34 圖形的對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)-2025版數(shù)學(xué)中考二輪總復(fù)習(xí)微專題講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)梳理
1. 軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形(6年3考)
2. 軸對(duì)稱與中心對(duì)稱
3. 圖形的折疊(6年3考)
4. 圖形的平移
5. 圖形的旋轉(zhuǎn)(6年3考)
練考點(diǎn)
1. 下列消防安全標(biāo)識(shí)圖，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( )
2. 如圖是由6個(gè)大小相同的正方形組成的中心對(duì)稱圖形，則此圖形的對(duì)稱中心是( )
第2題圖
A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N
C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q
3. 如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，沿過(guò)點(diǎn)B的直線將△ABC折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB上，則AE的長(zhǎng)為 .
第3題圖
4. 如圖，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝1，則CF的長(zhǎng)為 .
第4題圖
5. 如圖，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，將三角形ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到三角形ADE，則∠CAD的度數(shù)是 °.
第5題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 圖形的對(duì)稱 (6年3考)
例1 (北師八下習(xí)題改編)如圖所示是我國(guó)部分城市的地鐵標(biāo)志.
(1)軸對(duì)稱的圖形有；
(2)中心對(duì)稱的圖形有；
(3)既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱的圖形有 .
例1題圖
變式1 (2024佛山南海區(qū)二模)第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年舉行，下列圖形是本屆奧運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目圖標(biāo)，其中屬于軸對(duì)稱圖形的是( )
變式2 (2024綏化)下列所述圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. 平行四邊形 B. 等腰三角形
C. 圓 D. 菱形
例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，3)，點(diǎn)B(2，1)，P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，則PA＋PB的最小值為( )
A. 25 B. 4 C. 42 D. 5
例2題圖
變式3 (2023廣州)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝1，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，EF，則CF＋EF的最小值為 .
變式3題圖
考點(diǎn)2 圖形的平移
例3 如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE與AC交于點(diǎn)G，連接A D.
(1)若∠B＝60°，∠ACB＝30°，則∠EDF的度數(shù)為 °；
(2)四邊形ACFD的形狀為；
(3)判斷AD，BC，BF之間的數(shù)量關(guān)系為；
(4)若AB＝3，DF＝4，CE＝2，△DEF的周長(zhǎng)為12，則△ABC平移的距離為 .
例3題圖
變式4 (2024臨夏州)如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'滿足AA'＝13AD，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是 .
變式4題圖
考點(diǎn)3 圖形的旋轉(zhuǎn) (6年3考)
例4 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△DEC，點(diǎn)D恰好落在AB邊上.
例4題圖
(1)旋轉(zhuǎn)中心為，旋轉(zhuǎn)角為；
(2)與EC相等的邊是；
(3)若AC＝4，則DE的長(zhǎng)為；
(4)△ACD的形狀為；
(5)BC與DE的位置關(guān)系為 .
變式5 (2024佛山一模)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D'，當(dāng)點(diǎn)C，B'，C'三點(diǎn)共線時(shí)，AB'交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)度是( )
變式5題圖
A. 78 B. 258 C. 74 D. 254
真題及變式
命題點(diǎn)1 對(duì)稱圖形的識(shí)別 (6年3考)
1. (2024廣東2題3分)下列幾何圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是( )
2. (2023廣東2題3分)下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為( )
3. (2019廣東5題3分)下列四個(gè)銀行標(biāo)志中，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是( )
命題點(diǎn)2 圖形的平移
拓展訓(xùn)練
4. (2024英德一模)如圖，將長(zhǎng)為6，寬為4的長(zhǎng)方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長(zhǎng)方形A'B'CD'，則陰影部分的面積為 .
第4題圖
5. 如圖，在?ABCD中，點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C(0，6)在y軸上，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，將?ABCD沿x軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .
第5題圖
命題點(diǎn)3 圖形的旋轉(zhuǎn) (6年3考)
拓展訓(xùn)練
6. (2024廣元)如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD＝3，BC＝1，則AD的長(zhǎng)為( )
A. 5 B. 10 C. 2 D. 22
第6題圖
新考法
7. [數(shù)學(xué)文化](2024甘肅省卷)圍棋起源于中國(guó)，古代稱為“弈”.如圖是兩位同學(xué)的部分對(duì)弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤(pán)，白方如果落子于點(diǎn) 的位置，則所得的對(duì)弈圖是軸對(duì)稱圖形.(填寫(xiě)A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤(pán)的格點(diǎn)上)
第7題圖
8. [真實(shí)問(wèn)題情境](2024揚(yáng)州)如圖①，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABC D.
(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)已知矩形紙條寬度為2 cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖②位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8 cm2，求此時(shí)直線AD，CD所夾銳角∠1的度數(shù).
第8題圖
考點(diǎn)精講
①成軸對(duì)稱 ②平移距離 ③平行 ④平行 ⑤全等
⑥旋轉(zhuǎn)角度 ⑦相等 ⑧等于 ⑨全等
練考點(diǎn)
1. C
2. B
3. 2
4. 1
5. 20
高頻考點(diǎn)
例1 (1)③④⑤；(2)④；(3)④
變式1 C
變式2 B
例2 C 【解析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知PA＋PB的最小值即為A'B的長(zhǎng)度，∵A(－2，3)，B(2，1)，∴A'(－2，－3)，∴A'B＝[2?(?2)]2＋[1?(?3)]2＝42＋42＝42.
變式3 17 【解析】如解圖，連接AE交BD于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AF＝CF，∴CF＋EF＝AF＋EF＝AE，此時(shí)CF＋EF的值最小，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AB＝4，∠ABC＝90°，∵BE＝1，∴AE＝AB2＋BE2＝42＋12＝17，故CF＋EF的最小值為17.
變式3題解圖
例3 (1)90；(2)平行四邊形；(3)BF＝BC＋AD；(4)3
【解法提示】(1)由平移可得∠DEF＝∠B＝60°，∠F＝∠ACB＝30°，∴∠EDF＝180°－60°－30°＝90°；(2)由平移的性質(zhì)得AD＝CF，AD∥CF，∴四邊形ACFD是平行四邊形；(3)由平移的性質(zhì)得AD＝CF，∴BF＝BC＋CF＝BC＋AD；(4)由平移的性質(zhì)可知，△ABC的周長(zhǎng)＝△DEF的周長(zhǎng)＝12，∵AB＝3，DF＝4，∴AC＝DF＝4，∴BC＝12－3－4＝5，∴平移的距離BE＝BC－CE＝5－2＝3.
變式4 439 【解析】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝12×2＝1，由勾股定理得BD＝22－12＝3.∴AA'＝13AD＝13，∴A'D＝1－13＝23.如解圖，記A'B'與BD的交點(diǎn)為M，A'C'與CD的交點(diǎn)為N，由平移可知，∠A'MD＝∠B＝30°，在Rt△A'DM中，MD＝A'Dtan∠A'MD＝2333＝233.∵A'M＝A'N，∴MN＝2MD＝433，∴S重疊部分＝12·MN·A'D＝12×433×23＝439.
變式4題解圖
例4 (1)點(diǎn)C，∠ACD或∠BCE；(2)BC；(3)8；(4)等邊三角形；(5)垂直
變式5 A 【解析】如解圖，連接AC，AC'，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，由旋轉(zhuǎn)可知，BC＝B'C'＝3，AC＝AC'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AB'＝AB＝4，∴△ACC'是等腰三角形，且AB'⊥CC'，∴B'C＝B'C'＝3，∴AD＝B'C＝3，∵∠AED＝∠CEB'，∠D＝∠EB'C＝90°，∴△ADE≌△CB'E(AAS)，∴AE＝CE，DE＝B'E，設(shè)AE＝x，則B'E＝4－x＝DE，在Rt△ADE中，DE2＋AD2＝AE2，即(4－x)2＋32＝x2，解得x＝258，∴DE＝4－258＝78.
變式5題解圖
真題及變式
1. C
2. A
3. C 【解析】逐項(xiàng)分析如下：
4. 12 【解析】由題意可得，陰影部分是矩形，其長(zhǎng)為6－2＝4，寬為4－1＝3，∴陰影部分的面積＝4×3＝12.
5. (－2，6) 【解析】∵A(4，0)，C(0，6)，E是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴E(2，3)，當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，?ABCD沿x軸向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，6).
6. A 【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAE＝90°，AC＝AE，DE＝BC＝1，∴△ACE是等腰直角三角形，CE＝CD＋DE＝3＋1＝4，如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H，∴AH＝12CE＝CH＝HE＝2，∴HD＝HE－DE＝2－1＝1，∴AD＝AH2＋HD2＝22＋12＝5.
第6題解圖
7. A(或C) 【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，發(fā)現(xiàn)放在B，D處不能構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，放在A或C處可以.
8. 解：(1)四邊形ABCD為菱形，理由如下：
由題可知，AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
如解圖①，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
則∠BEA＝∠DFA＝90°.
∵兩個(gè)矩形的寬度相等，
∴BE＝DF，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
第8題解圖①
(2)如解圖②，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD的面積為8，
∴CD×AG＝8，
又∵AG＝2，
∴CD＝4.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝4，
在Rt△AGD中，AG＝2，AD＝4，∠AGD＝90°，
∴sin∠1＝AGAD＝24＝12，
∴∠1＝30°，
∴直線AD，CD所夾銳角∠1的度數(shù)為30°.
第8題解圖②
軸對(duì)稱圖形
中心對(duì)稱圖形
圖形
判斷
步驟
(1)找對(duì)稱軸；
(2)圖形沿對(duì)稱軸折疊；
(3)對(duì)稱軸兩邊的圖形完全重合
(1)找對(duì)稱中心；
(2)圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°；
(3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形完全重合
軸對(duì)稱
中心對(duì)稱
圖形
性質(zhì)
(1)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；
(2)對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分
(1)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；
(2)對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心所平分
實(shí)質(zhì)
折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換
性質(zhì)
(1)位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕①
(2)折疊前后的兩部分圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、角、線段、周長(zhǎng)、面積都分別相等
(3)折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分
要素
平移方向和②
性質(zhì)
(1)平移前后，對(duì)應(yīng)線段③ (或共線)且相等，對(duì)應(yīng)角相等
(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段④ (或共線)且相等
(3)平移前、后的圖形⑤
要素
旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和⑥
性質(zhì)
(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離⑦
(2)任何一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角都⑧ 旋轉(zhuǎn)角
(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形⑨
選項(xiàng)
逐項(xiàng)分析
正誤
A
是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形
?
B
是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形
?
C
既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形
√
D
是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形
?

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