考點(diǎn)梳理
1. 實(shí)數(shù)的分類(2023.1)
(1)按定義分有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)有限小數(shù)無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
(2)按大小分：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)(既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)是① ；非負(fù)數(shù)包括② )
(3)正負(fù)數(shù)的意義
用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示一對(duì)具有相反意義的量，如規(guī)定“盈(＋)”則“虧(－)”，“上升(＋)”則“下降(－)”等
2. 實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(6年5考)
3. 科學(xué)記數(shù)法(6年4考)
(1)定義：一般地，一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法
(2)表示方法
①當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值≥10時(shí)，n為正整數(shù)，它等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；
②當(dāng)0＜原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，｜n｜等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)(含小數(shù)點(diǎn)前面的零)
4. 近似數(shù)
定義：將一個(gè)數(shù)四舍五入后得到的數(shù)；一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位
5. 平方根、算術(shù)平方根與立方根
6. 實(shí)數(shù)的大小比較(6年2考)
(1)數(shù)軸比較法：數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大
(2)類別比較法：正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小
(3)差值比較法：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b
(4)平方比較法：a＞b?a2＞b(b≥0)
7. 實(shí)數(shù)的運(yùn)算(6年4考)
(1)零次冪：a0＝1(a≠0)
(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a－p＝1ap(口訣：倒底數(shù)，反指數(shù))
(3)去絕對(duì)值符號(hào)：｜a－b｜＝a－b(a＞b)0(a＝b)b－a(a＜b)
(4)－1的奇偶次冪：(－1)n＝1(n為偶數(shù)),如(?1)2 024=1－1(n為奇數(shù)),如(?1)2 023＝－1
(5)乘方：an＝a·a·…·an個(gè)a
練考點(diǎn)
1. 下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是( )
A. －23 B. 0 C. 12 D. 1
2. 下列是無(wú)理數(shù)的是( )
A.16 B. 0.33
C. －1 D. π2
3. 若零上6 ℃記作＋6 ℃，那么零下4 ℃記作 .
4. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是 .
第4題圖
5. 填空：
－5的相反數(shù)是 ，絕對(duì)值是 ，倒數(shù)是 .
6. 將下列數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示：
(1)85 000 000＝ ；
(2)0.000 004＝ ；
(3)396萬(wàn)＝ .
7. 將數(shù)據(jù)566.632精確到個(gè)位得到近似數(shù)是 .
8. 64的平方根為 ；算術(shù)平方根為 ；立方根為 .
9. 在2，－52，0，－3，6這組數(shù)中，最小的數(shù)是 ；最大的數(shù)是 ；比0小的數(shù)是 .
10. 計(jì)算：
(1)(－2)2＝ ，
－22＝ ；
(2)(－1)2025＝ ；
(3)(－3.14)0＝ ；
(4)(3)－1＝ ，(13)－2＝ ；
(5)｜1－3｜＝ .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 實(shí)數(shù)的分類(6年2考)
例1 (人教七上習(xí)題改編)在實(shí)數(shù)－16，0.04，12，－23，0，2，cs 30°，27中.
(1)正數(shù)有 ；
(2)負(fù)數(shù)有 ；
(3)無(wú)理數(shù)有 ；
(4)既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的是 .
例2 (2024佛山模擬)《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).如果＋40 m表示向東走40 m，那么－100 m表示( )
A. 向東走60 m B. 向西走60 m
C. 向東走100 m D. 向西走100 m
考點(diǎn)2 實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(6年5考)
例3 (人教七上習(xí)題改編)如圖，數(shù)軸上有A，B，C三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)依次寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)是 ；
(2)點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是 ；
(3)點(diǎn)C表示的數(shù)的絕對(duì)值是 .
例3題圖
變式1 (2024佛山南海區(qū)一模)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)與－13互為倒數(shù)的是( )
變式1題圖
A B. B
C. C D. D
考點(diǎn)3 科學(xué)記數(shù)法(6年4考)
例4 (2024珠海一模)著名的數(shù)學(xué)家蘇步青被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”.為紀(jì)念其卓越貢獻(xiàn)，國(guó)際上將一顆距地球約218 000 000公里的行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 0.218×109 B. 2.18×108 C. 2.18×109 D. 218×106
變式2 (北師七上習(xí)題改編)2025年某市計(jì)劃重點(diǎn)工程建設(shè)項(xiàng)目投資總額為整數(shù)262 310…0元，用科學(xué)記數(shù)法表示為2.623 1×109，則原數(shù)中0的個(gè)數(shù)為( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
變式3 (2024佛山禪城區(qū)三模)佛山“?；~(yú)塘”文化精髓是蠶桑生產(chǎn)歷史的見(jiàn)證.產(chǎn)自佛山的蠶絲以其柔韌綿長(zhǎng)的特性在紡織領(lǐng)域享有盛譽(yù).某種蠶絲的直徑大約是0.000 014米，0.000 014用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A. 0.14×10－4 B. 1.4×10－4 C. 1.4×10－5 D. 14×10－4
考點(diǎn)4 平方根、算術(shù)平方根與立方根
例5 (人教七下習(xí)題改編)下列說(shuō)法正確的是( )
A. 16＝±4 B. 0.01的平方根是0.1
C. 1的立方根是1 D. 4的平方根是2
易錯(cuò)警示
①正數(shù)的平方根有兩個(gè)，易漏掉“±”；②算術(shù)平方根只有一個(gè)；③立方根與原數(shù)的正負(fù)性一致.
變式4 (北師八上復(fù)習(xí)題改編)一個(gè)正數(shù)的平方根分別是x＋1和x－5，則x＝ .
考點(diǎn)5 實(shí)數(shù)的大小比較(6年2考)
例6 (人教七上習(xí)題改編)實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則這四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是( )
A. a B. b C. c D. d
例6題圖
變式5 (2024煙臺(tái))實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是( )
變式5題圖
A. b＋c＞3 B. a－c＜0 C. ｜a｜＞｜c(diǎn)｜ D. －2a＜－2b
考點(diǎn)6 實(shí)數(shù)的運(yùn)算(6年4考)
例7 (人教七上復(fù)習(xí)題改編)計(jì)算：
(1)(－1)×(－6)＋16÷(7－5)； (2)｜2－2｜－3－64；
－12＋3－27－2×9； (4)｜π－3｜＋2sin 30°－(5－2)0.
方法解讀
實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的一般順序
(1)將包含的每個(gè)小項(xiàng)的值計(jì)算出來(lái)；
(2)先算乘方(開(kāi)方)，再算乘除，最后算加減；有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算；
(3)同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行.
真題及變式
命題點(diǎn)1 實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(6年5考)
1. (2023廣東1題3分)負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如果把收入5元記作＋5元，那么支出5元記作( )
A. －5元 B. 0元 C. ＋5元 D. ＋10元
2. (2022廣東1題3分)｜－2｜＝( )
A. －2 B. 2 C. －12 D. 12
3. (2020廣東1題3分)9的相反數(shù)是( )
A. －9 B. 9 C. 19 D. －19
命題點(diǎn)2 科學(xué)記數(shù)法(6年4考)
4. (2024廣東3題3分)2024年6月6日，嫦娥六號(hào)在距離地球約384 000千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會(huì)對(duì)接.數(shù)據(jù)384 000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 3.84×104 B. 3.84×105 C. 3.84×106 D. 38.4×105
拓展訓(xùn)練
5. 根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2023年全國(guó)糧食總產(chǎn)量達(dá)到139 08.2億斤.數(shù)據(jù)139 08.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 13.908 2×1011 B. 1.390 82×1012 C. 1.390 82×1013 D. 0.139 082×1013
命題點(diǎn)3 實(shí)數(shù)的大小比較(6年2考)
6. (2021廣東1題3分)下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是( )
A. π B. 2 C. ｜－2｜ D. 3
7. (2019廣東7題3分)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是( )
A. a＞b
B. ｜a｜＜｜b｜
C. a＋b＞0
D. ab＜0
第7題圖
命題點(diǎn)4 實(shí)數(shù)的運(yùn)算(6年4考)
8. (2024廣東1題3分)計(jì)算－5＋3的結(jié)果是( )
A. －2 B. －8 C. 2 D. 8
9. (2022廣東2題3分)計(jì)算22的結(jié)果是( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
10. (2019廣東11題4分)計(jì)算：2 0190＋(13)－1＝ .
11. (2024廣東16題7分)計(jì)算：20×｜－13｜＋4－3－1.
新考法
12. 如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是( )
第12題圖
13. 如圖，若數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別與實(shí)數(shù)－1，1對(duì)應(yīng)，用圓規(guī)在數(shù)軸上畫(huà)點(diǎn)C，則與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是( )
第13題圖
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)注》中用不同顏色的算籌(小棍形狀的記數(shù)工具)分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)(紅色為正，黑色為負(fù)).如圖①表示的是(＋2)＋(－2)＝0，根據(jù)這種表示法，可推算出圖②所表示的數(shù)值為( )
第14題圖
A. 9 B. －9 C. 3 D. －3
考點(diǎn)精講
①0 ②正數(shù)和0 ③實(shí)數(shù) ④－a ⑤距離 ⑥大
⑦－a ⑧0 ⑨1a ⑩－1和1 ?1 ?±a ?a ?3a
練考點(diǎn)
1. A
2. D
3. －4 ℃
4. －1
5. 5；5；－15
6. (1)8.5×107；(2)4×10－6；(3)3.96×106
7. 567
8. ±8；8；4
9. －3；6；－52，－3
10. (1)4，－4；(2)－1；(3)1；(4)13，9；(5)3－1
高頻考點(diǎn)
例1 (1)0.04，12，2，cs 30°，27；(2)－16，－23；(3)2，cs 30°；(4)0
例2 D
例3 (1)2，－2，－3；(2)－2；(3)3
變式1 A 【解析】∵－13的倒數(shù)是－3，∴表示的數(shù)與－13互為倒數(shù)的是點(diǎn)A.
例4 B
變式2 C 【解析】2.6231×109＝2 623 100 000，即原數(shù)中0的個(gè)數(shù)為5.
變式3 C
例5 C
變式4 2 【解析】∵一個(gè)正數(shù)的平方根分別是x＋1和x－5，∴(x＋1)＋(x－5)＝0，解得x＝2.
例6 D
變式5 B 【解析】由題圖，得－3＜a＜－2，－2＜b＜－1，3＜c＜4，∴｜c(diǎn)｜＞｜a｜＞｜b｜，故C選項(xiàng)不符合題意；∵－2＋3＜b＋c＜－1＋4，∴b＋c＜3，故A選項(xiàng)不符合題意；∵a＜c，∴a－c＜0，故B選項(xiàng)符合題意；∵a＜b，∴－2a＞－2b，故D選項(xiàng)不符合題意.
例7 解：(1)原式＝6＋4÷2
＝8；
(2)原式＝2－2－(－4)
＝6－2；
(3)原式＝－1＋(－3)－2×3
＝－10；
(4)原式＝π－3＋2×12－1
＝π－3.
真題及變式
1. A 2. B 3. A 4. B 5. D
6. A 【解析】將四個(gè)實(shí)數(shù)按照從大到小的順序排列為π＞3＞｜－2｜＞2，∴最大的數(shù)是π.
7. D 【解析】由數(shù)軸可知，－2＜a＜－1，0＜b＜1，從而可判斷A，B，C錯(cuò)誤，D正確.
8. A 9. D
10. 4 【解析】原式＝1＋3＝4.
11. 解：原式＝1×13＋2－13
＝2.
12. A 【解析】∵－4＜－2＜－1＜0＜1，∴選項(xiàng)A的折線統(tǒng)計(jì)圖符合題意.
13. B 【解析】∵數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別與實(shí)數(shù)－1，1對(duì)應(yīng)，∴AB＝｜1－(－1)｜＝2，∴BC＝AB＝2，∴與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是1＋2＝3.
14. D 【解析】由題意，可知圖②表示的是(＋3)＋(－6)＝－3.表示方法及三要素：
數(shù)軸
性質(zhì)： ③ 與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的
絕對(duì)值
｜a｜＝a(a>0)0(a=0)④ (a

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