數(shù)列中的項為數(shù)列的偶數(shù)項，且，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比數(shù)列，∴，即，
∴，∴，
∴.
1．已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）由，①
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，②
由①②得，
所以，
當(dāng)時，上式也成立，
所以；
（2），·
因為，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
綜上所述，.
題型三：等比放縮
【典例3-1】已知數(shù)列滿足,（）.
(1)記（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)設(shè)（），且數(shù)列的前項和為，求證：（）.
【解析】（1）
，
又，
所以，數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列.
由等比數(shù)列的通項公式知.
（2）由（1）可知，又，.
設(shè)，則，
設(shè)，，
，，
故.
（3），
，
所以欲證，只需證，
即證.
設(shè)，
，故在上單調(diào)遞減，，
時，.
，得證.
【典例3-2】已知數(shù)列和滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)證明：．
【解析】（1）由題意知，，
所以，
即，又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，所以，
所以
．
（3）由（1）知，所以．
當(dāng)為偶數(shù)時，．
所以．
當(dāng)為奇數(shù)時，，
而，所以．
綜上可知原命題成立．
等比放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問題的有效技巧。其核心思想在于，通過觀察數(shù)列的項與項之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其等比規(guī)律，并利用這一規(guī)律對數(shù)列的項進行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。
在具體應(yīng)用時，我們可以根據(jù)數(shù)列的等比性質(zhì)，選擇一個合適的等比數(shù)列作為放縮的基準，然后對原數(shù)列的每一項都按照這個等比數(shù)列進行放縮。這種方法的關(guān)鍵在于準確把握等比數(shù)列的性質(zhì)，以及合理確定放縮的倍數(shù)，從而確保放縮后的不等式仍然成立。
【變式3-1】數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；
(3)記數(shù)列的前項和為，證明：
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以數(shù)列和的通項公式為.
（2）數(shù)列和的公共項需滿足，
可得，即是4的整數(shù)倍，
可知，由二項式定理可知若是4的倍數(shù)，則為正數(shù)，即；
所以可得，
即的通項公式為
（3）易知，顯然對于都成立，
所以對于都成立，
即
，
即可得.
【變式3-2】已知數(shù)列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）依題意，·可知（），
當(dāng)時，由，可知，
由，可得兩式相減可知，，即（），
因此時，為公比為2的等比數(shù)列，故（），
所以.
（2）由（1）可知，，，當(dāng)時，，也符合該形式，
因此（），
.
1．已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，，則，
因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依題意，
因為，，則，即；
因為，
所以，
而，
故，即．
綜上所述，．
題型四：型不等式的證明
【典例4-1】已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)記數(shù)列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數(shù)，若，，，證明：.
【解析】（1）設(shè)，當(dāng)時，，
所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，
設(shè)，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，
故當(dāng)時，
因為，當(dāng)時，，
所以在上為增函數(shù)，
因為當(dāng)時，，且由，
可得，所以，即，
所以
（2）（i）因為，
所以，
則，
所以，
即，
所以
（ii）函數(shù)，
因為當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
因此，
故，即
因為，
所以當(dāng)時，，
綜上，，所以，
所以，
即.
【典例4-2】數(shù)列的前項和為， 滿足 且首項 .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)令討論f'1（f'x為的導(dǎo)數(shù)）與 的大小關(guān)系.
【解析】（1）由已知可得時，，
兩式相減得，即，
∴，
當(dāng)時，，∴，
∵，∴，∴，
故有，∴，
∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴，故.
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
①-②得， ，
∴，
∴，
當(dāng)時，，∴.
當(dāng)時，，∴.
當(dāng)時， ，∵，
∴ ，∴ ，
綜上，當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
通項分析法進行放縮
【變式4-1】已知函數(shù)在點處的切線與軸重合．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)已知正項數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【解析】（1）因為，且，
由題意可得，即，可得，
可知的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以有極大值，無極小值．
（2）由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
等價變形為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
代入題干中可得，
則，即，
當(dāng)時，，即，
且符合上式，所以，，則，
由，令得，即，
所以.
【變式4-2】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數(shù)值；
(3)對于任意的，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，
所以函數(shù)定義域為，，
令，則，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又即，
所以即在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）因為對任意，都有恒成立，
所以對任意，恒成立，
即對任意，恒成立，
所以，
所以，
因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在，使得即，
所以當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，令，
則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以的最大整數(shù)值為3，即的最大整數(shù)值為2.
（3）證明：由（1）知在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)，所以，
故，
所以，
累加得，
所以.
1．柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達式的最值問題．已知數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為，
所以為常數(shù)，
又，得到，
所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列，
由，得到.
（2）要證，
即證，
即證，
由柯西不等式知，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即，
所以只需證明，
由（1）知，
所以只需證明，
即證明，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，
（1）當(dāng)時，不等式左邊，不等式右邊，所以時，不等式成立，
（2）假設(shè)時，不等式成立，即成立，
則時，，
令，則在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
得到，取，得到，
整理得到，即，
所以，
即，不等式仍成立，
由（1）（2）知，對一切，，
所以.
題型五：型不等式的證明
【典例5-1】已知函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求整數(shù)m的最大值.
（3）求證：(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
【解析】（1）因為，所以，
又因為，所以，，
所以，
即函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù).
（2）由在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，
即，
設(shè)，
所以，，令，
則，即在(0,+∞)為增函數(shù)，
又，，
即存在唯一的實數(shù)根a，滿足，且，，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
則，
故整數(shù)m的最大值為3.
（3）由（2）知，，，
令，則，
，
故.
【典例5-2】（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點處的切線在兩坐標軸上截距相等，求的值；
(2)（i）當(dāng)時，恒成立，求正整數(shù)的最大值；
（ii）記，，且.試比較與的大小并說明理由.
【解析】（1）由已知，定義域為，
∵，
∴，∴切點即，
又∵，
∴由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點處的切線斜率為，
∴函數(shù)在點處的切線方程為，
整理得，.
若切線在兩坐標軸上截距相等，則
①當(dāng)切線過原點時，，解得，切線方程為，
②當(dāng)切線不過原點時，斜線斜率，解得，切線方程為.
∴的值為或.
（2）（i）由（1）知，，令，解得，，
若為正整數(shù)，則，
∴當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，的極小值，也是最小值為，
若當(dāng)時，恒成立，則的最小值，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時，單調(diào)遞減，
又∵，，
∴使的正整數(shù)的最大值為，
∴當(dāng)時，使恒成立的正整數(shù)的最大值為.
（ii），理由證明如下：
∵當(dāng)且時，
∴
（），
又∵，∴，
①當(dāng)時，，
②當(dāng)時，
由（i）知，，恒成立，，
∴當(dāng)時，，，即恒成立，
∴，
∴
，
綜上所述，當(dāng)且時，，即有.
通項分析法進行放縮
【變式5-1】設(shè)數(shù)列的前項和為，且，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)設(shè)，證明：．
【解析】（1）因為，
當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，
相減得，所以，·
所以是以首項為6，公比為3的等比數(shù)列，
即，所以.
（2）由（1）可得，
即證：·
方法一：令．
則，·
因為，所以，
所以單調(diào)遞增，即，
即．
方法二：放縮法：，
所以，，，，
相乘得
即
【變式5-2】伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出.·伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.·伯努利不等式的一種常見形式為：
當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)或時取等號.
(1)假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為，以此增長率為依據(jù)，試判斷6年后該地區(qū)人口的估計值是否能超過107萬？
(2)數(shù)學(xué)上常用表示，，，的乘積，，.
（?。┳C明：；
（ⅱ）已知直線與函數(shù)的圖象在坐標原點處相切，數(shù)列滿足：，，證明：.
【解析】（1）依題意，年后該地區(qū)人口的估計值為萬人，
由伯努利不等式可得，
所以年后該地區(qū)人口的估計值能超過萬.
（2）（ⅰ）根據(jù)伯努利不等式可知，
所以
，
所以.
（ⅱ）由，則，所以，
又直線y=fx與函數(shù)的圖象在坐標原點處相切，
所以直線y=fx的斜率為，且過點，
所以直線y=fx的方程為，
所以，則
，
所以，
由（?。┛芍?，所以，
又因為，
即，
所以，
所以.
1．已知數(shù)列滿足，且，．
(1)計算，；
(2)求猜測的通項公式，并證明；
(3)設(shè)，問是否存在使不等式對一切且均成立的最大整數(shù)，若存在請求出，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意得：；.
（2）猜想：；
證明：當(dāng)時，，滿足；
假設(shè)當(dāng)時，成立，
那么當(dāng)時，，
即當(dāng)時，成立；
綜上所述：對于任意，成立.
（3）由（2）得：，；
若恒成立，則；
令，
則，
；
，，
即遞增，，，
又為整數(shù)，最大整數(shù).
題型六：型不等式的證明
【典例6-1】在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，，，．
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為．
（i）求；（ii）證明：．
【解析】（1）由題意知，
因此數(shù)列是以為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
于是，．
．
又適合上式，所以．
（2）（i）因為，
所以
．
（ii）因為數(shù)列的前n項和為
，
所以只需證明：，
也就是，
令，只需證明，
設(shè)函數(shù)，，．
所以，即成立，得證．
【典例6-2】已知函數(shù)的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值；
(3)證明：．
【解析】（1）由函數(shù)，則其定義域為，且.
由，得:，又由，得:，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
；
（2）設(shè)，
則在恒成立等價于，
注意到，又，
①當(dāng)時，由得.
在單減，單增，這與式矛盾；
②當(dāng)時，在恒成立，符合，
的最小值為；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
當(dāng)時，(1)；
當(dāng)時，，
，
，
將(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左邊：
；
不等式右邊：
；
所以.
構(gòu)造函數(shù)進行放縮
【變式6-1】已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：是等比數(shù)列；
(3)證明：.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則，所以，
又.
（2）所以，
所以，且，
所以數(shù)列是首項為8，公比為的等比數(shù)列；
（3）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【變式6-2】已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意的，
當(dāng)時，，兩式相減．
整理得，
當(dāng)時，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因為，
所以，
．
從而；
證法二：因為，
所以，
，證畢.
1．已知函數(shù)．
(1)證明：對恒成立；
(2)是否存在，使得成立？請說明理由．
【解析】（1）證明：由，得，，
令，得，
令，得，
，且當(dāng)且僅當(dāng)，
所以在上單調(diào)遞增，故，且當(dāng)且僅當(dāng)，
所以在上也單調(diào)遞增，故，且當(dāng)且僅當(dāng)，
所以在上仍單調(diào)遞增，故；
（2）對于右側(cè)：由（1）可知，當(dāng)時，，即，
故，
所以
，
所以該側(cè)不等號始終成立；
對于左側(cè)：由（1）可知當(dāng)時，．
設(shè)，，則．
在上有，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，．
此時，
令，
可知，
所以當(dāng)時，
，
令，注意到，所以可得到一個充分條件，
即，
所以任取，則該側(cè)不等式成立，（表示整數(shù)部分），
因此，對于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
題型七：型不等式的證明
【典例7-1】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求k的值；
(3)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時，，，
所以，所以切線的斜率為，
又因為，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）因為，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
又因為，與不符；
當(dāng)時，由得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，所以，
設(shè)，
則，
由，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以有唯一解，且.
（3）由（2）知當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，.
所以當(dāng)且時，，
則.
?。ǎ?，所以，
所以，，，
所以.
所以
所以
于是對于任意正整數(shù)n，，
只需，又因為，所以，
則m的最小值為.
【典例7-2】已知函數(shù)．
（1）求的最大值；
（2）設(shè)，是曲線的一條切線，證明：曲線上的任意一點都不可能在直線的上方；
（3）求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）．
【解析】（Ⅰ）的定義域為，，令，得．
當(dāng)時，，∴在上是增函數(shù)，
當(dāng)時，，∴在上是減函數(shù)，
故在處取得最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
設(shè)是曲線上的一點，
則在點處的切線方程為，
即，
令
則，
∵，在上是減函數(shù)，
∴在處取得最大值，即恒成立，
故曲線上的任意一點不可能在直線的上方．
（3）由（1）知在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故當(dāng)且時，有，
又因為，所以
所以
構(gòu)造函數(shù)進行放縮
【變式7-1】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
(3)求證：（，是自然對數(shù)的底數(shù)）．
【解析】（1）當(dāng)時，，
，
由解得，由解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）因當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，
設(shè)，只需即可，
由，
（i）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故成立；
（ii）當(dāng)時，由，因，所以，，
①若，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無最大值，不滿足條件；
②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件；
（iii）當(dāng)時，由，，，
，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；
（3）據(jù)（2）知當(dāng)時，在上恒成立，
令，
則，
當(dāng)時，
，.
【變式7-2】已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足條件；
當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增，
又，即，不滿足條件；
當(dāng)時，令，得，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
于是當(dāng)時，取得最小值，
于是，即，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，因此，則有，
所以單調(diào)遞增時，的值為1.
（2）由（1）知，當(dāng)時，，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，，
因此當(dāng)且時，
，
而當(dāng)時，，
所以，
則，所以，.
1．已知函數(shù)，，．令，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）由，得，∴，
因此，即，
∴為等比數(shù)列，公比為，首項為．
故，即；
（2）由（1）知，
要證，即證，
也即證，這只需證，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令，得，
∴，
即．
重難點突破：利用遞推關(guān)系進行放縮
【典例8-1】（2024·高三·重慶·期末）已知正項數(shù)列滿足：
（1）求的范圍，使得恒成立；
（2）若，證明：
（3）若，證明：
【解析】（1）由，得由，即
所以或（舍）
所以時，
（2）證：若，得 現(xiàn)假設(shè)（）
構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)增
所以
即
由以上歸納可知 5分
（3）由得
所以
構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞增
所以

【典例8-2】已知數(shù)列{an}滿足：，（）．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）求證：．
【解析】（I） ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
（Ⅲ），所以，累加得右側(cè)；另一方面由可得，累加得左側(cè).
由（Ⅱ）得：，
所以，
累加得：
另一方面由可得：原式變形為
所以：
累加得
利用遞推關(guān)系進行放縮時，我們首先要明確數(shù)列的遞推公式，然后根據(jù)這個公式對數(shù)列的項進行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。關(guān)鍵在于保持放縮后的不等式方向不變，同時確保放縮后的數(shù)列更容易處理。這種方法能夠幫助我們揭示數(shù)列的深層結(jié)構(gòu)，從而更有效地解決數(shù)列不等式問題。
【變式8-1】定義數(shù)列為“階梯數(shù)列”：．
(1)求“階梯數(shù)列”中，與的遞推關(guān)系；
(2)證明：對，數(shù)列為遞減數(shù)列；
(3)證明：．
【解析】（1）由階梯數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)可知.
（2）由，，所以，
，
∴，
同理，
累乘得，
即，
由，，
∴
故對為遞減數(shù)列.
（3），
，
又對，
由（2）知，
故，
又，，
所以，
故對，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
綜上，．
【變式8-2】已知數(shù)列滿足，，．
(1)猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)證明：．
【解析】（1）由及得
由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即
易知，那么
=，即，也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立．
（2）當(dāng)n=1時，，結(jié)論成立，
當(dāng)時，易知，
，
．
即.
1．已知數(shù)列滿足，.證明：對這一切，有
（1）；
（2）.
【解析】（1）顯然，，.
故
·
·.
所以，.
又，故對一切，有.
（2）顯然，.
由，知
·
·
.
故.
考點要求
目標要求
考題統(tǒng)計
考情分析
數(shù)列不等式
掌握技巧，提升解題能力
2023年II卷第18題，12分
2022年I卷第17題，10分
2021年乙卷第19題，12分
2021年II卷第17題，10分
2021年浙江卷第20題，15分
預(yù)測2025年高考數(shù)學(xué)試題趨勢，多以解答題形式出現(xiàn)，具體估計為：（1）在導(dǎo)數(shù)題目的壓軸環(huán)節(jié)，第二問極有可能涉及利用導(dǎo)數(shù)理論進行數(shù)列不等式的證明，此類型問題預(yù)計將具備較高的思維難度與解題復(fù)雜度，對考生的邏輯推理與數(shù)學(xué)分析能力提出嚴峻挑戰(zhàn)。（2）至于數(shù)列解答題部分，其第二問預(yù)計將以中等偏上的難度水平出現(xiàn)，該題預(yù)計將融合多個知識點，構(gòu)成一道綜合性較強的題目，旨在全面考察考生對數(shù)列知識的深入理解及靈活運用能力。

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