考點(diǎn)一
一元二次方程
1.一元二次方程
（1）一元二次方程的定義
等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
注意一下幾點(diǎn)：
①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)就是2；③就是整式方程.
（2）一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次項，a就是二次項系數(shù)；bx就是一次項，b就是一次項系數(shù)；c就是常數(shù)項.
（3）一元二次方程的根
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定義就是解方程過程中驗(yàn)根的依據(jù).
直接開平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊就是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方.一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解的x1=,x2=；
（2）直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法.
（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根就是零；負(fù)數(shù)沒有平方根.
（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟就是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根.
配方法解一元二次方程
通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.
配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開.
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）方程兩邊都除以二次項系數(shù)；（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；（4） 若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解.
公式法解一元二次方程
（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求的方程的解，這種解方程的方法叫做公式法.
（2）一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程.
（3）公式法解一元二次方程的具體步驟：
①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值； ②確定公式中a,b,c的值，注意符號；
③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a(bǔ),b,c與b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實(shí)數(shù)根.
一元二次方程根的判別式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4a.
一元二次方程根的判別式
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根.
因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法.
（2）因式分解法的詳細(xì)步驟：
①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；
②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式與完全平方公式；
③令每一個因式分別為零，的到一元一次方程；
④解一元一次方程即可的到原方程的解.
7. 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q；
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,則有x1+x2=, x1x2=.
【題型1 由一元二次方程的概念及其解求字母的值】
【例1】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程a+2x2+x+a2?4=0的一個根是x=0，則a的值為（ ）
A．2B．?2C．2或?2D．12
【變式1-1】（2024·江蘇南京·中考真題）寫出兩個一元二次方程，使每個方程都有一個根為0，并且二次項系數(shù)都為1： ．
【變式1-2】（2024·廣東深圳·中考真題）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【變式1-3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實(shí)數(shù)a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法運(yùn)算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若關(guān)于x的方程【x,x+1】★mx=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（ ）
A．m14C．m>14且m≠0D．m0,例如：?2?4=(?2)2?4=0，2?3=?2+3=1．若x?1=?34，則x的值為 ．
【變式2-3】（2024·湖北隨州·中考真題）將關(guān)于x的一元二次方程x2?px+q=0變形為x2=px?q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3=x?x2=x(px?q)=…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2?x?1=0，且x>0，則x4?2x3+3x的值為（ ）
A．1?5B．3?5C．1+5D．3+5
【題型3 由一元二次方程判斷根的情況】
【例3】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?mx?n2+mn+1=0，其中m,n滿足m?2n=3，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A．無實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D．無法確定
【變式3-1】（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．x2?6x=0B．x2?9=0
C．x2?6x+6=0D．x2?6x+9=0
【變式3-2】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）對于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2?ab，例如3?2=22?3×2=?2，則關(guān)于x的方程(k?3) ?x=k?1的根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定
【變式3-3】（2024·河北·中考真題）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0a≠0時，只抄對了a=1，b=4，解出其中一個根是x=?1，他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c的值小2，則原方程的根的情況（ ）
A．不存在實(shí)數(shù)根B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
C．有一個根是x=?1D．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
【題型4 由根的情況判定字母的取值范圍】
【例4】（2024·廣東廣州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2k?2x+k2?1=0有兩個實(shí)數(shù)根，則(k?1)2?(2?k)2的化簡結(jié)果是（ ）
A．?1B．1C．?1?2kD．2k?3
【變式4-1】（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線y=x2?x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，則c的取值范圍是 ．
【變式4-2】（2024·江蘇南通·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值： ．
【變式4-3】（2024·四川遂寧·中考真題）我們規(guī)定：對于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有[a,b]?[c,d]=ac?bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：[3,2]?[5,1]=3×5?2×1=13．
(1)求[?4,3]?[2,?6]的值；
(2)已知關(guān)于x的方程[x,2x?1]?[mx+1,m]=0有兩個實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．
【題型5 利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值】
【例5】（2024·江西·中考真題）一元二次方程x2?4x+2=0的兩根為x1,x2 ,則x12?4x1+2x1x2的值為 .
【變式5-1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是?2和?5．則原來的方程是( )
A．x2+6x+5=0B．x2?7x+10=0
C．x2?5x+2=0D．x2?6x?10=0
【變式5-2】（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x2+2024x?4=0的兩個解，則a2+2023a?b的值為 ．
【變式5-3】（2024·四川達(dá)州·中考真題）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，則mn+n+1n的值為 ．
【題型6 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值】
【例6】（2024·山東日照·中考真題）已知，實(shí)數(shù)x1,x2x1≠x2是關(guān)于x的方程kx2+2kx+1=0k≠0的兩個根，若1x1+1x2=2，則k的值為（ ）
A．1B．?1C．12D．?12
【變式6-1】（2024·四川樂山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?8x+m=0兩根為x1、x2，且x1=3x2，則m的值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
【變式6-2】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2?m+2x+m4=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．若1x1+1x2=4m，則m的值是（ ）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在
【變式6-3】（2024·湖北武漢·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2?4m?1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+2x2+2?2x1x2=17，則m=（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
考點(diǎn)二
一元二次方程的應(yīng)用
1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：
審：就是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它們之間的等量關(guān)系.
設(shè)：就是指設(shè)元，也就就是設(shè)出未知數(shù).
列：就就是列方程，這就是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就的到含有未知數(shù)的等式，即方程.
解：就就是解方程，求出未知數(shù)的值.
驗(yàn)：就是指檢驗(yàn)方程的解就是否保證實(shí)際問題有意義，符合題意.
答：寫出答案.
列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型
數(shù)字問題
三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.
三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2.
三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個三位數(shù)就是100a+10b+c、
（2） 增長率問題
設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a（1）2=b.
（3）利潤問題
利潤問題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率
（4）圖形的面積問題
根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程.
【題型7 平均增長（下降）率問題】
【例7】（2024·山東淄博·中考真題）“我運(yùn)動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高．某市參加健身運(yùn)動的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
(1)求該市參加健身運(yùn)動人數(shù)的年均增長率；
(2)為支持市民的健身運(yùn)動，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數(shù)．
【變式7-1】（2024·重慶·中考真題）重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運(yùn)行了200架次，預(yù)計第三季度低空飛行航線安全運(yùn)行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個季度安全運(yùn)行架次的平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為 ．
【變式7-2】（2024·山東·中考真題）某省加快新舊動能轉(zhuǎn)換，促進(jìn)企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展．某企業(yè)一月份的營業(yè)額是1000萬元，月平均增長率相同，第一季度的總營業(yè)額是3990萬元．若設(shè)月平均增長率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【變式7-3】（2024·山東濱州·中考真題）某商品原來每件的售價為60元，經(jīng)過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同．
（1）求該商品每次降價的百分率；
（2）若該商品每件的進(jìn)價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于200元，那么第一次降價至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價？
【題型8 循環(huán)賽問題】
【例8】（2024·廣東中山·一模）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少小分支？
【變式8-1】（2024·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（ ）
A．x+1+x=36 B．21+x=36 C．1+x+x1+x=36D．1+x+x2=36
【變式8-2】（2024·黑龍江·中考真題）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（ ）
A．8B．10C．7D．9
【變式8-3】（2024·河北保定·一模）在一次同學(xué)聚會中，每兩名同學(xué)之間都互送了一件禮物，所有同學(xué)共送了90件禮物，共有多少名同學(xué)參加了這次聚會?
【題型9 與漲價、降價有關(guān)的商品利潤問題】
【例9】（2024·遼寧朝陽·中考真題）某商店購進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當(dāng)每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？
(3)設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【變式9-1】（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
(2)全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
【變式9-2】（2024·湖北荊州·中考真題）某企業(yè)投入60萬元（只計入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝24－x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件．
(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤w（萬元）與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該產(chǎn)品第一年利潤為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產(chǎn)品第一年的售價；②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤最少是多少萬元？
【變式9-3】（2024·貴州畢節(jié)·中考真題）北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進(jìn)貨價）
(1)網(wǎng)店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；
(2)第一次購進(jìn)的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進(jìn)貨價和銷售價都不變），且進(jìn)貨總價不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
(3)冬奧會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？
【題型10 幾何圖形的面積問題】
【例10】（2024·山東東營·中考真題）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到650 m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．
【變式10-1】（2024·黑龍江·中考真題）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（ ）

A．5mB．70mC．5m或70mD．10m
【變式10-2】（2024·江蘇·中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為a cm、b cm、c cm、d cm．若紙張大小為16cm×10cm，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的70%，則需如何設(shè)置頁邊距？

【變式10-3】（2024·遼寧沈陽·中考真題）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．
(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．
【新考向：新考法】
1．（2024·浙江杭州·中考真題）設(shè)一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四組條件中選擇其中一組b,c的值，使這個方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，說明理由，并解這個方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=?1；④b=2,c=2．
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．
2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是 ．
3．（2024·湖南張家界·中考真題）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多 步．
4．（2024·寧夏·中考真題）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方程x2+5x?14=0即x(x+5)=14為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是(x+x+5)2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x=2．那么在下面右邊三個構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，能夠說明方程x2?4x?12=0的正確構(gòu)圖是 ．（只填序號）
5．（2024·湖北十堰·中考真題）對于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a?b=a2+b2?ab，若x?x?1=3，則x的值為 ．
【新考向：新趨勢】
1.（2024·福建·中考真題）空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．
（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；
（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．

2．（2024·吉林·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x+32=c有實(shí)數(shù)根，則c的值可以為 （寫出一個即可）．
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b?a=4，c=20，則每個直角三角形的面積為 ．

4．（2024·江蘇常州·中考真題）第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-14）會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME-14的舉辦年份．
(1)八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是_______；
(2)小華設(shè)計了一個n進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求n的值．
5．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件．
(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該商品，每件售價應(yīng)定為多少元？
(2)每件售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【新考向：新情境】
1．（2024·湖南郴州·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，則正方形ADOF的邊長是（ ）
A．2B．2C．3D．4
2．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中有這樣題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會．問甲、乙各行幾何？”大意是說： 甲、乙兩人同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．問甲、乙各走了多少步？請問乙走的步數(shù)是（ ）
A．36B．26C．24.5D．10.5
3．（2024·福建龍巖·中考真題）現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b=a2?3a+b，如：3★5=32?3×3+5，若x★2=6，則實(shí)數(shù)x的值是
A．?4或?1B．4或?1C．4或?2D．?4或2
4.（2024·上?！ぶ锌颊骖}）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為 ．
【新考向：跨學(xué)科】
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）電流通過導(dǎo)線時會產(chǎn)生熱量，電流I（單位：A）、導(dǎo)線電阻R（單位：Ω）、通電時間t（單位：s）與產(chǎn)生的熱量Q（單位：J）之間滿足關(guān)系式Q=I2Rt．已知導(dǎo)線的電阻為4Ω，1s的時間導(dǎo)線產(chǎn)生64J的熱量，則通過導(dǎo)線的電流為（ ）
A．2 AB．4 AC．8 AD．16 A
2．（2024·湖北·模擬測試）如圖，根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過xs離地面的高度（單位：m）為10x?4.9x2．根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，物體經(jīng)過 s落回地面．（結(jié)果保留小數(shù)后兩位）
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）小明利用杠桿原理稱藥品質(zhì)量，其知識是“杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂”．如圖，當(dāng)質(zhì)量為m克的藥品分別放在左盤、右盤時，另外一盤分別放了重20克、5克的砝碼時杠桿平衡，則m的值為 ．
1．（2024·山東德州·中考真題）把多項式x2?3x+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（ ）
A．x?32?5B．x?322+74
C．x?322+254D．x+322+74
2．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x．列方程為（ ）
A．72001+x2=8450B．72001+2x=8450
C．84501?x2=7200D．84501?2x=7200
3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個1m寬的門（由其它材料制成），則BC長為（ ）
A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2?10x+21=0的兩個根，則這個三角形的周長為（ ）
A．17或13B．13或21C．17D．13
5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是?2和?5．則原來的方程是( )
A．x2+6x+5=0B．x2?7x+10=0
C．x2?5x+2=0D．x2?6x?10=0
6．（2024·四川南充·中考真題）當(dāng)2≤x≤5時，一次函數(shù)y=(m+1)x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．?3或0B．0或1C．?5或?3D．?5或1
7．（2024·四川德陽·中考真題）寬與長的比是5?12的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形ABCD是黃金矩形．(AB

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題06 一元二次方程及其應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題06 一元二次方程及其應(yīng)用（2份，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題06一元二次方程及其應(yīng)用原卷版doc、中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題06一元二次方程及其應(yīng)用解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型訓(xùn)練專題06 二次根式（2份，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型訓(xùn)練專題06 二次根式（2份，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型訓(xùn)練專題06二次根式原卷版doc、中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型訓(xùn)練專題06二次根式解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共18頁， 歡迎下載使用。

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講義第06講 分式方程（2份，原卷版+解析版）：

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講義第06講 分式方程（2份，原卷版+解析版），文件包含2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講義第06講分式方程原卷版docx、2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講義第06講分式方程解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專題06 分式與分式方程【考點(diǎn)精講】（2份打包，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專題06 分式與分式方程【考點(diǎn)精講】（2份打包，原卷版+解析版）
【備戰(zhàn)2024年】中考一輪復(fù)習(xí) 初中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)精講精煉 第2講 一元二次方程（考點(diǎn)精析+真題精講+題型突破+專題精講）（原卷+解析卷）.zip

【備戰(zhàn)2024年】中考一輪復(fù)習(xí) 初中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)精講精煉 第2講 一元二次方程（考點(diǎn)精析+真題精講+題型突破+專題精講）（原卷+解析卷）.zip
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題06 分式（2份打包，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題06 分式（2份打包，原卷版+解析版）
考點(diǎn)06 一元二次方程及其應(yīng)用-備戰(zhàn)2023屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理（原卷版）

考點(diǎn)06 一元二次方程及其應(yīng)用-備戰(zhàn)2023屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理（原卷版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部