A. y＝0.1x B. y＝－0.1x＋30 C. y＝300x D. y＝－0.1x2＋30x
2. 阿基米德說(shuō)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)整個(gè)地球”，這句話精辟地闡明了一個(gè)重要的物理學(xué)知識(shí)杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂”.若某杠桿的阻力和阻力臂分別為1000 N和0.6 m，則它的動(dòng)力F和動(dòng)力臂l之間的函數(shù)圖象大致是( )
3. 如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍一塊矩形的地.已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的地的最大面積是 平方米.
第3題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn) 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6年5考)
例 某工藝品店銷售一款擺件，已知每件擺件的成本為30元，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于40元的試銷期間，每周的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)滿足反比例函數(shù)關(guān)系；銷售單價(jià)高于40元正式售賣時(shí)，每周的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是部分銷售記錄.
(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)圖象，并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
例題圖
若計(jì)劃每件擺件的利潤(rùn)率不低于40％，求該擺件每周的最大銷售量；
在試銷期間，當(dāng)該擺件的銷售單價(jià)為多少元時(shí)周利潤(rùn)最大？
根據(jù)當(dāng)?shù)匾?guī)定，該擺件銷售單價(jià)不得超過(guò)50元，若該店計(jì)劃下周該擺件的銷售單價(jià)高于40元，且一周內(nèi)銷售單價(jià)保持不變，預(yù)計(jì)下周利潤(rùn)最多為多少？
易錯(cuò)警示
利用函數(shù)的增減性解決實(shí)際問(wèn)題中的最值時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.特別地，在二次函數(shù)中若對(duì)稱軸的取值不在自變量的取值范圍內(nèi)，則最值在自變量取值的端點(diǎn)處取得.
真題及變式
命題點(diǎn) 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6年5考)
類型一 利潤(rùn)(費(fèi)用)最值問(wèn)題(6年3考)
(2024廣東20題9分·北師九下習(xí)題改編)廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬(wàn)村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國(guó)首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美.某果商以每噸2萬(wàn)元的價(jià)格收購(gòu)早熟荔枝，銷往國(guó)外.若按每噸5萬(wàn)元出售，平均每天可售出100噸.市場(chǎng)調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬(wàn)元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸.該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤(rùn)”或“銷售收入”最大？并求出其最大值？(題中“元”為人民幣)
2. (2020廣東23題8分)某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的35.
(1)求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍.求建造這90個(gè)攤位的最大費(fèi)用.
類型二 跨學(xué)科問(wèn)題(6年2考)
3. (2023廣東13題3分·人教九下習(xí)題改編)某蓄電池的電壓為48 V，使用此蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)的函數(shù)表達(dá)式為I＝48R.當(dāng)R＝12 Ω時(shí)，I的值為 A.
3.1 變條件——將一個(gè)電阻變?yōu)槿齻€(gè)串聯(lián)電阻
(2024廣州)如圖，把R1，R2，R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1＋I(xiàn)R2＋I(xiàn)R3.當(dāng)R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時(shí)，U的值為 .
變式3.1題圖
4. (2022廣東20題9分)物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長(zhǎng)度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx＋15.下表是測(cè)量物體質(zhì)量時(shí)，該彈簧長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為20 cm時(shí)，求所掛物體的質(zhì)量.
拓展類型
5. [圖象問(wèn)題](2024陜西)我國(guó)新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車從A市前往B市.他駕車從A市一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車的剩余電量是80 kW·h，行駛了240 km后，從B市一高速公路出口駛出.已知該車在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量y(kW·h)與行駛路程x(km)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的關(guān)系式；
(2)已知這輛車的“滿電量”為100 kW·h，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少.
第5題圖
6. [拋物線型問(wèn)題](2024東莞模擬)愛(ài)思考的小芳在觀看女子排球比賽時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進(jìn)行了實(shí)踐探究.
經(jīng)實(shí)地測(cè)量，可知排球場(chǎng)地長(zhǎng)為18 m，球網(wǎng)在場(chǎng)地中央且高度為2.24 m.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A為擊球點(diǎn).記排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度為y(單位：m)，距擊球點(diǎn)的水平距離為x(單位：m).小華第一次發(fā)球時(shí)，測(cè)得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表：
(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離x滿足的函數(shù)表達(dá)式；
(2)通過(guò)計(jì)算，判斷小華這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)，并說(shuō)明理由；
(3)小華第二次發(fā)球時(shí)，假設(shè)她只改變擊球點(diǎn)高度，排球運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀及對(duì)稱軸位置不變，在點(diǎn)O上方擊球，既要過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界(排球壓線屬于沒(méi)出界)時(shí)，求小華的擊球點(diǎn)高度h(單位：m)的取值范圍.
第6題圖
新考法
7. [綜合與實(shí)踐]
科學(xué)探究
【主題】利用“浮力稱”測(cè)量浸入水的深度
【項(xiàng)目情境】“曹沖稱象”是家喻戶曉的經(jīng)典故事，某興趣小組模仿故事里曹沖的稱象思路，制作了一把“浮力稱”.
【項(xiàng)目探究】如圖①所示，將一個(gè)帶刻度的圓柱形狀的量杯浸入水中，小組成員通過(guò)在杯中放入不同質(zhì)量的物體，觀察杯子浸入水中的深度，得到了一組數(shù)據(jù)如下.
【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)】
【問(wèn)題解決】設(shè)放進(jìn)杯中的物體質(zhì)量為x kg，杯子浸入水中的深度為 y m.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)網(wǎng)格中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并在圖②中畫(huà)出函數(shù)圖象；
(2)求放入杯中物體質(zhì)量在0 kg～1.2 kg范圍內(nèi)時(shí)，杯子浸入水中的深度 y 與放入物體質(zhì)量x之間的函數(shù)表達(dá)式；
(3)若量杯的高度為0.15 m，此“浮力稱”可以稱質(zhì)量為2 kg的物體嗎？
第7題圖
練考點(diǎn)
1. B 【解析】利用油箱中的油量y＝總油量－耗油量，得出函數(shù)表達(dá)式是y＝－0.1x＋30(0≤x≤300).
2. B 【解析】∵阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂，且阻力和阻力臂分別為1000 N和0.6 m，∴動(dòng)力F關(guān)于動(dòng)力臂l的函數(shù)表達(dá)式為1000×0.6＝Fl，即F＝600l，∴動(dòng)力F和動(dòng)力臂l之間的函數(shù)圖象是反比例函數(shù)圖象，又∵動(dòng)力臂l＞0，∴反比例函數(shù)F＝600l的圖象在第一象限.
3. 450 【解析】設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為(60－2x)米，∴菜園的面積＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，由題意得0＜60－2x≤40，解得10≤x＜30，∴當(dāng)x＝15時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為450平方米.
高頻考點(diǎn)
例 解：(1)畫(huà)出函數(shù)圖象如解圖；
∵當(dāng)銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于40元時(shí)，每周的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)滿足反比例函數(shù)關(guān)系，
∴設(shè)y1＝k1x(30≤x≤40)，將(40，84)代入y1＝k1x中，得84＝k140，
解得k1＝3 360，
∴y1＝3 360x(30≤x≤40).
∵當(dāng)銷售單價(jià)高于40元時(shí)，每周的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，
∴設(shè)y2＝k2x＋b(x＞40，k2≠0)，將(50，74)，(44，80)代入y2＝k2x＋b中，
得74=50k2＋b80=44k2＋b，解得k2＝－1b=124，
∴y2＝－x＋124(x＞40)，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝3 360x(30≤x≤40)－x+124(x>40)；
例題解圖
(2)∵每件擺件的成本為30元，計(jì)劃每件擺件的利潤(rùn)率不低于40％，
∴x－3030×100％≥40％，
解得x≥42，
由(1)得y2＝－x＋124(x＞40)，
∵－1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝42時(shí)，y2取得最大值，最大值為82.
答：該擺件每周的最大銷售量為82件；
(3)由(1)可知y1＝3 360x(30≤x≤40)，
設(shè)試銷期間每周總利潤(rùn)為W1元，
則W1＝(x－30)y1＝(x－30)·3 360x＝－100 800x＋3 360，
當(dāng)－100 800x最大時(shí)，W1最大，
∵－100 800＜0，30≤x≤40，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，－100 800x隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝40時(shí)，W1取得最大值，為－100 80040＋3 360＝840.
答：在試銷期間，當(dāng)該擺件的銷售單價(jià)為40元時(shí)，周利潤(rùn)最大；
(4)設(shè)下周總利潤(rùn)為W2元，
∵該店計(jì)劃下周該擺件的銷售單價(jià)高于40元，
∴銷售量與售價(jià)滿足關(guān)系式y(tǒng)2＝－x＋124(x＞40)，
∴W2＝(x－30)y2＝(x－30)(－x＋124)＝－x2＋154x－3 720＝－(x－77)2＋2 209，
∵根據(jù)當(dāng)?shù)匾?guī)定，該擺件銷售單價(jià)不得超過(guò)50元，
∴40＜x≤50，
∵－1＜0，
∴當(dāng)x＜77時(shí)，W2隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝50時(shí)，W2取得最大值，為1 480.
答：預(yù)計(jì)下周利潤(rùn)最多為1 480元.
真題及變式
1. 解：選擇利潤(rùn)最大：
設(shè)該果商定價(jià)為每噸x萬(wàn)元，利潤(rùn)為W萬(wàn)元，
則銷量為100＋50(5－x)＝(350－50x)噸，∴W＝(x－2)·(350－50x)＝－50x2＋450x－700，
∵－50＜0，對(duì)稱軸為直線x＝－4502×(?50)＝4.5，
∴當(dāng)x＝4.5時(shí)，W最大，此時(shí)W＝(4.5－2)×(350－50×4.5)＝312.5，(8分)
答：該果商定價(jià)為每噸4.5萬(wàn)元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為312.5萬(wàn)元.(9分)
或選擇銷售收入最大：
設(shè)該果商定價(jià)為每噸x萬(wàn)元，銷售收入為y萬(wàn)元，
則銷量為100＋50(5－x)＝(350－50x)噸，∴y＝x(350－50x)＝－50x2＋350x，
∵－50＜0，對(duì)稱軸為直線x＝－3502×(?50)＝3.5，
∴當(dāng)x＝3.5時(shí)，y最大，此時(shí)y＝3.5×(350－50×3.5)＝612.5，(8分)
答：該果商定價(jià)為每噸3.5萬(wàn)元時(shí)銷售收入最大，最大銷售收入為612.5萬(wàn)元.(9分)
2. 解：(1)設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位的占地面積為(x＋2)平方米，
由題意得60x+2＝35×60x，(2分)
解得x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解且符合實(shí)際，(3分)
∴x＋2＝5.
答：每個(gè)A類攤位占地面積為5平方米，每個(gè)B類攤位占地面積為3平方米；(4分)
(2)設(shè)建A類攤位a個(gè)，則建B類攤位(90－a)個(gè)，
由題意得90－a≥3a，解得a≤22.5，(5分)
設(shè)建造這90個(gè)攤位的費(fèi)用為y元，
則y＝40a×5＋30(90－a)×3＝110a＋8 100，(6分)
∵110＞0，
∴y隨a的增大而增大，
∵a取整數(shù)，
∴a的最大值為22，
∴當(dāng)a＝22時(shí)，y取最大值，最大值為110×22＋8 100＝10 520.
答：建造這90個(gè)攤位的最大費(fèi)用為10 520元.(8分)
3. 4 【解析】當(dāng)R＝12 Ω時(shí)，I＝4812＝4(A).
變式3.1 220 【解析】∵U＝IR1＋I(xiàn)R2＋I(xiàn)R3，當(dāng)R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時(shí)，U＝2.2×20.3＋2.2×31.9＋2.2×47.8＝2.2×(20.3＋31.9＋47.8)＝220.
4. 解：(1)將x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，得25＝5k＋15，
解得k＝2，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x＋15(x≥0)；(4分)
(2)當(dāng)y＝20時(shí)，20＝2x＋15，
解得x＝2.5，(8分)
∴當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為20 cm時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為2.5 kg.(9分)
5. 解：(1)設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，
將(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b中，
得80=b50=150k＋b，解得k＝－15b=80，
∴y與x之間的關(guān)系式為y＝－15x＋80；
(2)當(dāng)x＝240時(shí)，y＝－15×240＋80＝32，
∴該車的剩余電量占“滿電量”的百分比為32100×100％＝32％.
答：王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車的剩余電量占“滿電量”的32％.
6. 解：(1)由表格可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2.8)；
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋2.8.
將(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－145.
經(jīng)檢驗(yàn)，表格中其他數(shù)據(jù)也滿足上述關(guān)系.
∴排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離滿足的函數(shù)表達(dá)式為y＝－145(x－6)2＋2.8；
(2)能，理由如下：
當(dāng)x＝9時(shí)，y＝－145(9－6)2＋2.8＝2.6.
∵2.6＞2.24，
∴小華這次發(fā)球能過(guò)網(wǎng)；
(3)設(shè)只改變擊球點(diǎn)高度后拋物線的表達(dá)式為y＝－145(x－6)2＋k，
把x＝9，y＝2.24代入y＝－145(x－6)2＋k中，
解得k＝2.44，
∴y＝－145(x－6)2＋2.44，
把x＝0代入y＝－145(x－6)2＋2.44，解得y＝1.64.
把x＝18，y＝0代入y＝－145(x－6)2＋k，解得k＝3.2，
∴y＝－145(x－6)2＋3.2.
把x＝0代入y＝－145(x－6)2＋3.2，解得y＝2.4.
∴小華的擊球點(diǎn)高度h的取值范圍是1.64＜h≤2.4.
7. 解：(1)描出相應(yīng)點(diǎn)及畫(huà)出函數(shù)圖象如解圖所示：
第7題解圖
(2)觀察函數(shù)圖象可知y與x為一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
將x＝0，y＝0.02；x＝1.2，y＝0.10，代入y＝kx＋b(k≠0)，
得0.02=b0.10=1.2k＋b，解得k＝115b=0.02，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝115x＋0.02(0≤x≤1.2)；
(3)當(dāng)y＝0.15時(shí)，115x＋0.02＝0.15，解得x＝1.95 kg，
∵2 kg＞1.95 kg，超過(guò)了此浮力稱的最大量程，
∴若量杯的高度為0.15 m，此“浮力稱”不可以稱質(zhì)量為2 kg的物體.
銷售單價(jià)x(元)
…
35
40
44
48
50
…
周銷售量y(件)
…
96
84
80
76
74
…
x/kg
0
2
5
y/cm
15
19
25
水平距離x/m
0
4.5
6
7.5
12
豎直高度y/m
2
2.75
2.8
2.75
2
物體質(zhì)量/kg
0
0.3
0.6
0.9
1.2
浸入水中深度/m
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10

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