考點(diǎn)一
圓的相關(guān)概念及性質(zhì)
1. 圓的定義
圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以瞧成就是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。
比較圓的兩種定義可知：第一種定義就是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種就是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但就是都說明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。
圓的相關(guān)概念
弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。
?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。
等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
弦就是線段，弧就是曲線，判斷等弧首要的條件就是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才就是等弧，而不就是長(zhǎng)度相等的弧。
圓的對(duì)稱性
圓就是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都就是它的對(duì)稱軸。
垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
垂徑定理的推論：平分弦（不就是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不就是直徑，否則結(jié)論不成立。
弦、弧、圓心角的關(guān)系
弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。
在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。
注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。
圓周角定理
圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。
圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角就是直角，90°的圓周角所對(duì)弦就是直徑。
圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。“同弧或等弧”就是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。
圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)
圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。
圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
【題型1 利用垂徑定理求解】
【例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O的半徑；
(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥OC．（請(qǐng)用兩種證法解答）
【變式1-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（ ）
A．4B．42C．5D．52
【變式1-2】（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A,B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測(cè)出AB=40 cm,CD=10 cm，則圓形工件的半徑為（ ）
A．50 cmB．35 cmC．25 cmD．20 cm
【變式1-3】（2024·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，半圓ACB上的點(diǎn)A，B，C，O均落在格點(diǎn)上．請(qǐng)按下列要求完成作圖：要求一：僅用無刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作圖痕跡．
(1)在圖中作出弧BC的中點(diǎn)D．
(2)連結(jié)AC，作出∠BAC的角平分線．
(3)在AB上作出點(diǎn)P，使得AP=AC．
【題型2 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求解】
【例2】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）【實(shí)際情境】
手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．
【模型建立】
（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．AM=AN，DM=DN．求證：∠AMD=∠AND．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：
①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）
【拓展提升】
（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，AB=BC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．求證：AE=2CD．
【變式2-1】（2024·湖南懷化·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求證：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
【變式2-2】（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
【變式2-3】（2024·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長(zhǎng)分別為a，b，則下列正確的是( )

A．a(chǎn)bD．a(chǎn)，b大小無法比較
【題型3 利用圓周角定理及其推論求解】
【例3】（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF，DF．
(1)求證：BC?DF=BF?CE；
(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF的長(zhǎng)和⊙O的直徑．
【變式3-1】（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．22C．23D．4
【變式3-2】（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于D．則AB+ACAD的值為（ ）
A．2B．3C．22D．23
【變式3-3】（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD=1，則AE的最大值為 ，最小值為 .
【題型4 利用圓內(nèi)接四邊形求角度】
【例4】（2024·湖南·中考真題）如圖所示，四邊形ABCD是半徑為R的⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠ABD=45°，直線l與三條線段CD、CA、DA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F、G．且滿足∠CFE=45°．

(1)求證：直線l⊥直線CE；
(2)若AB=DG；
①求證：△ABC≌△GDE；
②若R=1，CE=32，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
【變式4-1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠E=54°41′，∠F=43°19′，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．42°B．41°20′C．41°D．40°20′
【變式4-2】（2024·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個(gè)外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1:2:4，則∠D= ．
【變式4-3】（2024·貴州六盤水·中考真題）牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上有個(gè)“齊天大圣”守護(hù)洞口的傳說．真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖．
(1)科考隊(duì)測(cè)量出月亮洞的洞寬CD約是28m，洞高AB約是12m，通過計(jì)算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個(gè)月亮，求半徑OC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1m）；
(2)若∠COD=162°，點(diǎn)M在CD上，求∠CMD的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為什么“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂CD上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況．
【題型5 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題】
【例5】（2024·廣西南寧·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=1，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式5-1】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（C不與A、B重合），CH⊥AB，垂足為H，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．若⊙O的半徑是3，則MH長(zhǎng)的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式5-2】（2024·廣西玉林·中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式5-3】（2024·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為 ．

【題型6 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題】
【例6】（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D．若⊙O的半徑為5，AB=4，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．23B．32C．532D．652
【變式6-1】（2024·云南曲靖·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，將BC沿直線BC翻折，使BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，連接OC，CD，BD，過點(diǎn)C的切線與線段BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AD，在PB的另一側(cè)作∠MPB=∠ADC．
(1)判斷PM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若PC=3，求四邊形OCDB的面積．
【變式6-2】（2024·浙江舟山·中考真題）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C，D在AB上，將CD沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知∠AOB=120°，OA=6，則EF的度數(shù)為 ；折痕CD的長(zhǎng)為 ．
【變式6-3】（2024·四川資陽·中考真題）⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．
（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度數(shù)．
【題型7 利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】
【例7】（2024·廣西玉林·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點(diǎn)C作⊙O的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點(diǎn)F，設(shè)∠DAC，∠CEA的度數(shù)分別是αzβ.
(1)用含的代數(shù)式表示β，并直接寫出α的取值范圍；
(2)連接OF與AC交于點(diǎn)O′，當(dāng)點(diǎn)O′是AC的中點(diǎn)時(shí)，求α，β的值.
【變式7-1】（2024·青海西寧·中考真題）以數(shù)軸上的原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的扇形中，圓心角∠AOB=90°，另一個(gè)扇形是以點(diǎn)P為圓心，5為半徑，圓心角∠CPD=60°，點(diǎn)P在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a，如圖．如果兩個(gè)扇形的圓弧部分（AB和CD）相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【變式7-2】（2024·河北·中考真題）推理證明：如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE，CD=3，∠ACB=30°.
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)分別求AB，OE的長(zhǎng)；
(3)填空：如果以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為1，則r的取值范圍為 .
【變式7-3】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）AB與⊙O相切于點(diǎn)A，直線l與⊙O相離，OB⊥l于點(diǎn)B，且OB=5，OB與⊙O交于點(diǎn)P，AP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．
（1）求證：AB=BC；
（2）若⊙O的半徑為3，求線段AP的長(zhǎng)；
（3）若在⊙O上存在點(diǎn)G，使ΔGBC是以BC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．
考點(diǎn)二
與圓有關(guān)的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。
用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑就是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：
點(diǎn)P在圓外,則 d＞r；點(diǎn)P在圓上則d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)則d＜r,反之也成立。
三角形的外接圓與外心
經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。
外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。
3.直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。
直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示
若設(shè)⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：
直線l與⊙O相交則d ＜ r；
直線l與⊙O相切則 d = r；
直線l與⊙O相離則d ＞ r,反之也成立。
切線的判定與性質(zhì)
切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線。
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。
切線的其她性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。
切線長(zhǎng)定理
切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。
注意：切線與切線長(zhǎng)就是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線就是直線，就是不能度量的；切線長(zhǎng)就是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)就是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)就是切點(diǎn)。
三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。
三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。
注意：三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過三角形的頂點(diǎn)與內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。
【題型8 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系】
【例8】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP=5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O上B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙O外D．無法確定
【變式8-1】（2024·廣東深圳·中考真題）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為3，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a，⊙A的半徑為2，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)a

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