1. （人教八上練習(xí)改編）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則線段AD的最小值是 .
第1題圖
2. （2024東莞模擬）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是 .
第2題圖
3. 如圖，在△ABC中，∠ABC＝35°，D是邊AC上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是射線BA，BC上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，連接DB，DE，EF，若∠CBD＝10°，BD＝6，則DE＋EF的最小值為 .
第3題圖
4. （2024中山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是 .
第4題圖
5. （2024梅州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x＋6的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段AB上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，則△PCO周長的最小值為 .
第5題圖
6. 如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，點(diǎn)P，Q，R分別為邊BC，AB，AC上（均不與端點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQR的周長最小時(shí)，則∠PQR＋∠PRQ的度數(shù)為 .
第6題圖
類型二 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問題
方法解讀
1. （北師九上隨堂練習(xí)改編）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)，且AE＝1，F(xiàn)為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，CF，則EF＋CF的最小值為 .
第1題圖
2. 如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，AC＝3，BC的垂直平分線DE分別交AB，BC邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)為AC邊的中點(diǎn)，P為線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，若△ABC的面積是9，則PC＋PF的最小值為 .
第2題圖
3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝34x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A，B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，－3）.點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接AP、CP，當(dāng)AP＋CP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
第3題圖
4. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF＋EF＋CE的最小值為 .
第4題圖
5. （2024香洲區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A（1，m）和B（n，2）在反比例函數(shù)y＝4x的圖象上，點(diǎn)C，D分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD周長的最小值為 .
第5題圖
類型三 與圓有關(guān)的最值問題（6年5考）
考向1 點(diǎn)圓、線圓最值問題
方法一 點(diǎn)圓最值問題
方法解讀
條件：如圖，平面內(nèi)一定點(diǎn)D和☉O，E是☉O上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE.
結(jié)論：當(dāng)圓心O在線段DE上時(shí)，DE取得最大值（圖①），當(dāng)圓心O在DE的延長線上時(shí)，DE取得最小值（圖②）.
1. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，☉O的半徑為1，若圓心O在矩形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)C到☉O上的點(diǎn)的距離的最大值為 .
第1題圖
2. （2024珠海模擬）如圖，☉M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)P是☉M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點(diǎn).若點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則當(dāng)AB取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .
第2題圖
3. （2024東莞一模）如圖，拋物線y＝14x2－4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，點(diǎn)Q是線段PA的中點(diǎn)，連接OQ，則線段OQ的最大值是 .
第3題圖
方法二 線圓最值問題
方法解讀
條件：如圖，☉O與直線l相離，設(shè)☉O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，P是☉O上的動(dòng)點(diǎn).
結(jié)論：點(diǎn)P到直線l的最小距離為d－r（圖①），最大距離為d＋r（圖②）.
4. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以點(diǎn)B為圓心，1為半徑作圓，P是☉B(tài)上一動(dòng)點(diǎn)，Q是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為 .
第4題圖
5. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O為矩形ABCD的中心，以點(diǎn)D為圓心，1為半徑作☉D，P為☉D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，OP，OA，則△AOP面積的最大值為 .
第5題圖
6. 如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，半徑為1的☉O在斜邊AC上滾動(dòng)，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，則四邊形ABCD的最大面積為 .
第6題圖
考向2 利用輔助圓求最值（6年4考）
方法一 定點(diǎn)定長作圓（2021.10）
方法解讀
原理：圓的定義：圓是所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.
情形：在平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定.
動(dòng)點(diǎn)軌跡：動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓或圓弧的一部分.
1. （2020廣東17題4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC＝90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為 .
第1題圖
2. （2024煙臺）如圖，在?ABCD 中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10.E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將△DEF 沿EF翻折得△D'EF， 連接AD'，BD'.則△ABD'面積的最小值為 .
第2題圖
3. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，作點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F，連接BF，則BF的最小值為 .
第3題圖
方法二 定弦定角作圓（6年2考：2021.10、17）
方法解讀
情形：如圖，在△ABC中，∠C（α）為定角，所對的弦AB長度固定.
動(dòng)點(diǎn)軌跡：（1）當(dāng)0＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)C的軌跡如圖①所示，即ACB；（2）當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C的軌跡如圖②所示，即☉O（不含A，B兩點(diǎn)）；（3）當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，點(diǎn)C的軌跡如圖③所示，即AB.
第4題圖
4. （2024梅州市一模）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠CBP＝∠ACP，則PA的最小值為 .
5. （2021廣東17題4分）在△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 .
6. （2021廣東10題改編）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線y＝x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB.連接點(diǎn)A，B，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為 .
方法三 四點(diǎn)共圓（6年2考：2024.22，2023.23）
方法解讀
7. （人教八上練習(xí)改編）如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為 .
第7題圖
8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，DE，O是DE的中點(diǎn)，連接OC，OA，則AO的最小值為 .
第8題圖
9. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且AF＝BE，連接CF與AE交于點(diǎn)G，連接DG，則DG的最大值為 .
第9題圖
類型四 利用二次函數(shù)性質(zhì)解決最值問題
[6年2考：2022.23（2），2021.9]
方法解讀
要求y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值，可將解析式化為頂點(diǎn)式，確定其對稱軸是否在自變量x的取值范圍內(nèi)，再畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想及所給端點(diǎn)與對稱軸的距離，依據(jù)二次函數(shù)增減性求最值.
1. （2021廣東9題3分）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c， 記p＝a＋b＋c2，則其面積S＝p（p－a)(p－b)(p－c）.這個(gè)公式也被稱為海倫－秦九韶公式.若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（ ）
A. 5B. 4C. 25D. 5
2. 如圖，二次函數(shù)y＝－12x2－32x＋2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且D（m，n）是第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，則四邊形OCDA的面積的最大值為 .
第2題圖
3. 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E不與端點(diǎn)重合，∠DEF＝45°，則BF的最大值為 .
第3題圖
類型一 利用“垂線段最短”解決最值問題
1. 23 【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AD'⊥BC于點(diǎn)D'，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)D'重合時(shí)，AD的值最小.∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝4，∴BD'＝CD'＝12BC＝2，∴AD'＝AB2－BD'2＝23，∴線段AD的最小值是23.
第1題解圖
2. 332 【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝6，如解圖，過點(diǎn)D作DQ'⊥CQ于點(diǎn)Q'，由旋轉(zhuǎn)可得∠ACQ＝∠B＝60°，∴點(diǎn)Q為射線CQ上的動(dòng)點(diǎn)，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，∴CD＝12AC＝3，當(dāng)DQ⊥CQ時(shí)，DQ的長最小，此時(shí)，點(diǎn)Q與Q'重合，∠CDQ'＝30°，∴CQ'＝12CD＝32，∴DQ'＝DC2－CQ'＝332，∴DQ的最小值是332.
第2題解圖
3. 33 【解析】如解圖，作點(diǎn)D關(guān)于BA的對稱點(diǎn)D'，連接DD'，BD'，過點(diǎn)D'作BC的垂線交BA于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，由對稱的性質(zhì)得D'E＝DE，∴DE＋EF＝D'E＋EF＝D'F，此時(shí)DE＋EF的值最小，最小值為線段D'F的長.∵∠ABC＝35°，∠CBD＝10°，BD＝6，∴∠DBA＝∠D'BA＝∠ABC－∠CBD＝25°，BD'＝BD＝6，∴∠CBD'＝35＋25°＝60°，∴D'F＝BD'·sin 60°＝6×32＝33，∴DE＋EF的最小值為33.
第3題解圖
4. 22 【解析】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，∠B＝∠MCGBM＝CM∠BMH＝∠CMG，∴△BMH≌△CMG(ASA)，∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC＋CG＋GH＋AH＝AB＋AC＋GH＝14＋GH，如解圖，當(dāng)GH最小時(shí)，即GH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，GH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝AC＝8，∴四邊形ACGH周長的最小值為14＋8＝22.
第4題解圖
5. 32＋6 【解析】由直線y＝x＋6的解析式得，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x＋6＝6，當(dāng)y＝0時(shí)，x＋6＝0，解得x＝－6，∵一次函數(shù)y＝x＋6的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴A(－6，0)，B(0，6)，則OA＝OB＝6，∴△ABO是等腰直角三角形，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a＋6)(－6＜a＜0)，∵PC⊥x軸，∴OC＝－a，PC＝a＋6，∴△PCO的周長為OC＋PC＋OP＝－a＋a＋6＋OP＝6＋OP，則求△PCO周長的最小值只要求出OP的最小值即可，如解圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則OP的最小值為OD的長，即此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴OD＝12AB＝12×62＋62＝32，∴△PCO周長的最小值為6＋OD＝32＋6.
第5題解圖
6. 90° 【解析】如解圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P'，關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P″，連接P'P″，分別交AB，AC于點(diǎn)Q，R，連接AP'，AP″.則P'Q＝PQ，P″R＝PR，AP＝AP'＝AP″，∠P'AQ＝∠PAQ，∠P″AR＝∠PAR，∴C△PQR＝PQ＋QR＋PR＝P'Q＋QR＋P″R＝P'P″，∠P'AP″＝∠P'AQ＋∠PAQ＋∠P″AR＋∠PAR＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴△AP'P″為等腰直角三角形，AP＝AP'＝AP″，∴P'P″＝2AP，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短，即△PQR周長最小，此時(shí)∠AP'Q＝∠APQ＝45°，∠AP″R＝∠APR＝45°，∴∠QPR＝90°，∴∠PQR＋∠PRQ＝90°.
第6題解圖
類型二 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問題
1. 5 【解析】如解圖，連接CE交BD于點(diǎn)F'，∴EF＋CF≥CE，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)F'重合，即C，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)，EF＋CF有最小值，最小值為CE的長.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∵AE＝1，∴BE＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝BE2＋BC2＝5，∴EF＋CF的最小值為5.
第1題解圖
2. 6 【解析】如解圖，連接BP.∵DE是線段BC的垂直平分線，∴點(diǎn)B與C關(guān)于DE對稱，BP＝CP，∴PC＋PF＝BP＋PF≥BF，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PC＋PF最小.∵F為AC邊的中點(diǎn)，AB＝BC，∴BF⊥AC，∴S△ABC＝12AC·BF＝9.∵AC＝3，∴BF＝6，∴PC＋PF的最小值為6.
第2題解圖
3. (32，－158) 【解析】如解圖，連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)AP＋CP的值最小，∵拋物線過(4，0)，(0，－3)兩點(diǎn)，∴12+4b＋c=0c＝－3，解得b＝－94c＝－3，∴拋物線表達(dá)式為y＝34x2－94x－3，∴拋物線對稱軸為直線x＝32，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝mx＋n(m≠0)，將B(4，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n中，得n＝－34m＋n=0，解得m＝34n＝－3，∴直線BC的表達(dá)式為y＝34x－3，當(dāng)x＝32時(shí)，y＝－158.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32，－158).
第3題解圖
4. 7 【解析】由題意知EF＝BC＝AD＝2，如解圖，過點(diǎn)F作FG∥CE，交BC延長線于點(diǎn)G，連接AG，∵EF∥BC，∴四邊形EFGC為平行四邊形，∴CE＝GF，CG＝EF＝2，則AF＋CE＝AF＋FG≥AG，∴當(dāng)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時(shí)，AF＋CE取得最小值，最小值為AG的長，∵BG＝BC＋CG＝4，∴在Rt△ABG中，AG＝AB2＋BG2＝5，∴AG＋EF＝7，∴AF＋EF＋CE的最小值為7.
第4題解圖
5. 45 【解析】∵點(diǎn)A(1，m)和B(n，2)在反比例函數(shù)y＝4x的圖象上，∴m＝4，n＝2，∴A(1，4)，B(2，2)，∴AB＝5，如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B'，連接A'B'交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，此時(shí)四邊形ABCD的周長最小，最小值為A'B'＋AB的值.根據(jù)對稱的性質(zhì)，得A'(－1，4)，B'(2，－2)，∴A'B'＝35，∴四邊形ABCD周長的最小值為35＋5＝45.
第5題解圖
類型三 與圓有關(guān)的最值問題
考向1 點(diǎn)圓、線圓最值問題
1. 6 【解析】如解圖，在☉O上任取一點(diǎn)E'，連接OE'、CE'，則CE'≤CO＋OE'，當(dāng)C、O、E'三點(diǎn)共線時(shí)，CE'取得最大值，即當(dāng)點(diǎn)E與E'重合時(shí)，CE取最大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.連接AC，∵CO≤AC，∴當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，CO取得最大值時(shí).在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴點(diǎn)C到☉O上的點(diǎn)的距離的最大值為6.
第1題解圖
2. (－6，0) 【解析】如解圖，連接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴AO＝BO＝PO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM交☉M于點(diǎn)P'，當(dāng)點(diǎn)P位于P'位置時(shí)，OP取得最小值，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵M(jìn)(6，8)，則OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10，又∵M(jìn)P'＝r＝4，∴OP'＝MO－MP'＝10－4＝6，∴OA＝OP'＝6，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(－6，0).
第2題解圖
3. 72 【解析】如解圖，連接BP，當(dāng)y＝0時(shí)，14x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4，則A(－4，0)，B(4，0)，∴OB＝4，∵Q是線段PA的中點(diǎn)，∴OQ為△ABP的中位線，∴OQ＝12BP，當(dāng)BP最大時(shí)，OQ最大，當(dāng)BP過圓心C時(shí)，PB最大，如解圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P'位置時(shí)，BP最大，此時(shí)，OQ取得最大值，最大值為12BP'，∵C(0，3)，∴OC＝3，∴BC＝OB2＋OC2＝5，∴BP'＝5＋2＝7，∴線段OQ的最大值是72.
第3題解圖
4. 75 【解析】如解圖，過點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q，交☉B(tài)于點(diǎn)P，此時(shí)PQ的值最小.∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，☉B(tài)的半徑為1，∴AC＝AB2＋BC2＝42＋32＝5，BP＝1，∴sin∠ACB＝ABAC＝BQBC＝45，解得BQ＝125.∴PQ＝BQ－BP＝125－1＝75.∴PQ的最小值為75.
第4題解圖
5. 174 【解析】如解圖，連接OC，當(dāng)點(diǎn)P到AC的距離最大時(shí)，△AOP的面積最大，過點(diǎn)D作AC的垂線，與☉D在矩形ABCD外交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，此時(shí)△AOP的面積最大.∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝AB2＋BC2＝5，AD＝4，∴OA＝52，∵12AD·DC＝12AC·DM，∴DM＝125，∴PM＝PD＋DM＝1＋125＝175，∴△AOP面積的最大值為12OA·PM＝12×52×175＝174.
第5題解圖
6. 4＋25 【解析】∵AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝25.∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S△ABC＝12AB·BC＝4，∴當(dāng)S△ACD取得最大值時(shí)，S四邊形ABCD有最大值.如解圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，連接OD，∵DE≤OD＋OF，∴當(dāng)D，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，DE取得最大值，最大值即為OD＋OF的值.∵☉O在AC上滾動(dòng)，∴OF＝1，∴DE最大＝OD＋OF＝2，∴S△ACD最大＝12AC·DE最大＝12×25×2＝25，∴S四邊形ABCD最大＝S△ABC＋S△ACD最大＝4＋25.
第6題解圖
考向2 利用輔助圓求最值
1. 25－2 【解析】如解圖，連接BE，BD.由題意得BD＝22＋42＝25，∵∠MBN＝90°，MN＝4，E為MN的中點(diǎn)，∴BE＝12MN＝2，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的弧，∴當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，∴DE的最小值為25－2.
第1題解圖
2. 203－16 【解析】如解圖，以點(diǎn)E為圓心，EC長為半徑作圓，過點(diǎn)E作EG⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)G，交☉E于點(diǎn)D'，此時(shí)△ABD'的面積最小，∵在?ABCD中，∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BC＝10，易得AB與CD間的距離為53，∴EG＝53，∵E為邊CD的中點(diǎn)，∴DE＝D'E＝12CD＝4，∴GD'＝53－4，∴S△ABD'的最小值為12×8×(53－4)＝203－16.
第2題解圖
3. 63－6 【解析】如解圖，連接DF，根據(jù)對稱性質(zhì)可知DF＝CD，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝CD＝DF＝6，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)D為圓心，CD長為半徑的AC，連接BD交AC于點(diǎn)G，當(dāng)B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時(shí)，BF的值最小，最小值為BG的長，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，在Rt△ABM中，BM＝AB·cs 30°＝33，∴BD＝63，∵DG＝AD＝6，∴BG＝BD－DG＝63－6，即BF的最小值為63－6.
第3題解圖
4. 2 【解析】如解圖，取BC的中點(diǎn)O，以BC為直徑作☉O，與AB交于點(diǎn)E，連接OP，AO，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＋∠BCP＝90°，∵∠CBP＝∠ACP，∴∠CBP＋∠BCP＝90°，∴∠CPB＝90°，∴點(diǎn)P在以BC為直徑的圓弧CE上運(yùn)動(dòng)，AP≥AO－OP，∴當(dāng)點(diǎn)P，A，O三點(diǎn)共線時(shí)，PA有最小值，∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，BC＝6，∠BPC＝90°，∴PO＝CO＝12BC＝3，在Rt△ACO中，∵AC＝4，∴AO＝OC2＋AC2＝32＋42＝5，∴PA的最小值＝5－3＝2.
第4題解圖
5. 5－2 【解析】如解圖，根據(jù)定弦定角，確定△ABD的外接圓☉O，點(diǎn)D在☉O的優(yōu)弧ADB上運(yùn)動(dòng)，連接AO，BO，DO，CD，OC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，AB＝2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝22AB＝2，∠ABO＝45°，∴∠OBF＝∠ABC－∠ABO＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OF＝BF＝22OB＝1，∵BC＝3，∴FC＝BC－BF＝2，∴OC＝OF2＋FC2＝5，∵OD＋CD≥OC，∴當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OC與☉O的交點(diǎn)E時(shí)，CD的值最小，最小值為OC－OE，即5－2.
第5題解圖
6. 12 【解析】設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，則直線OA的解析式為y＝ax，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴kOB＝－1a，∴直線OB的解析式為y＝－1ax，將點(diǎn)B(b，b2)代入y＝－1ax中，得b2＝－1a·b，∴b＝－1a，∴B(－1a，1a2)，設(shè)直線AB的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，∴a2＝ma＋n1a2＝m·(?1a)＋n，解得m＝a－1an=1，∴直線AB的解析式為y＝(a－1a)x＋1，如解圖，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)D，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∵OC⊥AB，∴點(diǎn)C在以O(shè)D為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)C在半圓OD的中點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離最大，此時(shí)OC＝CD，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，∵OD是直徑，∴∠OCD＝90°，∴CE＝DE＝12OD＝12.
第6題解圖
7. 62 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，AC為☉O的弦，如解圖，當(dāng)AD為☉O的直徑時(shí)，AD取得最大值，此時(shí)∠ACD＝90°，∵AC＝6，∠ADC＝45°，∴AD＝2AC＝62.
第7題解圖
8. 22 【解析】如解圖，過點(diǎn)C作CO'⊥AB于點(diǎn)O'，連接OO'，則∠AO'C＝90°，∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∴AB＝42，∴AO'＝BO'＝22，∵CE是由CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CDO＝45°，∵O為DE的中點(diǎn)，∴∠COD＝90°＝∠DO'C，∴C，D，O'，O四點(diǎn)共圓，∴∠CO'O＝∠CDO＝45°，∴點(diǎn)O在∠BO'C的平分線上運(yùn)動(dòng)，∵AO≥AO'，∴AO的最小值為22.
第8題解圖
9. 43 【解析】如解圖，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∴AB＝BC＝AC，∵BE＝AF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠AEB＝∠CFA.∵∠BAE＋∠AEB＝120°，∴∠FAG＋∠AFG＝120°，∴∠AGC＝120°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠AGC＋∠ADC＝180°，∴A，G，C，D四點(diǎn)共圓，點(diǎn)H是圓心，記點(diǎn)G在AC上，連接AH，CH，GH，DH，∵AB＝AC＝6，DH＝AH＝CH，易得☉H的半徑為23，∴HG＝HD＝23，∴當(dāng)D，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，DG最大，DG的最大值為43.
第9題解圖
類型四 利用二次函數(shù)性質(zhì)解決最值問題
1. C 【解析】∵p＝a＋b＋c2，p＝5，c＝4，∴5＝a＋b+42，∴a＋b＝6，∴a＝6－b，∴S＝p(p－a)(p－b)(p－c)＝5(5－a)(5－b)(5－4)＝5(5－a)(5－b)＝－5b2+30b－25＝－5(b－3)2+20，令y＝－5(b－3)2＋20，∵－5＜0，∴函數(shù)有最大值，當(dāng)b＝3時(shí)，y＝20，∴函數(shù)最大值為20，∴當(dāng)b＝3時(shí)，S有最大值為20＝25.
2. 8 【解析】如解圖，連接OD，∵點(diǎn)D在拋物線上，∴D(m，－12m2－32m＋2)，把x＝0代入到y(tǒng)＝－12x2－32x＋2中，得y＝2，∴C(0，2)，把y＝0代入到y(tǒng)＝－12x2－32x＋2中，解得x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)，B(1，0).∵S四邊形OCDA＝S△OAD＋S△OCD＝12×4×(－12m2－32m＋2)＋12×2×(－m)＝－m2－3m＋4－m＝－(m＋2)2＋8，∴當(dāng)m＝－2時(shí)，四邊形OCDA的面積最大，最大值為8.
第2題解圖
3. 4 【解析】設(shè)AE＝x，BF＝y(tǒng)，∵AC＝CB＝4，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝42，∵D是AC中點(diǎn)，∴AD＝DC＝2，∵∠AED＋∠FEB＝180°－∠DEF＝180°－45°＝135°，∠FEB＋∠EFB＝180°－∠B＝180°－45°＝135°，∴∠AED＝∠EFB，∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEF，∴ADBE＝AEBF，∴242－x＝xy，∴y＝－12x2＋22x，∵y＝－12x2＋22x＝－12(x－22)2＋4，∵－12＜0，∴當(dāng)x＝22時(shí)，y有最大值4，∴BF的最大值為4.
類型
一定一動(dòng)型
一定兩動(dòng)型
條件
P是直線l外的定點(diǎn)，H是直線l上的動(dòng)點(diǎn)
M是∠BAC內(nèi)部的定點(diǎn)，N，P分別是AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)
圖示
結(jié)論
線段PH是點(diǎn)P到直線l的最短距離
PM＋PN的最小值為M'N的長
類型
兩定點(diǎn)＋一動(dòng)點(diǎn)型
一定點(diǎn)＋兩動(dòng)點(diǎn)型
兩定點(diǎn)＋定長型
條件
異側(cè)
同側(cè)
P是∠AOB內(nèi)部的定點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)
A，B是定點(diǎn)，M，N分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且MN⊥l1
A，B是定點(diǎn)，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)
圖示
結(jié)論
PA＋PB的最小值為AB的長
PA＋PB的最小值為AB'的長
△PMN周長的最小值為P'P″的長
AM＋MN＋BN的最小值為A'B＋MN的長
條件
情況一（同側(cè)型）：如圖①②，線段AB長度為定值，點(diǎn)C，D為AB同側(cè)兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB＝∠ADB
情況二（異側(cè)型）：如圖③，由點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形中，∠ADC＋∠ABC＝180°
類型
圖①
圖②
圖③
結(jié)論
A，B，C，D四點(diǎn)共圓

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