考點(diǎn)梳理
1. 一元二次方程的相關(guān)概念
(1)概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是① 的整式方程
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a② 0)
2. 一元二次方程的解法(6年4考)
3. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系(6年2考)
(1)根的判別式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式
(2)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：
①b2－4ac＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②b2－4ac＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③b2－4ac＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根
(3)根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca(2022年版課標(biāo)調(diào)整為考查內(nèi)容)
4. 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
練考點(diǎn)
1. 若關(guān)于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，則k的取值范圍是 .
2. 解方程：x2－3x＋2＝0.
3. 一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情況為( )
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根
4. 關(guān)于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的一個(gè)根是1，則該方程的另一個(gè)根為 .
5. 為了滿足師生的閱讀需求，某校園圖書館的藏書從2022年至2024年兩年內(nèi)由5萬(wàn)冊(cè)增加到7.2萬(wàn)冊(cè)，則這兩年藏書的年平均增長(zhǎng)率為 .
6. 某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2 500元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價(jià)為2 900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若銷售價(jià)每降低50元，則平均每天能多售出4臺(tái).
(1)若銷售價(jià)降低1元，則平均每天能多售出 臺(tái)；
(2)已知商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5 000元，設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，可列方程為 .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 一元二次方程及其解法(6年4考)
例1 (人教九上習(xí)題改編)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)5(x－3)2＝45； (2)x2＋4x＝12；
x2－4x＋3＝0； (4)x2＋3x＋1＝0.
變式1 (2024東莞一模改編)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0時(shí)，將它化為(x＋a)2＝b的形式，則a＋b的值為( )
A. 103 B. 73 C. 2 D. 43
考點(diǎn)2 一元二次方程根的判別式(2024.13)
例2 已知關(guān)于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x－1＝0，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)若原方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ；
(2)若原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ；
(3)若原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ；
(4)若原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 .
易錯(cuò)警示
本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽略“一元二次方程中二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”這個(gè)條件.
變式2 若方程(x－1)2＝m＋2無(wú)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為( )
A. m＜－2 B. m≤－2 C. m＞－2 D. m＞－2且m≠0
變式3 (2023廣州)已知關(guān)于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(k－1)2－(2－k)2的化簡(jiǎn)結(jié)果是( )
A. －1 B. 1 C. －1－2k D. 2k－3
考點(diǎn)3 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(2019.9)
例3 (人教九上習(xí)題改編)設(shè)x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則：
(1)1x1＋1x2＝ ；
(2)x12＋x22＝ ；
(3)x12x2＋x1x22＝ .
變式4 (2024佛山二模)若一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的兩根互為相反數(shù)，請(qǐng)你寫出一個(gè)滿足條件的方程： .
考點(diǎn)4 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
例4 根據(jù)市場(chǎng)需求，某公司的業(yè)務(wù)規(guī)模快速擴(kuò)大，如圖是該公司用來(lái)生產(chǎn)一種無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的矩形原料，該矩形原料的長(zhǎng)為20 cm，寬為16 cm.
(1)隨著技術(shù)逐年更新，該矩形原料的成本不斷下降，前年一張矩形原料的成本是50元，今年一張矩形原料的成本是32元，求這種矩形原料成本的年平均下降率；
例4題圖
將該矩形原料的四角剪去四個(gè)相同的小正方形，然后把剩余部分(陰影部分)沿虛線折起可做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.若該無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的底面積為140 cm2，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)；
若該無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的成本是50元/個(gè)，如果以100元/個(gè)銷售，每天可以售出200個(gè)，為盡可能大地讓利購(gòu)買者，同時(shí)減少產(chǎn)品庫(kù)存積壓，公司決定降低售價(jià)，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，銷售數(shù)量就增加20個(gè)，則當(dāng)該公司將銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為16 000元？
真題及變式
命題點(diǎn)1 一元二次方程及其解法(6年4考)
1. (2022廣東14題3分)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，則a＝ .
2. (2021廣東14題4分)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c為常數(shù))的兩根x1，x2滿足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，則符合條件的一個(gè)方程為 .
命題點(diǎn)2 一元二次方程根的判別式(2024.13)
3. (2024廣東13題3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝ .
命題點(diǎn)3 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(2019.9)
4. (2019廣東9題3分)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. x1≠x2 B. x12－2x1＝0 C. x1＋x2＝2 D. x1·x2＝2
4.1 變思維——結(jié)合兩根關(guān)系求系數(shù)
(2024樂(lè)山改編)若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0兩根為x1，x2，且1x1＋1x2＝3，則P的值為( )
－23 B. 23
C. －6 D. 6
新考法
5. [數(shù)學(xué)文化] 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問(wèn)題：“今有圓田一段，中間有個(gè)方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無(wú)疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一.”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了.如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是 .
第5題圖
6. [綜合與實(shí)踐]
【主題】探究日歷中的奧秘.
【素材】2024年10月1日是我國(guó)成立75周年紀(jì)念日，本月日歷如圖所示.
步驟一：在本月的日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)(如圖所示)；
步驟二：設(shè)這四個(gè)數(shù)從小到大依次為a，b，c， C.
【觀察】小方框中的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，總存在著某種數(shù)量關(guān)系.
【猜想與應(yīng)用】(1)請(qǐng)用含a的式子表示b，c，d；
(2)若圈出的4個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為128，求這個(gè)最大數(shù).
第6題圖
考點(diǎn)精講
①2 ②≠ ③x＝－b±b2－4ac2a ④＜ ⑤≥
⑥a(1＋m)2 ⑦a(1－m)2
練考點(diǎn)
1. k≠3
2. 解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，
∴x＝3+12或x＝3－12，
∴x＝2或x＝1；
一題多解法
(x－1)(x－2)＝0，
x－1＝0或x－2＝0，
解得x＝1或x＝2.
3. D 【解析】∵a＝1，b＝－1，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×4＝－15＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
4. 3 【解析】∵a＝1，c＝3，且x1·x2＝ca，由題可知，x1＝1，∴x2＝3，即另一個(gè)根為3.
5. 20％
6. (1)225；(2)(2 900－x－2 500)(8＋2x25)＝5 000
高頻考點(diǎn)
例1 解：(1)等式兩邊同除以5，得(x－3)2＝9，
開(kāi)平方，得x－3＝±3，
解得x1＝6，x2＝0；
(2)等式兩邊同加上4，得x2＋4x＋4＝16，
即(x＋2)2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x1＝2，x2＝－6；
(3)原方程可變形為(x－3)(x－1)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
(4)∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5，
∴x＝－b±b2－4ac2a＝－3±52，
∴x1＝－3+52，x2＝－3－52.
變式1 B 【解析】∵3x2＋6x－1＝0，∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝13，則x2＋2x＋1＝13＋1，即(x＋1)2＝43，∴a＝1，b＝43，∴a＋b＝73.
例2 (1)k≥－2且k≠2 【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)≥0，且k－2≠0，解得k≥－2且k≠2.
(2)k＝－2 【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)＝0，且k－2≠0，解得k＝－2.
(3)k＞－2且k≠2 【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)＞0，且k－2≠0，解得k＞－2且k≠2.
(4)k＜－2 【解析】由題意得，42－4×(k－2)×(－1)＜0，且k－2≠0，解得k＜－2.
變式2 A 【解析】∵方程(x－1)2＝m＋2無(wú)實(shí)數(shù)根，∴m＋2＜0，∴m＜－2.
變式3 A 【解析】∵關(guān)于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理得－8k＋8≥0，∴k≤1，∴k－1≤0，2－k＞0，∴(k－1)2－(2－k)2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.
例3 (1)3 【解析】∵x2－6x＋2＝0，∴x1＋x2＝－ba＝6，x1x2＝ca＝2，∴1x1＋1x2＝x2＋x1x1x2＝3.
(2)32 【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝36－4＝32.
(3)12 【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x12x2＋x1x22＝x2x1(x1＋x2)＝2×6＝12.
變式4 x2－4＝0(答案不唯一) 【解析】設(shè)所求方程式x2＋bx＋c＝0，∵方程的兩根互為相反數(shù)，∴－ba＝－b＝x1＋x2＝0，ca＝c＝x1·x2＜0，∴所求方程為x2＋c＝0(c＜0)，∴滿足條件的方程可以為x2－4＝0(答案不唯一).
例4 解：(1)設(shè)這種矩形原料成本的年平均下降率為x，
由題意得50(1－x)2＝32，
解得x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2＝20％.
答：這種矩形原料成本的年平均下降率為20％；
(2)設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)是x cm，則長(zhǎng)方體容器底面的長(zhǎng)為(20－2x) cm，寬為(16－2x) cm，
由題意得(20－2x)(16－2x)＝140，
解得x1＝3，x2＝15，
∵當(dāng)x＝15時(shí)，16－2x＜0，∴x＝15不符合題意，舍去，
答：剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為3 cm；
(3)設(shè)該公司將銷售單價(jià)定為x元，
由題意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16 000，
整理，得x2－160x＋6 300＝0，
解得x1＝70，x2＝90.
∵要盡可能大地讓利購(gòu)買者，同時(shí)減少產(chǎn)品庫(kù)存積壓，
∴x＝70.
答：當(dāng)該公司將銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為16 000元.
真題及變式
1. 1 【解析】將x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.
2. x2－4＝0(答案不唯一) 【解析】設(shè)x1＝－2，x2＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即x2－4＝0.
3. 1 【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝22－4c＝0，解得c＝1.
4. D 【解析】由x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，則x1≠x2；無(wú)論x1為0或2時(shí)，均滿足x12－2x1＝0；x1＋x2＝0＋2＝2；x1·x2＝0×2＝0，從而可判斷選項(xiàng)A，B，C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
變式4.1 B 【解析】∵x1，x2為一元二次方程x2－2x＋p＝0的兩個(gè)根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝p，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1·x2＝2p＝3，解得p＝23.
5. π(x2＋3)2－x2＝72 【解析】由題圖易得，圓的直徑為x＋6，半徑則為x2＋3，圓的面積為π(x2＋3)2，可得方程是π(x2＋3)2－x2＝72.
6. 解：(1)b＝a＋1，c＝a＋7，d＝a＋8；
(2)依題意，得ad＝128，
∴a(a＋8)＝128，
整理得a2＋8a－128＝0，解得a1＝8，a2＝－16(不合題意，舍去)，
∴d＝8＋8＝16，
即這個(gè)最大數(shù)為16.
解法
適用情況或步驟
直接開(kāi)
平方法
(1)當(dāng)方程缺少一次項(xiàng)時(shí)，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；
(2)形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
因式分
解法
(1)常數(shù)項(xiàng)為0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；
(2)一元二次方程的一邊為0，而另一邊是易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積
注：方程求解過(guò)程中，等式兩邊不能同時(shí)約去含有相同未知數(shù)的因式
公式法
適用于所有一元二次方程，求根公式為③ (b2－4ac≥0)
步驟：(1)使用求根公式時(shí)要先把原一元二次方程化為一般形式，方程的右邊一定要化為0；
(2)判斷b2－4ac的正負(fù)：若b2－4ac④ 0，則原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；若b2－4ac⑤ 0，則原方程有實(shí)數(shù)解
注：將a，b，c代入公式時(shí)應(yīng)注意其符號(hào)
配方法
適用于：(1)二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程；
(2)各項(xiàng)的系數(shù)比較小且便于配方的情況
步驟：以2x2－8x＋4＝0為例
(1)變形：將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2－4x＋2＝0；
(2)移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x2－4x＝－2；
(3)配方：方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即(x－2)2＝2；
(4)求解：用直接開(kāi)平方法求解，得x1＝2＋2，x2＝2－2
平均
變化
率問(wèn)題
(1)變化率＝變化量基礎(chǔ)量×100％；
(2)設(shè)a為原來(lái)量，當(dāng)m為平均增長(zhǎng)率，增長(zhǎng)次數(shù)為2，b為增長(zhǎng)后的量時(shí)，則⑥ ＝b；
(3)設(shè)a為原來(lái)量，當(dāng)m為平均下降率，下降次數(shù)為2，b為下降后的量時(shí)，則⑦ ＝b
利潤(rùn)
問(wèn)題
(1)利潤(rùn)＝售價(jià)－成本；
(2)利潤(rùn)率＝利潤(rùn)成本×100％；
(3)每每問(wèn)題：?jiǎn)蝺r(jià)每漲a元，少賣b件.若漲價(jià)y元，則少賣的數(shù)量為ba·y件
面積
問(wèn)題
S陰影＝(a－2x)(b－2x)
S陰影＝(a－x)(b－x)
S陰影＝(a－x)(b－x)

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