考點(diǎn)一
一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、一次函數(shù)和正比例函數(shù)
1．定義：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函數(shù)，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx也叫正比例函數(shù)．正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，具有一次函數(shù)的性質(zhì)．
2．一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系
一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是過(guò)點(diǎn)（0，b）與直線y=kx平行的一條直線。它可以由直線y=kx平移得到．它與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為（0，b）．
二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
三、一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系
四、一次函數(shù)圖象的平移
【拓展】
同一平面直角坐標(biāo)系中兩直線，的位置關(guān)系
【題型1 一次函數(shù)的圖象】
【例1】（2024·安徽·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+a2與y=a2x+a的圖像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x?3的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1=ax+b(a≠0)與y2=mx+n(m≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．y1隨x的增大而增大
B．b0B．b1b2>0C．k1+k20)個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向______（填“左”或“右”）（k>0時(shí)）或?qū)⑺騙_____（填“左”或“右”）（k0)個(gè)單位長(zhǎng)度，且m，n，k滿足等式_______．
【題型6 一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系】
【例6】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線y=﹣12x+b﹣1上，則常數(shù)b=（ ）
A．12B．2C．﹣1D．1
【變式6-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖所示，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)（2，0），與y軸相交于點(diǎn)（0，4），結(jié)合圖象可知，關(guān)于x的方程ax+b=0的解是 ．
【變式6-2】（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點(diǎn)P（a，2），則關(guān)于x的不等式x+1≤mx+n的解集為 ．

【變式6-3】（2024·陜西·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?x+4與y=2x+m相交于點(diǎn)P(3,n)，則關(guān)于x，y的方程組x+y?4=02x?y+m=0的解為（ ）
A．x=?1y=5B．x=1y=3C．x=3y=1D．x=9y=?5
考點(diǎn)二
一次函數(shù)的應(yīng)用
一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
1.一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的求解思路：
①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；
②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤(rùn)、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。
2.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
①審題，設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的變量，明確變量x和y；
②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；
④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
⑤寫(xiě)出答案。
3.利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
①觀察圖象，獲取有效信息；
②對(duì)獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；
③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具(如函數(shù)、方程、不等式等)，通過(guò)建模解決問(wèn)題。
4.求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計(jì)算出來(lái)，再進(jìn)行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類(lèi)討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
【題型7 一次函數(shù)的應(yīng)用之行程問(wèn)題】
【例7】（2024·山東聊城·中考真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車(chē)從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車(chē)從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時(shí)刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為（ ）

A．8:28B．8:30C．8:32D．8:35
【變式7-1】（2024·遼寧阜新·中考真題）快遞員經(jīng)常駕車(chē)往返于公司和客戶之間．在快遞員完成某次投遞業(yè)務(wù)時(shí)，他與客戶的距離s(km)與行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（因其他業(yè)務(wù)，曾在途中有一次折返，且快遞員始終勻速行駛），那么快遞員的行駛速度是 km/h．
【變式7-2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，甲車(chē)從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車(chē)從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，乙車(chē)比甲車(chē)早27小時(shí)到達(dá)目的地．甲、乙兩車(chē)之間的路程ykm與兩車(chē)行駛時(shí)間xh的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問(wèn)題：
(1)甲車(chē)行駛的速度是_____km/h，并在圖中括號(hào)內(nèi)填上正確的數(shù)；
(2)求圖中線段EF所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出兩車(chē)出發(fā)多少小時(shí)，乙車(chē)距B地的路程是甲車(chē)距B地路程的3倍．
【變式7-3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）甲、乙兩貨車(chē)分別從相距225km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車(chē)從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來(lái)卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車(chē)沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車(chē)到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車(chē)晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車(chē)距A地的距離ykm與行駛時(shí)間xh之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：
(1)甲貨車(chē)到達(dá)配貨站之前的速度是 km/h，乙貨車(chē)的速度是 km/h；
(2)求甲貨車(chē)在配貨站卸貨后駛往B地的過(guò)程中，甲貨車(chē)距A地的距離ykm與行駛時(shí)間xh之間的函數(shù)解析式；
(3)直接寫(xiě)出甲、乙兩貨車(chē)在行駛的過(guò)程中，出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等．
【題型8 一次函數(shù)的應(yīng)用之銷(xiāo)售問(wèn)題】
【例8】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示：
該超市購(gòu)進(jìn)甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購(gòu)進(jìn)甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．
(1)求a,b的值；
(2)該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共150千克進(jìn)行銷(xiāo)售，其中甲種水果的數(shù)量不少于50千克，且不大于120千克．實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，若甲種水果超過(guò)80千克，則超過(guò)部分按每千克降價(jià)5元銷(xiāo)售．求超市當(dāng)天銷(xiāo)售完這兩種水果獲得的利潤(rùn)y（元）與購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量x的取值范圍），并求出在獲得最大利潤(rùn)時(shí)，超市的進(jìn)貨方案以及最大利潤(rùn)．
【變式8-1】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專(zhuān)屬漢字“辰”為名．某廠家生產(chǎn)大小兩種型號(hào)的“龍辰辰”，大號(hào)“龍辰辰”單價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”單價(jià)貴15元，且用2400元購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為 元．某網(wǎng)店在該廠家購(gòu)進(jìn)了兩種型號(hào)的“龍辰辰”共60個(gè)，且大號(hào)“龍辰辰”的個(gè)數(shù)不超過(guò)小號(hào)“龍辰辰”個(gè)數(shù)的一半，小號(hào)“龍辰辰”售價(jià)為60元，大號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)多30%．若兩種型號(hào)的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為 元．
【變式8-2】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）隨著新能源汽車(chē)的發(fā)展，東營(yíng)市某公交公司計(jì)劃用新能源公交車(chē)淘汰“冒黑煙”較嚴(yán)重的燃油公交車(chē)．新能源公交車(chē)有A型和B型兩種車(chē)型，若購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)3輛，B型公交車(chē)1輛，共需260萬(wàn)元；若購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)2輛，B型公交車(chē)3輛，共需360萬(wàn)元．
(1)求購(gòu)買(mǎi)A型和B型新能源公交車(chē)每輛各需多少萬(wàn)元？
(2)經(jīng)調(diào)研，某條線路上的A型和B型新能源公交車(chē)每輛年均載客量分別為70萬(wàn)人次和100萬(wàn)人次．公司準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10輛A型、B型兩種新能源公交車(chē)，總費(fèi)用不超過(guò)650萬(wàn)元．為保障該線路的年均載客總量最大，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案，并求出年均載客總量的最大值．
【變式8-3】（2024·黑龍江·中考真題）“中國(guó)人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃投入一筆資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購(gòu)進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬(wàn)元．
（1）求購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬(wàn)元？
（2）若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬(wàn)元又不超過(guò)12萬(wàn)元，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具m件，則有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？哪種購(gòu)買(mǎi)方案需要的資金最少，最少資金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于國(guó)家對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價(jià)0.7萬(wàn)元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價(jià)0.2萬(wàn)元，該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃將節(jié)省的資金全部用于再次購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具（可以只購(gòu)買(mǎi)一種），請(qǐng)直接寫(xiě)出再次購(gòu)買(mǎi)農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？
【題型9 一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：找臨界點(diǎn)】
【例9】（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知y是x的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m，nm0．我們將m≤x≤n稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的“t級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)y=2x，存在m=1，n=2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，2≤y≤4，即t=2，所以1≤x≤2是函數(shù)y=2x的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：
①1≤x≤3是函數(shù)y=?x+4的“1級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；
②0≤x≤2不是函數(shù)y=x2的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；
③函數(shù)y=kxk>0總存在“3級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；
④函數(shù)y=?x2+2x+1不存在“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．
其中正確的為（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【變式9-1】（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)P稱(chēng)為直線EF的“伴隨點(diǎn)”．
例如：如圖1，已知點(diǎn)A1,2，B3,2，P2,2在線段AB上，則點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”．

(1)如圖2，已知點(diǎn)A1,0，B3,0，P是線段AB上一點(diǎn)，直線EF過(guò)G?1,0，T0,33兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P是直線EF的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點(diǎn)A在y軸上且在BC上方，OC=5，點(diǎn)P是△ABC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”．當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)；
(3)如圖4，以A1,0，B2,0，C2,1為頂點(diǎn)的正方形ABCD上始終存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是直線EF：y=?x+b的“伴隨點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍．
【變式9-2】（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，已知點(diǎn)A?2,3，B2,1，直線y=kx+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)P?1,0．試探究：直線與線段AB有交點(diǎn)時(shí)k的變化情況，猜想k的取值范圍是 ．
【變式9-3】（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在PO的延長(zhǎng)線上，使得POQO=12，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱(chēng)點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，A(2,4),B(2,2),P?1,?32是線段AB外一點(diǎn)，Q2,3在PO的延長(zhǎng)線上，且POQO=12，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段AB上，所以點(diǎn)P是線段AB的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．
(1)如圖1，已知圖形W1：線段AB，A2,4，B2,2，在P1?52,?1,P2?1,?1,P3?1,?2中，______是圖形W1的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；
(2)如圖2，已知圖形W2：線段BC，B2,2，C5,2，若直線MN:y=?x+b上存在點(diǎn)P是圖形W2的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，求b的最小值：
(3)如圖3，已知圖形W3：以Tt,1為圓心，半徑為1的⊙T，若以D?1,?2，E?1,1，F(xiàn)2,1為頂點(diǎn)的等腰直角三角形DEF上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形W3的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．
【題型10 一次函數(shù)的整點(diǎn)問(wèn)題】
【例10】（2024·河北·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)為A?8,19，B6,5．
(1)求AB所在直線的解析式；
(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫(huà)：在函數(shù)y=mx+nm≠0,y≥0中，分別輸入m和n的值，使得到射線CD，其中Cc,0．當(dāng)c＝2時(shí)，會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn)P，并沿CD飛行；當(dāng)c≠2時(shí)，只發(fā)出射線而無(wú)光點(diǎn)彈出．
①若有光點(diǎn)P彈出，試推算m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；
②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）時(shí)，線段AB就會(huì)發(fā)光，求此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù)．
【變式10-1】（2024·云南·中考真題）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．?dāng)?shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來(lái)反映空間形式，也可用形來(lái)說(shuō)明數(shù)量關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢(shì)，數(shù)形互化，共同解決問(wèn)題．
同學(xué)們，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問(wèn)題．
在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱(chēng)這樣的點(diǎn)為整點(diǎn)．設(shè)函數(shù)y=(4a+2)x2+(9?6a)x?4a+4（實(shí)數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．
(1)求證：無(wú)論a取什么實(shí)數(shù)，圖象T與x軸總有公共點(diǎn)；
(2)是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式10-2】（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=kx+1(k≠0)與直線x=k，直線y=?k分別交于點(diǎn)A，B，直線x=k與直線y=?k交于點(diǎn)C．
（1）求直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．記線段AB，BC，CA圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．
①當(dāng)k=2時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；
②若區(qū)域W內(nèi)沒(méi)有整點(diǎn)，直接寫(xiě)出k的取值范圍．
【變式10-3】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，已知直線y=tx+2t+2（t>0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，則t的取值范圍是（ ）
A．12≤t

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題10 一次函數(shù)及其應(yīng)用（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（2份，原卷版+解析版）：

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2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講義第11講 一次函數(shù)的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

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