考點(diǎn)梳理
1. 弧長與扇形面積(6年5考)
2. 圓錐的相關(guān)計算(6年2考)
3. 正多邊形與圓
練考點(diǎn)
1. 已知扇形AOB的半徑為4，圓心角為60°，則該扇形的弧長＝ ，面積＝ .
2. 如圖，扇形的半徑為6，圓心角為120°，用這個扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則所得圓錐的底面半徑為 .
第2題圖
3. 如圖，☉O是正六邊形ABCDEF的外接圓.
(1)∠FAO的度數(shù)為 ；
(2)若☉O的半徑OA為6，則圓心到邊AB的距離為 .
第3題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 與弧長、扇形面積有關(guān)的計算 (6年5考)
例1 (2024佛山南海區(qū)一模)如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD為直徑的圓與AD交于點(diǎn)E，則CDE的長是( )
A. 3π B. 7π2 C. 4π D. 5π
例1題圖
例2 (2024山西)如圖①是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖(陰影部分為花窗).通過測量得到扇形AOB的圓心角為90°，OA＝1m，點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，則花窗的面積為 m2.
例2題圖
考點(diǎn)2 與圓錐有關(guān)的計算 (6年2考)
例3 (2024珠海金灣區(qū)一模)如圖，已知一圓在扇形AOB的外部，沿扇形的AB，從點(diǎn)A滾動一周(無滑動)，恰好到達(dá)點(diǎn) B.如果OA＝24 cm，∠AOB＝60°，圓的半徑為 cm.
例3題圖
變式1 (2024煙臺)如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF 中，以點(diǎn) F為圓心，以 FB的長為半徑作 BD，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為 .
變式1題圖
考點(diǎn)3 正多邊形與圓
例4 (2024甘孜州)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，OA＝1，則AB的長為( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 12
例4題圖
變式2 (2024佛山順德區(qū)一模)我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長就越接近圓的周長.如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出π≈3.若利用圓內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率π約為( )
變式2題圖
A. 12sin 30° B. 12cs 30° C. 12sin 15° D. 12cs 15°
真題及變式
命題點(diǎn)1 與圓錐有關(guān)的計算 (6年2考)
1. (2020廣東16題4分)如圖，從一塊半徑為1 m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為 m.
第1題圖
命題點(diǎn)2 與扇形面積有關(guān)的計算 (6年5考)
2. (2022廣東15題3分)扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積(結(jié)果保留π)為 .
3. (2021廣東13題4分·北師九下習(xí)題改編)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB，BC，AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為 .
第3題圖
4. (2019廣東22題7分)在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為圓心的EF與BC相切于點(diǎn)D，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).
(1)求△ABC三邊的長；
(2)求圖中由線段EB，BC，CF及FE所圍成的陰影部分的面積.
第4題圖
新考法
5. [真實(shí)問題情境](2024呼倫貝爾)為了促進(jìn)城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如圖，AB與CD是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心O，所對的圓心角都是72°，點(diǎn)A，C，O在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是 米.(π取3.14，計算結(jié)果精確到0.1)
第5題圖
6. [綜合與實(shí)踐](2024廣東21題9分)
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖①所示：
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過濾漏斗.
第6題圖①
【實(shí)踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖②所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖①所示漏斗中.
第6題圖②
【實(shí)踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明；
(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留π)
考點(diǎn)精講
①2πr ②nπr180 ③πr2 ④nπr2360 ⑤半徑 ⑥弧長
⑦360°n ⑧12
練考點(diǎn)
1. 4π3，8π3
2. 2
3. (1)60°；(2)33
高頻考點(diǎn)
例1 C 【解析】如解圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，∴CDE的長是240π×3180＝4π.
例1題解圖
例2 (π4－18) 【解析】∵點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，OA＝1 m，∴OC＝12OA＝12 m，OD＝12OB＝12 m.∴S陰影＝S扇形AOB－S△OCD＝90π360－12OC·OD＝(π4－18)m2.
例3 4 【解析】設(shè)圓的半徑為r cm，2πr＝60π×24180，解得r＝4.
變式1 3 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，∵正六邊形邊長為6，∴AB＝AF＝6，∠BAF＝120°，∴∠AFB＝30°，∴BF＝2AF·cs 30°＝63，∵∠BFD＝∠AFE－2∠AFB＝60°，∴60π×63180＝2πr，解得r＝3.
例4 C 【解析】∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB＝360°6＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AB＝OA＝1.
變式2 C 【解析】如解圖，連接OA1，OA2，過點(diǎn)O作OM⊥A1A2，垂足為點(diǎn)M，設(shè)☉O的半徑為R，∵十二邊形A1A2…A12是圓內(nèi)接正十二邊形，∴∠A1OA2＝360°12＝30°，又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R·sin 15°，∴A1A2＝2A1M＝2R·sin 15°，∴正十二邊形A1A2…A12的周長為12A1A2＝2R·sin 15°×12，∴2πR＝2R·sin 15°×12，解得π＝12sin 15°.
變式2題解圖
真題及變式
1. 13 【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為R m，根據(jù)扇形的弧長等于底面圓周長，可得到120π×1180＝2πR，解得R＝13.
2. π 【解析】扇形面積為90π×22360＝π.
3. 4－π 【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝22BC＝22，∵BC＝4，∴BE＝CE＝12BC＝2，∴S陰影＝S△ABC－S扇形BDE－S扇形CEF＝12×22×22－45π×22360－45π×22360＝4－π.
4. 解：(1)根據(jù)題圖可知AB2＝22＋62＝40，
∴AB＝210.(1分)
∵AC2＝22＋62＝40，
∴AC＝210.(2分)
∵BC2＝42＋82＝80，
∴BC＝45；(3分)
(2)如解圖，連接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°.(4分)
∵以點(diǎn)A為圓心的EF與BC相切于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，
∴AD＝12BC＝25.(5分)
∵S△ABC＝12BC·AD＝12×45×25＝20，
S扇形EAF＝14π×(25)2＝5π，(6分)
∴S陰影＝S△ABC－S扇形EAF＝20－5π.(7分)
第4題解圖
5. 28.7 【解析】根據(jù)題意，得AB的長為72π·OA180，CD的長為72π·OC180，∵公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，∴72π·OA180－72π·OC180＝36，∴72π·(OA－OC)180＝36，即72π·AC180＝36，解得AC＝90π≈903.14≈28.7.
6. 解：(1)能，理由如下：(1分)
設(shè)圓錐濾紙底面周長為C，半徑為r，母線為l，
漏斗底面半徑為R＝72 cm，母線長L＝7 cm，濾紙直徑d＝10 cm，
由題意得12πd＝C＝2πr，
r＝52 cm，l＝d2＝5 cm，
∴rl＝12，
又∵RL＝727＝12，
∴rl＝RL，
∴濾紙可緊貼漏斗內(nèi)壁；(6分)
(2)設(shè)濾紙圍成圓錐形的高為h cm，
由(1)可知h＝l2－r2＝532 cm，
∴V圓錐＝13πr2h＝13×π×(52)2×532＝1253π24(cm3).(9分)
圓周長
C＝①
r為圓(扇形)的半徑；
n°為弧所對的圓心角的度數(shù)；
l是扇形的弧長
扇形弧長
l＝②
圓面積
S＝③
扇形面積
S扇形＝④ ＝12lr
注：陰影部分圖形的面積計算，方法講解詳見本書P136～P137微專題 三種方法求陰影部分面積
相關(guān)
計算
(1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；
(2)圓錐的母線長l為扇形的⑤ ；
(3)圓錐底面圓的周長2πr為扇形的⑥ ；
(4)圓錐的高為h，則r2＋h2＝l2；
(5)圓錐的底面圓周長：C＝2πr；
(6)圓錐的底面圓面積：S＝πr2；
(7)圓錐的側(cè)面積：S＝πrl
r為底面圓半徑
l為圓錐的母線長
名稱
公式
圖例
中心角
正n邊形的每個中心角θ為⑦
R：半徑
r：邊心距
a：邊長
θ：中心角
邊心距
正n邊形的邊心距r＝R2?(a2)2
周長
正n邊形的周長l＝na
面積
正n邊形的面積S＝⑧ rl(l為正n邊形的周長)

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