考點一
銳角的三角函數
1.銳角三角函數
在中,,則的三角函數為
2.特殊角的三角函數值
【題型1 求角的三角函數值】
【例1】(2024·四川資陽·中考真題)第14屆國際數學教育大會(JCME?14)會標如圖1所示,會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”,如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1:3,則sin∠ABE=( )
A.55B.35C.45D.255
【變式1-1】(2024·云南·中考真題)在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,則tanA=( )
A.45B.35C.43D.34
【變式1-2】(2024·內蒙古包頭·中考真題)如圖,在矩形ABCD中,E,F是邊BC上兩點,且BE=EF=FC,連接DE,AF,DE與AF相交于點G,連接BG.若AB=4,BC=6,則sin∠GBF的值為( )
A.1010B.31010C.13D.23
【變式1-3】(2024·四川達州·中考真題)如圖,由8個全等的菱形組成的網格中,每個小菱形的邊長均為2,∠ABD=120°,其中點A,B,C都在格點上,則tan∠BCD的值為( )
A.2B.23C.32D.3
【題型2 由角的三角函數值求邊長】
【例2】(2024·山東泰安·中考真題)如圖,AB是⊙O的直徑,AH是⊙O的切線,點C為⊙O上任意一點,點D為AC的中點,連接BD交AC于點E,延長BD與AH相交于點F,若DF=1,tanB=12,則AE的長為 .

【變式2-1】(2023·四川南充·中考真題)如圖,小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處,再向正北方向走到C處,已知∠BAC=α,則A,C兩處相距( )

A.xsinα米B.xcsα米C.x?sinα米D.x?csα米
【變式2-2】(2023·山東·中考真題)如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,點D,E在邊BC上,若∠DAE=30°,tan∠EAC=13,則BD= .

【變式2-3】(2023·四川巴中·中考真題)如圖,已知正方形ABCD和正方形BEFG,點G在AD上,GF與CD交于點H,tan∠ABG=12,正方形ABCD的邊長為8,則BH的長為 .

【題型3 求特殊角的三角函數值】
【例3】(2020·四川攀枝花·中考真題)計算:sin60°= .
【變式3-1】(2025·上海閔行·一模)用含特殊銳角的三角比的式子表示:2= .
【變式3-2】(2024·上?!つM預測)正二十邊形中心角的正弦值為
【變式3-3】(2024·天津·中考真題)2cs45°?1的值等于( )
A.0B.1C.22?1D.2?1
【題型4 含特殊角的三角函數值的混合運算】
【例4】(2024·廣東深圳·中考真題)計算:?2?cs45°+π?3.140+1?2+14?1.
【變式4-1】(2024·四川遂寧·中考真題)計算:sin45°+22?1+4+12021?1.
【變式4-2】(2024·黑龍江大慶·中考真題)求值:3?2?2024+π0+tan60°.
【變式4-3】(2024·四川廣元·中考真題)計算:2024?π0+3?2+tan60°?12?2.
【題型5 由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀】
【例5】(2024·安徽蕪湖·一模)在△ABC中,2csA?22+1?tanB=0 ,則△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形
【變式5-1】在△ABC中,∠C,∠B為銳角,且滿足sinC?22+(32-csB)2=0,則∠A的度數為( )
A.100°B.105°C.90°D.60°
【變式5-2】在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,若sinA=32,csB=12,則△ABC的形狀為 三角形.
【變式5-3】(2021·貴州黔西·模擬預測)在△ABC中,若∠A,∠B都是銳角,且sinA=12,csB=12,則△ABC的形狀是( )
A.鈍角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.直角三角形
【題型6 利用三角函數間的關系求解】
【例6】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)求證:sin2B+cs2B=1.
(2)若sinB+csB=75,求sinB?csB的值.
【變式6-1】計算:sin248°+sin242°?tan44°?tan45°?tan46°= .
【變式6-2】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D在邊AC上,滿足BC2=CD?AC,若sin∠A=csα0°

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