（1）尺規(guī)作圖：在AC上確定一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到CB，AB的距離相等（要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，若AC＝6，AB＝10，求△ADE的周長(zhǎng).
第1題圖
2. 如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AC.
（1）實(shí)踐與操作：作BF∥AE交AC于點(diǎn)F；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，若AE＝3，BE＝3，∠BFC＝∠ABE，求BC的長(zhǎng).
第2題圖
3. （2024廣東黑白卷）如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的高.
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)，以CD為邊在CD下方作等邊△CDE，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)M；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，證明CE＝BM.
第3題圖
4. （2024廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°.
（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD，求證：四邊形ABCD是矩形.
第4題圖
5. 如圖，△ABC為等腰三角形.
（1）實(shí)踐與操作：求作菱形AEDF，使得∠A為菱形的一個(gè)內(nèi)角，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF的面積.
第5題圖
6. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.
（1）實(shí)踐與操作：在邊AC上取點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑作☉O，使得☉O與AB相切；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，若AO＝BC，求OCOA的值.
第6題圖
7. （2024香洲區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°＋∠A，以AB為直徑的☉O交AC于D.
（1）實(shí)踐與操作：過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，交AC于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，當(dāng)BE＝OA，BC＝10時(shí)，求DE的長(zhǎng)度.
第7題圖
8. （2024佛山一模）綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用尺規(guī)作圖法探究在菱形內(nèi)部作一點(diǎn)到該菱形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
【動(dòng)手操作】如圖，已知菱形ABCD，求作點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到三個(gè)頂點(diǎn)A，D，C的距離相等.小紅同學(xué)設(shè)計(jì)如下作圖步驟；
①連接BD；
②分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于12AD的長(zhǎng)為半徑分別在AD的上方與下方作弧；AD上方兩弧交于點(diǎn)M，下方兩弧交于點(diǎn)N，作直線MN交BD于點(diǎn)E；
③連接AE，EC，則EA＝ED＝EC.
（1）根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖步驟，在圖中完成作圖過(guò)程.（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）.
【證明結(jié)論】
（2）證明：EA＝ED＝EC.
【拓展延伸】
（3）當(dāng)∠ABC＝72°時(shí)，求△EBC與△EAD的面積比.
1. 解：(1)如解圖，點(diǎn)D即為所求；
第1題解圖
(2)如解圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠C＝90°＝∠BED，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED(AAS)，
∴CD＝DE，BC＝BE，
∴EA＝BA－BE＝BA－CB＝2，
∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝6＋2＝8.
2. 解：(1)如解圖①或解圖②，點(diǎn)F即為所求；(作法不唯一)
第2題解圖
(2)∵BF∥AE，
∴∠BFC＝∠EAC，
∵∠BFC＝∠ABE，
∴∠EAC＝∠ABE，
∵∠AEC＝∠AEB，
∴△ABE∽△CAE，
∴BEAE＝AECE，∴33＝3CE，
解得CE＝33，
∴BC＝CE－BE＝23.
3. (1)解：如解圖①，△CDE即為所求作的三角形；(答案不唯一)
一題多解法
如解圖②，△CDE即為所求作的三角形.
第3題解圖
(2)證明：∵△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的高，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BD＝CD，
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠ECD＝60°，∴∠B＝∠ECD，
∵∠MDB＝∠EDC，
∴△BMD≌△CED(ASA)，
∴CE＝BM.
4. (1)解：如解圖①，線段BO即為所求；
第4題解圖①
(2)證明：如解圖②，由題可得AO＝CO，由旋轉(zhuǎn)可得BO＝DO，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD為矩形.
第4題解圖②
5. 解：(1)如解圖，菱形AEDF即為所求(作法不唯一，合理即可)；
第5題解圖
(2)如解圖，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)O，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝12BC＝4.
在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝102－42＝221，
∵EF⊥AD，
∴EF∥BC.
∵AO＝OD，
∴E，F(xiàn)分別為AB和AC的中點(diǎn)，
∴EF＝12BC＝4，
∴S菱形AEDF＝12AD·EF＝421.
6. 解：(1)如解圖①②，☉O即為所求；
第6題解圖
(2)如解圖③，連接OD，
∵☉O與AB相切，
∴OD＝OC，OD⊥AB，
∵∠ABC＝90°，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC，
∴ODCB＝AOAC＝AOAO＋OC.
∵AO＝BC，OD＝OC，
∴ODBC＝OCAO＝AOAO＋OC，
即AO2＝OC2＋OC·AO，
∴AO2AO2＝OC2AO2＋OC·AOAO2，
即1＝(OCAO)2＋OCAO，
設(shè)OCOA＝a，則1＝a2＋a，
整理得a2＋a－1＝0，
解得a＝5－12(負(fù)值已舍去)，
∴OCOA＝5－12.
第6題解圖③
7. 解：(1)如解圖，BE即為所求；
第7題解圖
(2)如解圖，連接DB.
∵AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°＋∠A，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴CBCA＝CECB＝BEAB＝BE2OA＝12，
∵BC＝10，
∴CE＝5，CA＝20，
∴AE＝AC－CE＝20－5＝15，
∵AB是☉O的直徑，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∵∠A＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
∴△ADB∽△BDE，
∴ABBE＝DBDE＝ADDB＝2，
∴BD＝2DE，AD＝2BD＝4DE，
∴DE＝15AE＝3.
8. (1)解：根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計(jì)，完成作圖過(guò)程如解圖所示；
第8題解圖
(2)證明：在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDE，AD＝DC，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE＝EC，
∵M(jìn)N垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝EC；
(3)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180°－∠ABC＝108°.
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠ADB＝36°，
∴∠EAD＝∠ABD＝36°，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴ADBD＝DEAD，即AD2＝BD·DE.
∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝72°，∠BEA＝∠EAD＋∠ADE＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB.
設(shè)AB＝x＝BE，DE＝a(其中x，a＞0)，
則x2＝(x＋a)·a，
∴x2－ax－a2＝0，解得x＝1+52a或x＝1－52a(舍去)，
∴ABDE＝1+52，
設(shè)點(diǎn)A到BD距離為h，則點(diǎn)C到BD的距離為h，
∴S△AED＝12DE·h，
S△EDC＝12DE·h，
∴S△AED＝S△EDC，
∴S△EBCS△EAD＝S△EBCS△EDC＝BEDE＝ABDE＝1+52.

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