2. 與折疊有關(guān)的計算常用性質(zhì)
(1)折疊問題的本質(zhì)是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形.
①線段相等：C'D＝ ，BC＝ ；
②角度相等：∠1＝ ，∠3＝ ；
③全等關(guān)系：△BC'D≌ .
(2)折痕可看作垂直平分線(對應(yīng)的兩點之間的連線被折痕垂直平分，即BD垂直平分CC')；
(3)折痕可看作角平分線.
二階 方法訓(xùn)練
方法解讀
1.利用折疊出現(xiàn)的直角三角形求解
情形：折疊中頂點落在邊上得到直角三角形
結(jié)論：在Rt△CFB'中，利用勾股定理，得x2＝a2＋(b－x)2
方法總結(jié)：由于矩形的四個內(nèi)角均為直角，故折疊后易出現(xiàn)與設(shè)問相關(guān)聯(lián)的直角三角形，可利用勾股定理或三角函數(shù)列方程求解
方法一 利用折疊出現(xiàn)的直角三角形求解(2020.9)
例1 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF折疊，點B的對應(yīng)點B'恰好落在CD邊的中點處，則BF的長為 .
例1題圖
變式1 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D，E分別是AB，BC上的點.將△ACE沿AE折疊，使點C的對應(yīng)點落在點D處，則△BDE的面積為 .
變式1題圖
方法解讀
2.利用折疊出現(xiàn)的等腰三角形求解
情形：折疊中利用角平分線(折痕)性質(zhì)得到等腰三角形
結(jié)論：△BFD為等腰三角形，DF＝BF＝x，AF＝b－x
方法總結(jié)：當(dāng)折痕過特殊四邊形對邊或?qū)蔷€時，可利用角平分線(折痕)與平行線(特殊四邊形的對邊)的性質(zhì)得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)求解
方法二 利用折疊出現(xiàn)的等腰三角形求解
例2 如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，BC＝8，將△BCD沿BD翻折得到△BED，BE交AD于點F，則AF＝ .
例2題圖
變式2 如圖，已知矩形紙片的寬為2，將矩形紙片沿MN折疊，得到重合部分△AMN，若∠MAN＝45°，則△AMN的面積為 .
變式2題圖
方法解讀
3.利用折疊出現(xiàn)的全等、相似求解
情形：折疊中常出現(xiàn)的全等、相似模型
(1)如圖①，正8字、斜A字模型
圖①
結(jié)論：①“正8字”：△AFE∽△CFD；②“斜A字”：△AFE∽△ABC
(2)如圖②，一線三垂直模型
圖②
結(jié)論：①△BEF∽△CFD；
②△AED≌△FED
方法總結(jié)：結(jié)合折疊的性質(zhì)，找出與設(shè)問相關(guān)聯(lián)的全等三角形或相似三角形，再利用全等、相似三角形的性質(zhì)求解
方法三 利用折疊出現(xiàn)的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3)，2021.23]
例3 如圖是一張矩形紙片，點E在AB邊上，把△BCE沿直線CE折疊，使點B落在對角線AC上的點F處，連接DF.若點E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2.
(1)DF＝ ；
(2)BE＝ .
例3題圖
例4 如圖，E是矩形ABCD中CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊得到△BFE，點C的對應(yīng)點F恰好落在AD上.若sin ∠DFE＝23，則tan ∠EBC的值為 .
例4題圖
變式3 (2024河南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標(biāo)為(－2，0)， 點E在邊CD上.將△BCE沿BE折疊，點C落在點F處.若點F 的坐標(biāo)為(0，6)，則點E的坐標(biāo)為 .
變式3題圖
三階 綜合應(yīng)用
1. (2020廣東9題3分)如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFD＝60°.若將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則BE的長度為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
第1題圖
2. (2024佛山二模)在如圖所示的矩形ABCD中，M為CD中點，將△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝15°，則∠ABE＝ .
第2題圖
3. 如圖，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE.
(1)求證：△ADE≌△CED；
(2)求證：△DEF是等腰三角形.
第3題圖
4. (2021廣東23題8分)如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.
第4題圖
一階 基礎(chǔ)技能
①CD，BC'；②∠2，∠4；③△BCD
二階 綜合應(yīng)用
例1 5 【解析】∵AB＝6，且B'是CD邊的中點，∴B'C＝12CD＝12AB＝3，由折疊可知，B'F＝BF，設(shè)BF＝B'F＝x，則CF＝9－x.在Rt△CFB'中，∵B'F2＝CF2＋B'C2，∴x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴BF＝5.
變式1 6 【解析】由折疊可知，CE＝DE，AC＝AD＝6，∠ACB＝∠ADE＝90°，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4，∠BDE＝180°－∠ADE＝180°－90°＝90°，設(shè)CE＝x，則DE＝x，BE＝8－x，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得，BE2＝BD2＋DE2，∴(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴DE＝3，∴S△BDE＝12DE·BD＝12×3×4＝6.
例2 3 【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，由折疊性質(zhì)得∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BF＝DF，設(shè)AF＝x，則DF＝BF＝AD－AF＝8－x，在Rt△ABF中，BF2＝AB2＋AF2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝3.
變式2 22 【解析】如解圖，過點M作MP⊥AN于點P，∵紙條為矩形，∴MB∥AN，∴∠1＝∠ANM，由折疊的性質(zhì)可知∠1＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ANM，∴△AMN是等腰三角形.∵∠MAN＝45°，MP＝2，∴AN＝AM＝MPsin45°＝222＝22，∴S△AMN＝12AN·MP＝12×22×2＝22.
變式2題解圖
例3 (1)2； 【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠B＝∠DAE＝90°，由折疊的性質(zhì)得，CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠FCD＝90°，∴∠ADE＝∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF＝AE＝2.
(2)5－1 【解析】∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AEDE＝EFEA，∴22+EF＝EF2，∴EF＝5－1(負(fù)值已舍去)，∴BE＝EF＝5－1.
一題多解法
(1)∵AB∥CD，∴S△ACD＝S△DCE，∴S△ACD－S△DCF＝S△DCE－S△DCF，∴S△ADF＝S△ECF，由題意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，∴S△ACD－S△ADF＝S△ABC－S△CEF＝S△ABC－S△BCE，∴S△DCF＝S△ACE，∴12DF·CF＝12AE·BC.∵CF＝BC，∴DF＝AE＝2；
(2)設(shè)BE＝x，∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD＝EFDF，∴22＋x＝x2，解得x＝5－1(負(fù)值已舍去)，∴BE＝5－1.
例4 55 【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°.由折疊的性質(zhì)可知，∠BFE＝∠C＝90°，∠EBF＝∠EBC，EF＝EC，∴∠ABF＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABF，∴△DFE∽△ABF，∴EFFB＝DFAB.∵sin∠DFE＝DEEF＝23，∴設(shè)DE＝2a，則EF＝3a，∴AB＝CD＝5a.在Rt△DEF中，由勾股定理，得DF＝5a，∴EFFB＝DFAB＝5a5a＝55，∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝EFFB＝55.
變式3 (3，10) 【解析】由折疊的性質(zhì)可知，BC＝BF，∵點A的坐標(biāo)(－2，0)，點F的坐標(biāo)為(0，6)，∴OA＝2，OF＝6，如解圖，設(shè)CD與y軸交于點P，設(shè)正方形的邊長為a，則OB＝a－2，OP＝BF＝a，在Rt△BOF中，OB2＋OF2＝BF2，即62＋(a－2)2＝a2，解得a＝10，∴OP＝10，OB＝8，∴PF＝OP－OF＝4，∵∠EFP＋∠FEP＝90°，∠EFP＋∠BFO＝90°，∴∠FEP＝∠BFO，∵∠EPF＝∠FOB＝90°，∴△EFP∽△FBO，∴PEOF＝PFOB，∴PE6＝48，解得PE＝3，∴點E的坐標(biāo)為(3，10).
變式3題解圖
三階 綜合應(yīng)用
1. D 【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∵∠EFD＝60°，∴∠BEF＝60°，由折疊的性質(zhì)知，∠B'EF＝∠BEF＝60°，∴∠AEB'＝60°，∴∠AB'E＝30°.設(shè)BE＝B'E＝x，則AE＝3－x，在Rt△AEB'中，3－x＝12x，解得x＝2，∴BE＝2.
2. 40° 【解析】如解圖，延長BE交AD于點N，設(shè)BN交AM于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，∵M(jìn)為CD中點，∴DM＝MC，∴△ADM≌△BCM，∴∠DAM＝∠CBM，∵△BME是由△BMC翻折得到，∴∠CBM＝∠EBM＝12(90°－∠ABE)，∵∠DAM＝∠CBM＝∠MBE，∠AON＝∠BOM，∴∠OMB＝∠ANB＝90°－∠ABE，在△MBE中，∠EMB＋∠EBM＝90°，∴∠AME＋(90°－∠ABE)＋12(90°－∠ABE)＝90°，整理得32∠ABE＝60°，∴∠ABE＝40°.
第2題解圖
3. 證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
由折疊的性質(zhì)可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD，
在△ADE和△CED中，
AD＝CEAE＝CDDE＝ED，
∴△ADE≌△CED(SSS)；
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形.
4. 解：如解圖，延長BF交CD于點H，連接EH.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠EAB＝90°，
∵△FBE由△ABE沿BE折疊得到，
∴EA＝EF，∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴∠D＝∠EFB＝∠EFH＝90°，
∵E為AD的中點，
∴EA＝ED，
∴ED＝EF，
在Rt△EDH和Rt△EFH中，
ED＝EFEH＝EH，
∴Rt△EDH≌Rt△EFH(HL)，
∴∠DEH＝∠FEH，
又∵∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEH＋∠AEB＝∠FEH＋∠FEB＝12×180°＝90°，
∴∠ABE＝∠DEH，
∵∠D＝∠BAE＝90°，
∴△DHE∽△AEB，
∴DHAE＝DEAB＝12，
∴DH＝14，
∵CH∥AB，
∴△HGC∽△BGA，
∴CGAG＝CHAB＝34，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝2，
∴CG＝37AC＝327.
第4題解圖

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