考點梳理
1. 菱形的性質(zhì)與判定(6年3考)
(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(2)菱形的性質(zhì)
(3)菱形的判定
2. 菱形面積
面積計算公式：S＝ah＝mn2(a表示一條邊長，h表示此邊上的高，m，n表示對角線的長).
練考點
1. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，E為BC的中點，連接OE，已知OE＝1.
第1題圖
(1)∠ABD＝ °，∠BAD＝ °；
(2)菱形ABCD的周長為 ；
(3)△BOE的形狀為 ；
(4)AC＝ ，BD＝ ；
(5)菱形ABCD的面積為 .
2. 如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且互相平分，添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是( )
第2題圖
A. BC＝CD
B. AB＝AC
C. AC⊥BD
D. ∠ABD＝∠CBD
高頻考點
考點1 與菱形有關(guān)的證明及計算 (6年3考)
例 如圖①，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC邊上的點，EF與BD相交于點O，且EF⊥BD，連接BE，DF，BE＝DF.
例題圖①
(1)求證：四邊形BEDF為菱形；
(2)核心設(shè)問 若∠ABE＝30°，且四邊形BEDF的面積為43，求四邊形BEDF的周長；[2022廣東13題考查]
(3)若∠ADB＝30°，EF＝2，求AD的長；
(4)若AD＝6，AB＝4，求DFDB的值.
(5)如圖②，連接OC，若AB＝4，BF＝5，求tan ∠OCB的值.
例題圖②
真題及變式
命題點 與菱形性質(zhì)有關(guān)的計算 (6年3考)
1. (2022廣東13題3分)菱形的邊長為5，則它的周長為 .
2. (2024廣東15題3分)如圖，菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為 .
第2題圖
2.1 變圖形——將菱形背景變?yōu)榫匦?br>如圖，矩形ABCD的面積為36，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CD的中點，H為AD上任一點，則圖中陰影部分的面積為 .
變式2.1題圖
3. (2017廣東21題7分)如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD為銳角.
第3題圖
(1)求證：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度數(shù).
拓展訓(xùn)練
4. (2024遼寧)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形AOBC的頂點A在x軸負半軸上，頂點B在直線y＝34x上，若點B的橫坐標是8，則點C的坐標為( )
第4題圖
A. (－1，6)
B. (－2，6)
C. (－3，6)
D. (－4，6)
新考法
5. [注重過程性](2024重慶A卷)
在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
(1)如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點.用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE(不寫作法，保留作圖痕跡)；
(2)已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點O，且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴ ① ，∠FCO＝∠EAO.
∵點O是AC的中點，
∴ ② .
∴△CFO≌△AEO (AAS).
∴ ③ .
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形.
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論： ④ .
第5題圖
考點精講
①相等 ②相等 ③垂直平分 ④平分 ⑤2 ⑥鄰邊相等 ⑦四條邊
教材改編題練考點
1. (1)30，120 (2)8 (3)等腰三角形 (4)2，23 (5)23
2. B
高頻考點
例 (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE＝DF，AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴AE＝CF.
∵AD＝BC，
∴DE＝BF.
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
又∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF為菱形；
(2)解：∵∠ABE＝30°，
∴∠EBF＝60°.
由(1)知四邊形BEDF是菱形，
∴BE＝BF，∠EBO＝30°，
∴△BEF為等邊三角形，OB＝3OE，即BD＝3EF，
∴BE＝EF，
∵S四邊形BEDF＝43，
∴12BD·EF＝12×3EF2＝43，
解得EF＝22(負值已舍去)，
∴BE＝BF＝DE＝DF＝EF＝22，
∴四邊形BEDF的周長＝BE＋BF＋DE＋DF＝82；
(3)解：∵四邊形BEDF是菱形，
∴DE＝DF.
∵BD⊥EF，∠ADB＝30°，
∴∠EDF＝2∠ADB＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE＝DF＝EF＝BF＝2.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴在Rt△CDF中，CF＝12DF＝1，
∴AD＝BC＝BF＋CF＝2＋1＝3；
(4)解：∵四邊形BEDF是菱形，
∴BF＝DF.
∵AD＝BC＝6，
設(shè)CF＝x，則DF＝BF＝BC－CF＝6－x.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD2＋CF2＝DF2，
即42＋x2＝(6－x)2，
解得x＝53，
∴CF的長為53，
∴DF＝6－CF＝133.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得DB＝BC2＋CD2＝213，
∴DFDB＝133213＝136；
(5)解：∵四邊形BEDF為菱形，
∴BF＝DF＝5，BO＝DO，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴在Rt△BCD中，O為BD中點，
∴OC＝12BD＝BO，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵CD＝AB＝4，
∴CF＝DF2－CD2＝3，
∴BC＝3＋5＝8，
∴tan∠OCB＝tan∠OBC＝CDBC＝48＝12.
真題及變式
1. 20 【解析】∵菱形的四條邊都相等，且邊長為5，∴菱形的周長為20.
2. 10 【解析】如解圖①，連接BD，∵E是AB的中點，∴S△AED＝12S△ABD＝14S菱形ABCD＝6，連接EC，同理可得S△BEC＝S△AED＝6，∵S△BEF＝4，∴S△BEF＝23S△BEC，∴FC＝13BC，∴S△DFC＝13S△BCD＝16S菱形ABCD＝4，∴S陰影＝S菱形ABCD－S△AED－S△BEF－S△DFC＝24－6－4－4＝10.
第2題解圖①
一題多解法
如解圖②，延長DE，CB交于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BG，∴∠GBE＝∠DAE，∵E是AB中點，∴BE＝AE，∵∠GEB＝∠DEA，∴△AED≌△BEG(ASA)，∴GE＝DE，∴E為DG中點，∴S△DEF＝S△FGE＝S△BEF＋S△BEG＝4＋S△AED＝4＋24×14＝10.
第2題解圖②
變式2.1 18 【解析】如解圖，連接CH，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝a，AB＝b，則AE＝12b＝GC，BF＝12a，∴S陰影＝S長方形ABCD－S△AEH－S△HFC－S△HCG＝36－12AE·AH－12FC·AB－12HD·CG＝36－12AD·AE－12FC·AB＝36－12ab＝18.
變式2.1題解圖
3. (1)證明：∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝AD＝AF，
∴△ABF是等腰三角形，
又∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF；(3分)
(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
由(1)知AB＝AD＝AF，
又∵BF＝BC，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠BAF＝60°，(5分)
∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°.(7分)
4. B 【解析】∵菱形AOBC的頂點B在直線y＝34x上，且點B的橫坐標為8，∴當x＝8時，解得y＝6，∴點B的坐標為(8，6)，由勾股定理得OB＝10，∵四邊形AOBC為菱形，∴OA∥BC，BC＝OB＝10，∵點A在x軸負半軸上，∴點C的坐標為(－2，6)，故選項B正確.
5. 解：(1)作圖如解圖；(畫法不唯一)
(2)①∠CFO＝∠AEO
②OC＝OA
③OF＝OE
④過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形
第5題解圖邊
對邊平行，四條邊①
角
對角②
對角線
對角線互相③ ，并且每一條對角線④ 一組對角(人教獨有)
對稱性
既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有⑤ 條對稱軸，對稱軸為兩條對角線所在的直線，對稱中心是兩條對角線的交點
邊
①有一組⑥ 的平行四邊形是菱形(定義)；
②⑦ 相等的四邊形是菱形
對角線
對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

相關(guān)學(xué)案

25 矩形-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義：

這是一份25 矩形-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義，共10頁。

33 視圖與投影-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義：

這是一份33 視圖與投影-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義，共9頁。

32 尺規(guī)作圖-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義：

這是一份32 尺規(guī)作圖-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義，共13頁。學(xué)案主要包含了作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作已知角的角平分線，作線段的垂直平分線，過一點作已知直線的垂線等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

36 統(tǒng)計-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義

36 統(tǒng)計-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義
37 概率-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義

37 概率-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義
40 尺規(guī)作圖-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義

40 尺規(guī)作圖-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義
41 綜合與實踐-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義

41 綜合與實踐-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部