知識(shí)回顧
圓的定義：
定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。
與圓有關(guān)的概念：
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等。
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。
垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
垂徑定理的推論：
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題。
微專(zhuān)題
1．（2022?青海）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長(zhǎng)為 m．
2．（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長(zhǎng)為 ．
3．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長(zhǎng)為 ．
第3題 第4題
4．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦AB長(zhǎng)20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為 厘米．
5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長(zhǎng)為 ．
第5題 第6題
6．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個(gè)花壇的面積為 .（結(jié)果保留π）
7．（2022?遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問(wèn)題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長(zhǎng)度．
小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：
信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長(zhǎng)就是北緯28°緯線的長(zhǎng)度；
（參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長(zhǎng)度約為 千米．
8．（2022?黃石）如圖，圓中扇子對(duì)應(yīng)的圓心角α（α＜180°）與剩余圓心角β的比值為黃金比時(shí)，扇子會(huì)顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則β﹣α的度數(shù)是 ．
考點(diǎn)二：圓周角定理：
知識(shí)回顧
圓心角、弦以及弧之間的關(guān)系：
①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。
②推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。
說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧。
圓周角的定義：
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。
圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
圓的內(nèi)接四邊形：
①定義：四個(gè)頂點(diǎn)都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。
②性質(zhì)： = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。
微專(zhuān)題
（2022?襄陽(yáng)）已知⊙O的直徑AB長(zhǎng)為2，弦AC長(zhǎng)為，那么弦AC所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于 ．
10．（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為 ．
第10題 第11題
11．（2022?永州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC＝ 度．
12．（2022?蘇州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠BAC＝28°，則∠D＝ °．
第12題 第13題
13．（2022?湖州）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是 EQ \* jc0 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps16 \ \ad(\s \up 9(⌒),AB)所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是 ．
14．（2022?徐州）如圖，A、B、C點(diǎn)在圓O上，若∠ACB＝36°，則∠AOB＝ ．
第14題 第15題
15．（2022?錦州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC＝130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為 ．
16．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為 ．
第16題 第17題
17．（2022?甘肅）如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，若∠ABC＝110°，則∠ADC＝ °．
考點(diǎn)三：切線
知識(shí)回顧
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離，則有：
①點(diǎn)在圓外?
②點(diǎn)在圓上?
①點(diǎn)在圓內(nèi)?
三角形的外接圓與外心：
經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓。圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫
做三角形的外心。
直線與圓的位置關(guān)系：
設(shè)⊙O的半徑為，圓心O到直線的距離為，直線和圓的三種位置關(guān)系：
①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)。直線和⊙O相離?。
②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。直線和⊙O相切?。
③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線。直線和⊙O相交?。
切線的性質(zhì)：
①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。
③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。
運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問(wèn)題。
切線的判定：
經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。
微專(zhuān)題
18．（2022?常州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，則⊙O的半徑是 ．
第18題 第19題
19．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB＝60°，則AB的長(zhǎng)為 cm．
20．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫(xiě)出來(lái) ．
21．（2022?涼山州）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cs∠ACB的值是 ．
第21題 第22題
22．（2022?資陽(yáng)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AD．若∠B＝35°，則∠DAC的度數(shù)是 度．
23．（2022?衢州）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)BC．若∠A＝40°，則∠C的度數(shù)為 ．
第23題 第24題
24．（2022?鹽城）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠BAD＝35°，則∠C＝ °．
25．（2022?上海）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為 ．
26．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps20 \ \ad(\s \up 9(⌒),AmB)上，且與點(diǎn)A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為 °．
27．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A．D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為 ．
第27題 第28題
28．（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與⊙O相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為 cm．
29．（2022?湖北）如圖，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，AB是一條弦，點(diǎn)C是 EQ \* jc2 \* "Fnt:仿宋" \* hps20 \ \ad(\s \up 9(⌒),APB)上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，AD交⊙O于點(diǎn)E，CE與AB交于點(diǎn)F，且BD∥CE．給出下面四個(gè)結(jié)論：
①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF?AB；④BD為⊙O的切線．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
考點(diǎn)四：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
知識(shí)回顧
相交弦定理：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
幾何語(yǔ)言：若弦交于點(diǎn)，則。
推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。
幾何語(yǔ)言：若是直徑，垂直于點(diǎn)，則。
弦切角定理：
（1）弦切角的定義：如圖像∠ACP這樣，頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半。等于這條弧所對(duì)的圓周角。即∠PCA=∠PBC。
3. 切線長(zhǎng)定理：
（1）切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。
4. 切割線定理：
從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
幾何語(yǔ)言：
∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線
∴PT2=PA?PB（切割線定理）。
推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
幾何語(yǔ)言：
∵PBA，PDC是⊙O的割線
∴PD?PC=PA?PB
由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD。
5. 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：
內(nèi)切圓與內(nèi)心的概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。
微專(zhuān)題

30．（2022?恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π） ．
31．（2022?泰州）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AC、AB邊相交于點(diǎn)D、E．若DE＝CD+BE，則線段CD的長(zhǎng)為 ．
第31題 第32題 第33題
32．（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是 cm2．（結(jié)果用含π的式子表示）
33．（2022?宜賓）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為 ．
考點(diǎn)五：正多邊形與圓
知識(shí)回顧
正多邊形與圓的關(guān)系
把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓。
正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。
③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
微專(zhuān)題
34．（2022?長(zhǎng)春）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤(pán)的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為 厘米．
第34題 第35題
35．（2022?營(yíng)口）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，CF，則∠ACF＝ 度．
36．（2022?呼和浩特）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)是a的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的面積為 （用含π的代數(shù)式表示）；如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓直徑為 ．
第36題 第37題 第38題
37．（2022?綏化）如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點(diǎn)A，則∠BOH的度數(shù)為 度．
38．（2022?梧州）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形，分別以點(diǎn)A，O為圓心，取大于OA的定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OA＝1，則 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps20 \ \ad(\s \up 9(⌒),BE)，AE，AB所圍成的陰影部分面積為 ．
39．（2022?宿遷）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM＝2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是 ．

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層訓(xùn)練專(zhuān)題30 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（2份打包，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層訓(xùn)練專(zhuān)題30 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（2份打包，原卷版+解析版）
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