構(gòu)建知識體系
考點梳理
1. 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)
2. 反比例函數(shù)表達式的確定(6年3考)
練考點
1. 關(guān)于反比例函數(shù)y＝3x，下列結(jié)論正確的是( )
A. 圖象位于第二、四象限
B. 圖象與坐標軸有公共點
C. 圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小
D 圖象經(jīng)過點(a，a＋2)，則a＝1
2. 已知反比例函數(shù)y＝kx(k≠0)，請回答下列問題：
(1)若點(2，4)在該反比例函數(shù)的圖象上，則該函數(shù)解析式為 ；
第2題圖
(2)如圖，在平面直角坐標系中，點P是反比例函數(shù)y＝kx(x＜0)圖象上的一點，分別過點P作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，若四邊形PAOB的面積為6，則k的值為 .
高頻考點
考點1 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年5考)
例1 已知反比例函數(shù)y＝kx(k≠0).
(1)若點A(1，－3)關(guān)于x軸的對稱點A'在該函數(shù)圖象上，則k的值為 ；
(2)核心設(shè)問 若點(－2，3)，(1，n)在該反比例函數(shù)的圖象上，則n的值為 ；[2022廣東9題考查]
(3)若點(a，－1)，(b，－4)在該反比例函數(shù)的圖象上且在第三象限內(nèi)，則a b(填“＞”“＜”“＝”)；
(4)核心設(shè)問 若k＝4，點(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)都在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是 ；(用“＜”連接)[2021廣東21(1)題考查]
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)圖象上兩點，且x1＜x2，y1＜y2，則點A位于第 象限，點B位于第 象限；
(6)已知反比例函數(shù)y＝kx與直線y＝mx相交于C，D兩點，點D的坐標為(1，6)，則C點坐標為 .
變式1 (2024佛山一模)已知點A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象上，下列結(jié)論正確的是( )
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a
變式2 已知反比例函數(shù)y＝ax(a為常數(shù)，且a≠0)和一次函數(shù)y＝x＋2b－1(b為常數(shù))，若a＝2b，則它們在同一直角坐標系中的圖象可能是( )
考點2 反比例函數(shù)的幾何意義(6年3考)
例2 已知點A是反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象上一點.
(1)如圖①，若OA＝AB，且△AOB的面積為4，則k的值為 ；
(2)如圖②，若四邊形OABC是平行四邊形，且點B，C的坐標分別為(－3，3)，(－4，0)，則k的值為 ；
(3)核心設(shè)問 如圖③，若矩形ABCD的面積為3，點B在反比例函數(shù)y＝5x的圖象上，點A在反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象上且AB∥x軸，C，D在x軸上，則k＝ .[2020廣東24(1)題考查]
例2題圖
變式3 (2024佛山模擬)如圖，矩形ABCD的邊AB與x軸平行，頂點A的坐標為(2，1)，點B與點D都在反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象上，若矩形ABCD的面積為8，則該反比例函數(shù)的解析式為 .
變式3題圖
真題及變式
命題點 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)
1. (2022廣東9題3分)點(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝4x圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是( )
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
拓展訓(xùn)練
2. 在同一平面直角坐標系中，直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝k2x(k2≠0)相交于A，B兩點，已知點A的坐標為(1，2)，則點B的坐標為( )
A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)
3. (2024北京)在平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點(3，y1)和(－3，y2)，則y1＋y2的值是 .
考點精講
①＞ ②＜ ③一，三 ④二，四 ⑤減小 ⑥增大
⑦ab ⑧｜k｜ ⑨12｜k｜ ⑩12｜k｜ ?｜k｜ ?｜k｜
練考點
1. C 【解析】反比例函數(shù)y＝3x，圖象在第一、三象限，與坐標軸沒有交點，故A選項錯誤，B選項錯誤；反比例函數(shù)y＝3x，在每一個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，故C選項正確；反比例函數(shù)y＝3x圖象經(jīng)過點(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3，故D選項錯誤.
2. (1)y＝8x；(2)－6
高頻考點
例1 (1)3 【解析】∵點A(1，－3)和點A'關(guān)于x軸對稱，∴A'(1，3)，∵A'在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上，∴k＝1×3＝3.
(2)－6 【解析】∵點(－2，3)在該反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝－2×3＝－6，∴該反比例函數(shù)的解析式為y＝－6x，將(1，n)代入，得n＝－6.
(3)＜ 【解析】∵點(a，－1)，(b，－4)在該反比例函數(shù)的圖象上，且在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，－1＞－4，∴a＜b.
(4)x2＜x1＜x3 【解析】∵k＝4，∴y＝4x，把點(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)分別代入y＝4x，得x1＝1，x2＝－4，x3＝2，∴x2＜x1＜x3.
(5)三，一；
(6)(－1，－6) 【解析】∵反比例函數(shù)y＝kx與直線y＝mx相交于C，D兩點，點C與D關(guān)于原點對稱，∴C點的坐標為(－1，－6).
變式1 B 【解析】∵反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象分布在第一、三象限，∴在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象上，且－2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b.
變式2 B 【解析】∵a＝2b，∴代入y＝ax可得y＝2bx，與一次函數(shù)y＝x＋2b－1聯(lián)立，可得2bx＝x＋2b－1，整理得(x－1)(x＋2b)＝0，∴方程有一個根為x＝1，∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象有一個交點的橫坐標為1.∵一次函數(shù)y＝x＋2b－1的一次項系數(shù)為1＞0，∴一次函數(shù)圖象過一、三象限，故選B.
例2 (1)4 【解析】如解圖①，過點A作AC⊥x軸于點C.∵OA＝AB，∴OC＝BC，∴S△OAC＝12S△AOB＝2.∴｜k｜2＝2.∵k＞0，∴k＝4.
例2題解圖①
(2)3 【解析】如解圖②，設(shè)AB與y軸交于點E，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB＝OC，AB∥OC，∵點B，C的坐標分別為(－3，3)，(－4，0)，∴AB＝OC＝4，AE＝1，OE＝3，∴｜k｜＝2S△AEO＝3.∵k＞0，∴k＝3.
例2題解圖②
(3)2 【解析】如解圖③，延長BA交y軸于點H，∵四邊形ABCD為矩形，∴S矩形AHOD＝S矩形HBCO－S矩形ABCD＝｜k｜，∵點B在反比例函數(shù)y＝5x的圖象上，∴S矩形HBCO＝5，∵S矩形ABCD＝3，∴S矩形AHOD＝5－3＝2，∴｜k｜＝2，由圖象可知k＞0，∴k＝2.
例2題解圖③
變式3 y＝6x 【解析】∵點A(2，1)，四邊形ABCD為矩形，∴點B的縱坐標為1，點D的橫坐標為2，∴B(k，1)，D(2，k2)，∴AB＝k－2，AD＝k2－1，∴(k－2)(k2－1)＝8，解得k＝6或k＝－2，∵k＞0，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝6x.
真題及變式
1. D 【解析】∵點(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝4x的圖象上，且反比例函數(shù)y＝4x的圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴y1＞y2＞y3＞y4，∴最小的是y4.
2. A 【解析】由題意得，點A與點B關(guān)于原點對稱，∴點B的坐標為(－1，－2).
3. 0 【解析】∵函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點(3，y1)和(－3，y2)，∴y1＝k3，y2＝－k3，∴y1＋y2＝0.
表達式
y＝kx(k為常數(shù)，k≠0)
k的符號
k① 0
k② 0
圖象(草圖)
所在象限
第③ 象限(x，y同號)
第④ 象限(x，y異號)
增減性
在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而⑤
在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而⑥
對稱性
關(guān)于原點成中心對稱；關(guān)于直線y＝x，y＝－x成軸對稱
待定系
數(shù)法
(1)設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝kx(k≠0)；
(2)找出圖象上的一點P(a，b)；
(3)將點P的坐標代入y＝kx中，得k＝⑦ ；
(4)確定反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝abx
利用k
的幾何
意義
k的幾
何意義
過反比例函數(shù)y＝kx(k≠0)圖象上任一點P(x，y)作x軸，y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N，則所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜＝⑧ .
利用k
的幾何
意義
基本
圖形
S△AOP＝⑨ S△ABP＝⑩ S△APP'＝2｜k｜

S△ABC＝? S?ABCD＝?

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