考點(diǎn)梳理
1. 不等式的基本性質(zhì)
(1)定義：用不等號(hào)(如：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”)連接而成的數(shù)學(xué)式子叫做不等式
(2)基本性質(zhì)1：若a＞b，b＞c，則①
(3)基本性質(zhì)2：若a＞b，則a±c＞b±c；若a＜b，則a±c② b±c
(4)基本性質(zhì)3：若a＜b，c＞0，則ac③ bc，ac④ bc；若a＜b，c＜0，則ac⑤ bc，ac⑥ bc
2. 一元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步驟
去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1
(2)解集的表示
3. 一元一次不等式組的解法及解集表示(6年6考)
4. 一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
(1)列不等式解應(yīng)用題的基本步驟：審題→設(shè)未知數(shù)→列不等式→解不等式→檢驗(yàn)→作答
(2)解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，常見的關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)應(yīng)表：
練考點(diǎn)
1. 若x＞y，則下列結(jié)論中不一定成立的是( )
A. x－1＞y－1
B. x＋2＞y＋2
C. x2＞y2
D. －x3＜－y3
2. 解不等式x－13＜x－2.
3. 解不等式組：x－11x3(x－2)4x＞x－72.
命題點(diǎn)2 一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
5. (2023廣東14題3分·北師八下隨堂練習(xí)改編)某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10％，則最多可打 折.
5.1 變設(shè)問——將最多可打折變?yōu)樽疃嗫山祪r(jià)
某商品的進(jìn)價(jià)為4元，標(biāo)價(jià)6元出售.商店準(zhǔn)備降價(jià)銷售，但其利潤率不能少于20％，則最多可降價(jià) 元.
6. (2019廣東21題7分)某校為了開展“陽光體育運(yùn)動(dòng)”，計(jì)劃購買籃球、足球共60個(gè)，已知每個(gè)籃球的價(jià)格為70元，每個(gè)足球的價(jià)格為80元.
(1)若購買這兩類球的總金額為4 600元，求籃球、足球各買了多少個(gè)？
(2)若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個(gè)籃球？
新考法
7. [真實(shí)問題情境](2024江西)如圖，書架寬84 cm，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚0.8 cm，每本語文書厚1.2 cm.
(1)數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本？
(2)如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？
第7題圖
8. [注重過程性](人教七下閱讀與思考改編)閱讀感悟：
代數(shù)證明題是數(shù)學(xué)中常見的一種題型，它要求運(yùn)用邏輯推理和代數(shù)知識(shí)來證明某個(gè)數(shù)學(xué)命題的正確性，如下例題：
例：已知實(shí)數(shù)x、y滿足x＞y＞0，證明：x2＞y2.
證明：∵x＞y且x，y均為正數(shù)，
∴x2＞ ，xy＞ ，(不等式的兩邊都乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變)
∴x2＞y2.(不等式的傳遞性)
解決問題：
(1)請將上面的證明過程填寫完整；
(2)嘗試證明：若a＜b，則a＋b2＜b.
考點(diǎn)精講
①a＞c ②＜ ③＜ ④＜ ⑤＞ ⑥＞ ⑦≥ ⑧≤
教材改編題練考點(diǎn)
1. C
2. 解：去分母，得x－1＜3(x－2)，
去括號(hào)，得x－1＜3x－6，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得－2x＜－5，
系數(shù)化為1，得x＞52.
3. 解：解不等式x－1＜2，得x＜3，
解不等式－3x－1≤2，得x≥－1，
∴該不等式組的解集為－1≤x＜3，
將解集在數(shù)軸上表示如解圖.
第3題解圖
4. 2x＋2(x＋1)≤10 【解析】∵此長方形土地寬比長少1 km，∴長為(x＋1) km，又∵柵欄的長度不超過10 km，∴可列不等式為2x＋2(x＋1)≤10.
5. 8 【解析】設(shè)小真購買x支鋼筆，則購買(20－x)本筆記本，根據(jù)題意，得8x＋3(20－x)≤100，解得x≤8，∴x的最大值為8，即小真最多能買8支鋼筆.
高頻考點(diǎn)
例1 D 【解析】由題知，a＜b，兩邊同時(shí)加上3，得a＋3＜b＋3，則A不符合題意；兩邊同時(shí)減去2，得a－2＜b－2，則B選項(xiàng)不符合題意；兩邊同時(shí)乘－1，得－a＞－b，則C選項(xiàng)不符合題意；兩邊同時(shí)乘2，得2a＜2b，則D選項(xiàng)符合題意.
變式1 D 【解析】∵若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，∴a－3≤0，∴a≤3.
例2 A 【解析】∵－x＞1，∴x＜－1，∴選項(xiàng)中的與x＜－1組成的不等式組無解的是x＞2.
變式2 A 【解析】解不等式2x－1≥1，得x≥1，解不等式3(2－x)＞－6，得x＜4，∴不等式組的解集為1≤x＜4，解集在數(shù)軸上表示如選項(xiàng)A所示.
例3 解：(1)設(shè)購買筆記本的數(shù)量為x本，則購買筆袋的數(shù)量為(10－x)個(gè)，
根據(jù)題意可得x≥4(10－x)，解得x≥8，
∴購買筆記本的數(shù)量至少為8本；
(2)設(shè)購買筆袋的數(shù)量為x個(gè)，則購買筆記本的數(shù)量為(30－x)本，
根據(jù)題意可得8x＋5(30－x)≤200，解得x≤503，
∵x為正整數(shù)，
∴張老師最多能購買筆袋16個(gè)；
(3)設(shè)打x折出售，
根據(jù)題意可得5×x10－2≥2×5％，解得x≥4.2，
∴至多可打4.2折.
真題及變式
1. D 【解析】令x－2>1①x3(x－2)①4x＞x－72②，
解不等式①，得x＜2，(2分)
解不等式②，得x＞－1，(4分)
∴原不等式組的解集為－1＜x＜2.(6分)
5. 8.8 【解析】設(shè)這種商品打x折銷售，根據(jù)題意可列不等式5×0.1x－4≥4×10％，解得x≥8.8，∴該商品最多可以打8.8折.
變式5.1 1.2 【解析】設(shè)該商品可降價(jià)x元，根據(jù)題意，得6－x－44×100％≥20％，解得x≤1.2，∴最多可降價(jià)1.2元.
6. 解：(1)設(shè)買了x個(gè)籃球，y個(gè)足球，(1分)
由題意得x＋y=6070x+80y＝4600，(2分)
解得x=20y=40.(3分)
答：籃球買了20個(gè)，足球買了40個(gè)；(4分)
(2)設(shè)購買了a個(gè)籃球，則購買了(60－a)個(gè)足球，
由題意得70a≤80×(60－a)，(5分)
解得a≤32，(6分)
答：最多可購買32個(gè)籃球.(7分)
7. 解：(1)設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有x本，語文書有y本，
由題意，得x＋y=900.8x+1.2y=84，
解得x=60y=30，
答：書架上數(shù)學(xué)書有60本，語文書有30本；
一題多解法
設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有x本，則語文書有(90－x)本，
由題意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84，
解得x＝60，
∴90－x＝30(本).
答：書架上數(shù)學(xué)書有60本，語文書有30本；
(2)設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，
由題意，得10×1.2＋0.8m≤84，
解得m≤90.
答：數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本.
8. (1)解：補(bǔ)全證明過程如下：
證明：∵x＞y且x，y均為正數(shù)，
∴x2＞xy，xy＞y2，(不等式的兩邊都乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變)
∴x2＞y2；(不等式的傳遞性)
(2)證明：∵a＜b，
∴a＋b＜b＋b，∴a＋b2＜b.
解集
在數(shù)軸上的表示
總結(jié)
x＜a
在數(shù)軸上表示解集時(shí)，要注意：“＞”或“＜”是空心圓圈，“≥”或“≤”是實(shí)心圓點(diǎn)；小于向左，大于向右
x＞a
x≤a
x≥a
類型(a＞b)
在數(shù)軸上的表示
口訣
解集
x≥ax＞b
同大取大
x≥a
x＜ax≤b
同小取小
x≤b
x≤ax≥b
大小、小大取中間
b≤x≤a
x＞ax＜b
大大、小小取不了
無解
常見關(guān)鍵詞
不等號(hào)
大于，多于，超過，高于
＞
小于，少于，不足，低于
＜
至少，不低于，不小于，不少于
⑦
至多，不高于，不大于，不超過
⑧

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