考點梳理
1. 銳角三角函數(shù)(6年5考)
圖①
定義：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A為△ABC中的一銳角，則∠A的正弦：sin A＝對邊斜邊＝ac，∠A的余弦：cs A＝鄰邊斜邊＝① ，∠A的正切：tan A＝對邊鄰邊＝②
2. 特殊角的三角函數(shù)值(6年8考)
3. 銳角三角函數(shù)的實際應用(6年3考)
(1)仰角、俯角：如圖②，圖中仰角是∠1，俯角是∠2
(2)坡度(坡比)、坡角：如圖③，坡角為α，坡度(坡比)i＝tan α＝?l
(3)方向角：如圖④，A點位于O點的北偏東30°方向，B點位于O點的南偏東60°方向，C點位于O點的北偏西45°方向
練考點
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，則cs B的值為 .
第1題圖
2. 如圖，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan ∠CAD＝12，則BC的長為 .
第2題圖
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝60°，則sin A＝ ，cs A＝ ；
(2)若tan A＝1，則∠A＝ °.
4. 如圖，從熱氣球P看一面墻底部B的俯角是 .(用字母表示)
第4題圖
高頻考點
考點1 銳角三角函數(shù) (6年5考)
例1 (2024東莞一模)如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan A的值是( )
A. 35 B. 45 C. 43 D. 2
例1題圖
變式1 (2024江西)將圖①所示的七巧板，拼成圖②所示的四邊形ABCD，連接AC，則tan ∠CAB＝ .
變式1題圖
考點2 銳角三角函數(shù)及其應用 (6年3考)
例2 小明家與小華家住在同一棟樓，他倆對所住樓對面商業(yè)大廈的高MN進行了測量.(結果均保留整數(shù))
(1)如圖①，小明與小華在樓下點A處測得點A到M的距離為50 m，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為58°，試求商業(yè)大廈的高MN；
(參考數(shù)據(jù)：sin 58°≈0.85，cs 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
例2題圖①
(2)現(xiàn)在商場樓下停了一輛車，沒辦法直接測量出AM的長度，小華想了其他辦法也可以測量.
①如圖②，小明與小華在樓頂?shù)腂處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°，測得商業(yè)大廈底部M的俯角為60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝56 m，試求商業(yè)大廈的高MN；
(參考數(shù)據(jù)sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)
例2題圖②
②如圖③，小華站在點A處測得塔尖商業(yè)大廈頂部N的仰角為45°，向前走了35 m到達點B處測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為61°，已知小華眼睛到地面的高度AC(BD)為1.6 m，點A，B，M在同一水平線上，MN⊥AB，試求商業(yè)大廈的高MN；
(參考數(shù)據(jù)：sin 61°≈0.87，cs 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)
例2題圖③
(3)如圖④，大廈樓頂上有一信號塔EF(F，E，H三點共線)，小明和小華想測得塔尖F到地面的高度，小明在樓頂?shù)腂處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°，小華在大廈樓頂G處測得信號塔頂部F的仰角為60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，EF⊥NE，AB＝56 m，AM＝50 m，GE＝10 m，試求塔尖F到地面的高度.(結果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)
例2題圖④
真題及變式
命題點 銳角三角函數(shù)及其應用 (6年9考)
模型分析
1. (2022廣東11題3分)sin 30°＝ .
2. (2019廣東15題4分·人教九下例題改編)如圖，某校教學樓AC與實驗樓BD的水平間距CD＝153米，在實驗樓頂部B點測得教學樓頂部A點的仰角是30°，底部C點的俯角是45°，則教學樓AC的高度是 米(結果保留根號).
第2題圖
3. (2023廣東18題7分)2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài).當兩臂AC＝BC＝10 m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離.(結果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)sin 50°≈0.766，cs 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
第3題圖
4. (2024廣東18題7分)中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個停車位.經(jīng)測量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.
根據(jù)以上信息回答下列問題：(結果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73)
(1)求PQ的長；
(2)該充電站有20個停車位，求PN的長.
第4題圖
拓展訓練
5. (2024中山一模)中國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，其由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內全天候、全天時為各類用戶提供高精度、高可靠定位、導航、授時服務.如圖，小敏一家準備自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西45°方向行駛10千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區(qū)C，小敏發(fā)現(xiàn)風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向.
(1)求∠C的度數(shù)；
(2)求B，C兩地的距離.(如果運算結果有根號，請保留根號)
第5題圖
新考法
6. [項目式學習](2024蘭州)單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置.某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下.
解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長.(結果精確到0.1 cm)
參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cs 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
考點精講
①bc ②ab ③22 ④32 ⑤12 ⑥33 ⑦3
教材改編題練考點
1. 255
2. 23＋1
3. (1)32，12；(2)45
4. ∠BPC
高頻考點
例1 C 【解析】如解圖，連接格點BD，CD.在Rt△ABD中，tan A＝BDAD＝43.
例1題解圖
變式1 12 【解析】根據(jù)題意，易知AB＝CD.設AB＝2，則CD＝BD＝2，∵∠ABD＝45°＋45°＝90°，∠BDC＝90°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.如解圖，設AC，BD交于點O，∴BO＝12BD＝1，∴tan∠CAB＝BOAB＝12.
變式1解圖
例2 解：(1)∵MN⊥AM，
∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝MNAM，∠MAN＝58°，AM＝50，
∴MN＝AM·tan 58°≈50×1.60＝80，
答：商業(yè)大廈的高MN約為80 m；
(2)①如解圖①，過點B作BC⊥MN于點C，
∴四邊形ABCM是矩形，
∴BA＝CM＝56，
在Rt△BCM中，tan∠MBC＝CMBC＝3≈1.73，
∴BC＝CMtan60°≈32.4，
在Rt△BCN中，tan∠NBC＝NCBC，
∴NC＝BC·tan 37°≈32.4×0.75＝24.3，
∴MN＝CM＋NC＝56＋24.3＝80.3≈80，
答：商業(yè)大廈的高MN約為80 m；
例題解圖①
②如解圖②，連接CD并延長交MN于點E，
由題意可知，四邊形ABDC，BMED均為矩形，
AC＝BD＝ME＝1.6，CD＝AB＝35，
設EN＝x，
∵在Rt△CEN中，∠ECN＝45°，
∴EN＝CE＝x，
∴DE＝CE－CD＝x－35，
∵在Rt△DNE中，∠NDE＝61°，
∴tan∠NDE＝ENDE＝xx－35≈1.80，
解得x≈78.8，∴EN≈78.8，
∴MN＝EN＋ME≈78.8＋1.6＝80.4≈80，
答：商業(yè)大廈的高MN約為80 m；
例題解圖②
(3)如解圖③，過點B作BC⊥EH于點C，交MN于點D，F(xiàn)H即為F到地面的高度.
易得DN＝CE，AB＝DM＝CH＝56，
由題意得BD＝AM＝50，∠NBD＝37°，GE＝10，
在Rt△BDN中，DN＝BD·tan 37°≈37.5，
在Rt△EFG中，EF＝GE·tan 60°≈17.3，
∴FH＝EF＋CE＋CH＝EF＋DN＋AB≈17.3＋37.5＋56＝110.8≈111，
答：塔尖F到地面的高度約為111 m.
例題解圖③
真題及變式
1. 12
2. (15＋153) 【解析】如解圖，設過點B的水平線與AC交于點E，易得四邊形BDCE為矩形，則BE＝CD＝153，∵∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝153，在Rt△ABE中，AE＝BE·tan 30°＝153×33＝15，∴AC＝AE＋EC＝(15＋153)米.
第2題解圖
3. 解：如解圖，連接AB，過點C作CD⊥AB于點D，
∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝12∠ACB＝12×100°＝50°，(3分)
∴AD＝AC·sin 50°≈10×0.766＝7.66(m)，
∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3(m)，
答：A，B兩點間的距離約為15.3 m.(7分)
第3題解圖
4. 解：(1)由題意，得∠Q＝90°，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴在Rt△ABQ中，∠BAQ＝30°，BQ＝5.4×cs 60°＝2.7 m，
AQ＝5.4×sin 60°＝27310 m，(1分)
∵四邊形ABCD為矩形，CE＝1.6 m，
∴∠ABC＝90°，∠CBE＝180°－∠ABC－∠ABQ＝30°，
在Rt△CBE中，BC＝CEtan30°＝835 m，BE＝CEsin30°＝3.2 m，
∴BC＝AD＝835 m，
同理可得，在Rt△PAD中，∠PAD＝60°，
∴PA＝AD·cs 60°＝835×cs 60°＝435 m，(3分)
∴PQ＝PA＋AQ＝435＋27310＝732≈6.1 m，
答：PQ的長約為6.1 m；(4分)
(2)∵充電站有20個停車位，
∴QM＝QB＋20BE，
由(1)得，QB＝2.7 m，BE＝3.2 m，
∴QM＝2.7＋3.2×20＝66.7 m，
∵四邊形PQMN為矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m，
答：PN的長為66.7 m.(7分)
5. 解：(1)如解圖，由題意，得∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，
∴∠C的度數(shù)為45°；
第5題解圖
(2)如解圖，過點B作BG⊥AC，垂足為G，
在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAC＝60°，
∴BG＝AB·sin 60°＝10×32＝53(千米)，
在Rt△BGC中，∠C＝45°，
∴BC＝BGsin45°＝5322＝56(千米)，
∴B，C兩地的距離為56千米.
6. 解：∵在Rt△OBD中，tan∠BOD＝BDOD，
∴OD＝BDtan∠BOA≈＝10.
∵在Rt△OBD中，sin∠BOD＝BDOB，
∴OB＝BDsin∠BOA≈20.50.9≈22.78.
∴OC＝OB＝22.78.
∵在Rt△OCE中，cs∠COE＝OEOC，
∴OE＝OC·cs∠COE≈22.78×0.8＝18.224.
∴ED＝OE－OD＝18.224－10＝8.224≈8.2.
答：ED的長大約是8.2 cm.
示意圖
α
30°
45°
60°
sin α
12
③
32
cs α
④
22
⑤
tan α
⑥
1
⑦
模型
模型分析
模型
模型分析
背對背型
基礎模型
AB＝AD＋BD
母子型
基礎模型
AD＝AC－CD
模型演變
AB＝AD＋CE＋BF
模型演變
FG＝AD＋DC，BG＝BC＋AF
實驗主題
探究擺球運動過程中高度的變化
實驗用具
擺球，擺線，支架，攝像機等
實驗說明
如圖①，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動.(擺線的長度變化忽略不計)
如圖②，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；當擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA.(點O，A，B，C，D，E在同一平面內)
實驗圖示
第6題圖

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