構(gòu)建知識(shí)體系
考點(diǎn)梳理
1. 分式的基本概念
(1)概念：一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A÷B可以表示成AB的形式.如果B中含有字母，那么稱AB為分式，其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母.對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零
(2)最簡分式的概念：①
(3)分式AB有意義的條件：②
(4)分式AB的值為0的條件：③
2. 分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值④ ；
即AB＝A·CB·C 通分(C≠0)，AB＝A÷CB÷C 約分(C≠0)，其中A，B，C是整式
3. 分式的運(yùn)算(6年4考)
(1)加減運(yùn)算
①同分母：分母不變，把分子相加減，即ba±ca＝⑤ ；
②異分母：先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算，即ba±dc＝⑥ ⑦ (關(guān)鍵是通分)；
③通分的關(guān)鍵是找最簡公分母：分母中能分解因式的先分解因式；取各分母所有因式的最高次冪的積(數(shù)字因式取它們的最小公倍數(shù))作為公分母
(2)乘除運(yùn)算
①乘法：ba·dc＝⑧ (關(guān)鍵是約分)；
(5)(x－1)÷(x－2x－1x)＝ .
②除法：ba÷dc＝⑨ ⑩ ；
③約分的關(guān)鍵是找公因式：分子、分母中能分解因式的，先分解因式；取分子、分母中的相同因式的最低次冪(數(shù)字因式取它們的最大公約數(shù))作為公因式
(3)乘方運(yùn)算：把分子、分母分別乘方，即(ab)n＝anbn
練考點(diǎn)
1. 下列分式中，是最簡分式的是( )
A. 3xy2x2 B. x－1x+1
C. x2＋xx2－1 D. x－1x2－2x+1
2. 已知分式x+1x－1.
(1)要使該分式有意義，則x的取值范圍為 ；
(2)要使該分式的值為0，則x的值為 .
3. 下列分式變形從左到右一定成立的是( )
A. 2xy＝xyy2 B. xy＝x2y2
C. －x－y＝－xy D. 2x3y＝6x9y
4. 計(jì)算：
(1)3a＋2a＝ ；
(2)1＋2x－1＝ ；
(3)x2－x＋2x－2＝ ；
(4)1x2－x·x－1x＝ ；
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 分式的概念及性質(zhì)
例1 (人教八上習(xí)題改編)若分式a2－1a－1的值為0，則a的值為( )
A. ±1 B. 0 C. －1 D. 1
變式1 (人教八上習(xí)題改編)若將分式x＋yxy中的x，y同時(shí)擴(kuò)大為原來的10倍，則該分式的值( )
A. 縮小為原來的110 B. 擴(kuò)大為原來的10倍
C. 縮小為原來的1100 D. 不變
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算(6年4考)
例2 (北師八下習(xí)題改編)先化簡：(x－1x－2－x+2x)÷4－xx2－4x+4，再從－1，0，2，4四個(gè)數(shù)中，選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值.
【答題模板】
解：原式＝① ÷4－xx2－4x+4(通分，通分的依據(jù)是② )
＝4－xx(x－2)÷③ (因式分解)
＝4－xx(x－2)·④ (除法變乘法)
＝⑤ ，(約分)
要使分式有意義，則x≠0，x－2≠0，⑥ ≠0，即不能選擇0，2，4，
∴當(dāng)x＝－1時(shí)，代入⑦ 中，得原式＝⑧ .
易錯(cuò)警示
(1)一定要“先”化簡為最簡分式或整式，“再”代入求值；
(2)通分時(shí)，不含分母的項(xiàng)也要乘以最簡公分母；
(3)分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用；
(4)代入的數(shù)值需使原分式及化簡過程中的分式分母不為0.
變式2 (2024北京)已知a－b－1＝0，求代數(shù)式3(a－2b)+3ba2－2ab＋b2的值.
變式3 (2024中山二模)先化簡x2－2x+1x2－1÷(x－1x+1－x＋1)然后從－3＜x≤1中選取一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值.
真題及變式
命題點(diǎn) 分式化簡及求值(6年4考)
1. (2024廣東14題3分)計(jì)算：aa－3－3a－3＝ .
2. (2022廣東17題8分)先化簡，再求值：a＋a2－1a－1，其中a＝5.
3. (2019廣東18題6分)先化簡，再求值：(xx－2－1x－2)÷x2－xx2－4，其中x＝2.
新考法
4. [綜合與實(shí)踐](2023鹽城改編)
【主題】應(yīng)用分式的大小比較
【問題提出】課堂上，老師提出了下面的問題：
已知3a＞b＞0，M＝ab，N＝a+1b+3，試比較M與N的大小.
【類比思考】
整式的大小比較可采用“作差法”.
比如：比較x2＋1與2x－1的大小.
∵(x2＋1)－(2x－1)＝x2＋1－2x＋1＝(x－1)2＋1＞0，
∴x2＋1＞2x－1.
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
【實(shí)踐探索】
(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問題；
(2)比較大小：2368 2265(填“＞”“＝”或“＜”).
考點(diǎn)精講
①分子和分母沒有公因式的分式 ②B≠0
③A＝0且B≠0 ④不變 ⑤b±ca ⑥bcac±adac
⑦bc±adac ⑧bdac ⑨ba·cd ⑩bcad
練考點(diǎn)
1. B
2. (1)x≠1；(2)－1
3. D
4. (1)5a；(2)x+1x－1；(3)－1；(4)1x2；(5)xx－1
高頻考點(diǎn)
例1 C 【解析】∵分式a2－1a－1的值為0，∴a2－1＝0且a－1≠0，解得a＝－1.
變式1 A 【解析】根據(jù)題意，得10x+10y10x×10y＝110·x＋yxy，∴如果把分式x＋yxy中的x和y同時(shí)擴(kuò)大為原來的10倍，該分式的值縮小為原來的110.
例2 解：①[x(x－1)x(x－2)－(x+2)(x－2)x(x－2)]；②分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變；③4－x(x－2)2；④(x－2)24－x；⑤x－2x；⑥4－x；⑦x－2x；⑧3
變式2 解：原式＝3a－6b+3b(a－b)2
＝3a－3b(a－b)2
＝3(a－b)(a－b)2
＝3a－b，
∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，
∴原式＝3.
變式3 解：原式＝(x－1)2(x+1)(x－1)÷(x－1x+1－x2－1x+1)
＝x－1x+1÷－x2＋xx+1
＝x－1x+1·x+1－x(x－1)
＝－1x，
∵(x＋1)(x－1)≠0且x(x－1)≠0，∴x≠±1且x≠0，
∵－3＜x≤1，∴取x＝－2，
∴原式＝12.
真題及變式
1. 1 【解析】原式＝a－3a－3＝1.
2. 解：原式＝a＋(a+1)(a－1)a－1(3分)
＝a＋a＋1
＝2a＋1，(6分)
當(dāng)a＝5時(shí)，原式＝2×5＋1＝11.(8分)
3. 解：原式＝x－1x－2÷x(x－1)(x+2)(x－2)
＝x－1x－2·(x+2)(x－2)x(x－1)
＝x+2x，(4分)
當(dāng)x＝2時(shí)，
原式＝2+22＝2×(2+2)2＝1＋2.(6分)
4. 解：(1)M－N＝ab－a+1b+3
＝a(b+3)b(b+3)－b(a+1)b(b+3)
＝ab+3a－ab－bb(b+3)
＝3a－bb(b+3)，
∵3a＞b＞0，
∴3a－b＞0，b(b＋3)＞0，
∴3a－bb(b+3)＞0，
∴M＞N；
(2)＜ 【解法提示】2368－2265＝23×65－22×6868×65＝－168×65＜0，∴2368＜2265.

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