構(gòu)建知識(shí)體系
考點(diǎn)梳理
1. 平行四邊形的性質(zhì)與判定(6年7考)
(1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
(2)平行四邊形的性質(zhì)
(3)平行四邊的判定
2. 平行四邊形面積
面積計(jì)算公式：S＝ah(a表示一條邊長，h表示此邊上的高).
【拓展知識(shí)】
①每條對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；
②平行四邊形中的面積關(guān)系：
S1＝S2＝S3＝S4
S1＝S2
(源于人教八下P51習(xí)題)
S1＋S3＝S2＋S4
S1·S3＝S2·S4
(源于北師八下P158習(xí)題)
3. 多邊形(6年2考)
(1)概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形
(2)多邊形的性質(zhì)(n≥3，n為整數(shù))
(3)正多邊形的性質(zhì)(n≥3，n為整數(shù))
練考點(diǎn)
1. 如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.
第1題圖
(1)若∠BCD－∠ADC＝60°，則∠ADC＝ °；
(2)若?ABCD的周長為42，AB∶BC＝3∶4，則AB＝ ，AD＝ ；
(3)若AC＋BD＝26，AB＝11，則△OCD的周長為 .
2. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點(diǎn)O，再添加一個(gè)條件，不一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A. AD＝BC B. AB∥CD
C. AB＝CD D. OA＝OC
第2題圖
3. 如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，線段EF過點(diǎn)O，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn).陰影部分的面積之和為10，則?ABCD的面積為( )
第3題圖
A. 16 B. 18
C. 20 D. 24
4. 九邊形的內(nèi)角和為 .
5. 若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的證明及計(jì)算 (6年4考)
例1 已知在?ABCD中，AB＞AD，E是AB邊上一點(diǎn)，連接DE.
(1)核心設(shè)問 如圖①，若DE⊥AB，AB＝6，AD＝22，∠C＝45°，求BE的長；[2023廣東19(1)題考查]
例1題圖①
(2)核心設(shè)問 如圖②，連接CE，若CE平分∠BCD，AE＝3，EB＝5，DE＝4.[2021廣東16題考查]
①求證：∠DEA＝90°；
②求CE的長；
例1題圖②
(3)如圖③，連接CE，若E是AB的中點(diǎn)，∠CED＝90°，DE＝4，且CEBC＝3，求四邊形BCDE的面積；
例1題圖③
(4)如圖④，若DE平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，AF平分∠DAB交DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作ED的垂線交DC于點(diǎn)G.求證：FG＝B C.
例1題圖④
考點(diǎn)2 平行四邊形的判定
例2 (北師八下習(xí)題改編)如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，分別過點(diǎn)B，D作AC的垂線，垂足為E，F(xiàn).
(1)如圖①，若四邊形ABCD是平行四邊形，分別延長BE，DF，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，求證：四邊形BGDH是平行四邊形；
例2題圖①
(2)如圖②，連接DE，BF，若BE＝DF，AF＝CE.
①求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
例2題圖②
②求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
變式1 (2024佛山二模)如圖，點(diǎn)E是?ABCD邊AD延長線上一點(diǎn)，連接BE，CE，BD，BE與CD交于點(diǎn)F，添加以下條件，不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是( )
A. DE＝DA B. ∠ABD＝∠DCE C. EF＝FB D. ∠DEB＝∠BCD
變式1題圖
考點(diǎn)3 多邊形 (6年2考)
例3 如圖①是一個(gè)八角亭，亭子的八個(gè)立柱在地面上圍出了一個(gè)正八邊形結(jié)構(gòu)，如圖②，若從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)，該多邊形被分成的三角形個(gè)數(shù)為( )
例3題圖
A. 5 B. 6 C. 8 D. 16
變式2 (人教八下習(xí)題改編)如圖是一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
變式2題圖
變式3 (2024佛山模擬)如圖，在正五邊形ABCDE中，∠BCD的平分線交AE于點(diǎn)F，連接CE，則∠ECF的度數(shù)為( )
變式3題圖
A. 15° B. 18° C. 36° D. 54°
真題及變式
命題點(diǎn)1 與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 (6年7考)
1. (2022廣東8題3分)如圖，在?ABCD中，一定正確的是( )
A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC
第1題圖
2. (2021廣東16題4分)如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝45.過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則sin ∠BCE＝ .
第2題圖
2.1 變條件——將邊的高線變?yōu)榻瞧椒志€
如圖，在?ABCD中，AD＝8，∠A＝60°，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，連接DE.若BE＝2AE，則DE的長為 .
變式2.1題圖
拓展訓(xùn)練
3. (2024棗莊)如圖，點(diǎn)E為?ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC＝5，CE＝1，連接DE并延長至點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接BF，則BF為( )
第3題圖
A. 52 B. 3 C. 72 D. 4
命題點(diǎn)2 多邊形 (6年2考)
4. (2020廣東4題3分·人教八上習(xí)題改編)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則該多邊形的邊數(shù)為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.1 變條件——結(jié)合內(nèi)外角的倍數(shù)關(guān)系
若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 .
拓展訓(xùn)練
5. (2023陜西)如圖，正八邊形的邊長為2，對(duì)角線AB，CD相交于點(diǎn)E，則線段BE的長為 .
第5題圖
新考法
6. [綜合與實(shí)踐](2024達(dá)州改編)
【主題】在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線等于邊長的2倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶?duì)角線和邊長的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究.
【探究發(fā)現(xiàn)】步驟具體如下：
如圖①，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AB2＝AO2＋BO2.
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ ＋ .
化簡整理得AC2＋BD2＝ .
【猜想與探究】
(1)補(bǔ)全【探究發(fā)現(xiàn)】中的步驟；
(2)如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)說明邊長與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系.
第6題圖
考點(diǎn)精講
①相等 ②相等 ③平分 ④平行 ⑤相等 ⑥平行且相等 ⑦相等 ⑧互相平分 ⑨(n－2)×180°
⑩360° ?相等 ?(n－2)×180°n ?360°n
練考點(diǎn)
1. (1)60；(2)9，12；(3)24
2. C
3. C 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOE＝S△DOF，S△FOC＝S△AOE，∴S?ABCD＝2(S△AOD＋S△BOE＋S△COF)＝2×10＝20.
4. 1260°
5. 6 【解析】設(shè)所求正多邊形邊數(shù)為n，則120°·n＝(n－2)·180°，解得n＝6.
高頻考點(diǎn)
例1 (1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C＝45°.
∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠A＝45°，
∴AE＝AD·cs A＝22×22＝2，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4；
(2)①證明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，32＋42＝52，
∴AE2＋DE2＝AD2，
∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；
②解：由(1)可知，∠DEA＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，
在Rt△EDC中，由勾股定理得CE＝DE2＋CD2＝42＋82＝45，
∴CE的長為45；
(3)解：如解圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)E作EH⊥CD，垂足為H.
∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BE∥CF，BE＝CF，即四邊形BCFE為平行四邊形.
又∵∠CED＝90°，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，
∴EF＝12CD＝CF.
∴四邊形BCFE為菱形.
∴BC＝CF＝12CD.
∵CEBC＝3，
∴CE＝3BC＝32CD，
∴CECD＝32，
∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，
∵DE＝4，
∴CD＝2DE＝8，EH＝DE·sin 60°＝4×32＝23.
∴BE＝12AB＝12CD＝4，
∴S四邊形BCDE＝12(BE＋CD)·EH＝12×(8＋4)×23＝123；
例1題解圖
(4)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，DA＝BC，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵DE平分∠ADC，AF平分∠DAB，
∴∠ADE＝12∠ADC，∠DAF＝12∠DAB，
∴∠DAF＋∠ADE＝90°，
∴DE⊥AF，
∵DE⊥EG，
∴AF∥EG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴FG＝AE，
∵DC∥AB，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴DA＝AE，
∴FG＝BC.
例2 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，即DG∥BH，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥DH，
∴四邊形BGDH是平行四邊形；
(2)①∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
在△ADF和△CBE中，
AF＝CE∠AFD＝∠CEBDF＝BE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
②∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF，
即AE＝CF，
由①知AD＝CB，∠EAD＝∠FCB，∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE＝BF，
同理△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
變式1 D 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四邊形BCED是平行四邊形，故A正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠BDC＝∠DCE，∴BD∥CE，∴四邊形BCED是平行四邊形，故B正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FDE＝∠FCB，∠FED＝∠FBC，又∵EF＝FB，∴△EFD≌△BFC(AAS)，∴DE＝CB.∴四邊形BCED為平行四邊形，故C正確；由∠DEB＝∠BCD，得出∠DEB＝∠A，但不能得出四邊形BCED為平行四邊形，故D錯(cuò)誤.
例3 B 【解析】n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有(n－3)條對(duì)角線，則該八邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可引出5條對(duì)角線，將八邊形劃分為6個(gè)不重合的三角形.
變式2 D 【解析】依題意，AB＝BC，∠ACB＝15°，∴∠BAC＝∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝150°，∴這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為180°－150°＝30°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360°30°＝12.
變式3 B 【解析】∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴∠BCD＝∠D＝15×(5－2)×180°＝108°，CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝12×(180°－∠D)＝36°，∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝12∠BCD＝12×108°＝54°，∴∠ECF＝∠DCF－∠DCE＝54°－36°＝18°.
真題及變式
1. C 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等可得C選項(xiàng)一定正確.
2. 91050 【解析】∵DE⊥AB，AB＝12，AD＝5，sin A＝45，∴DE＝4，∴AE＝ΑD2－DE2＝3，∴BE＝AB－AE＝9，如解圖，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，在?ABCD中，AB＝CD＝12，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴DE⊥CD，∴CE＝DE2＋CD2＝410，由三角形面積公式可得12BE·DE＝12CE·BF，∴BF＝91010，∴sin∠BCE＝BFBC＝91050.
第2題解圖
變式2.1 43 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝60°，BC＝AD＝8，CD∥AB，∴∠BEC＝∠DCE.∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC＝8.∵BE＝2AE，∴2AE＝8，解得AE＝4，如解圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，則∠AFE＝∠DFE＝90°，∴∠AEF＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴AF＝12AE＝2，EF＝32AE＝23，∴DF＝AD－AF＝6，在Rt△DEF中，由勾股定理，得ED＝EF2＋DF2＝43.
變式2.1題解圖
3. B 【解析】如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝5，CE＝1，∴AO＝CO＝12AC＝52，BO＝DO，∴OE＝CO－CE＝32.∵EF＝DE，∴E為DF的中中點(diǎn)，又∵O為BD的中點(diǎn)，∴OE為△BDF的中位線，∴BF＝2OE＝3.
第3題解圖
4. B 【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，則(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.
變式4.1 8 【解析】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
5. 2＋2 【解析】如解圖，由正八邊形的性質(zhì)可得，CF∥AB，且正八邊形的每個(gè)外角為45°，∴∠CAB＝45°，同理可得∠ACD＝45°，∴AB⊥CD，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，則四邊形CFGE為矩形，∵正八邊形的邊長為2，易得FG＝GB＝CE＝AE＝22AC＝2，EG＝CF＝2，∴BE＝EG＋BG＝2＋2.
第5題解圖
6. 解：(1)14AC2，14BD2，4AB2；
(2)AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2，理由如下：
如解圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF.
在△DAE和△CBF中，
∠DEA＝∠CFB∠DAE＝∠CBFAD＝BC，
∴△DAE≌△CBF(AAS)，
∴AE＝BF，DE＝CF，
在Rt△DBE中，BD2＝DE2＋BE2＝DE2＋(AB－AE)2，
在Rt△CAF中，AC2＝CF2＋AF2＝CF2＋(AB＋BF)2，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AC2＋BD2＝CF2＋(AB＋BF)2＋DE2＋(AB－AE)2＝2DE2＋AB2－2AB·AE＋AE2＋AB2＋2AB·AE＋AE2＝2(DE2＋AE2)＋2AB2＝2AD2＋2AB2，
∴AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2.
第6題解圖邊
兩組對(duì)邊分別平行，兩組對(duì)邊分別①
角
兩組對(duì)角分別②
對(duì)角線
對(duì)角線互相③
對(duì)稱性
是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(北師獨(dú)有)
邊
1. 兩組對(duì)邊分別④ 的四邊形是平行四邊形(定義)；
2. 兩組對(duì)邊分別⑤ 的四邊形是平行四邊形；
3. 一組對(duì)邊⑥ 的四邊形是平行四邊形
角
兩組對(duì)角分別⑦ 的四邊形是平行四邊形(人教獨(dú)有)
對(duì)角線
對(duì)角線⑧ 的四邊形是平行四邊形
內(nèi)角和定理
n邊形的內(nèi)角和等于⑨
外角和定理
任意多邊形的外角和等于⑩
對(duì)角線
過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可引(n－3)條對(duì)角線，把這個(gè)n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，n邊形共有n(n－3)2條對(duì)角線
【溫馨提示】n(n＞3)邊形具有不穩(wěn)定性
邊
正n邊形各條邊?
內(nèi)角
各個(gè)內(nèi)角相等，正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為?
外角
各個(gè)外角相等，正n邊形的每個(gè)外角為?

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