專題03 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)大題 (五大題型)-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．
②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）； ②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)； ③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．
題型四．拋物線與x軸的交點
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；
△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
題型五．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題
解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題
從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．
題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）
1．（2024?石景山區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是拋物線上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為直線．
（1）若拋物線經(jīng)過點，求的值；
（2）若對于，，都有，求的取值范圍；
（3）若對于，，存在，直接寫出的取值范圍．
2．（2024?鹿城區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)．
（1）若它的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的對稱軸．
（2）若時，的最小值為1，求出的值．
（3）如果，兩點都在這個二次函數(shù)的圖象上，直線與該二次函數(shù)交于，，，兩點，則是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
3．（2024?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，．
（1）若，
①求此拋物線的對稱軸；
②當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；
（2）若，點在該拋物線上，且，請比較，的大小，并說明理由．
題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）
4．（2023?南京）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．
（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點．
（2）若，求證：當(dāng)時，．
（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點，，，，且，則的取值范圍是．
5．（2024?南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點，在拋物線上．
（1）求拋物線的頂點；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若點，在拋物線上，若存在，使成立，求的取值范圍．
6．（2024?北京一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點．
（1）求該拋物線的對稱軸（用含有的代數(shù)式表示）；
（2）點，，為該拋物線上的三個點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．
7．（2024?張家口一模）某課外小組利用幾何畫板來研究二次函數(shù)的圖象，給出二次函數(shù)解析式，通過輸入不同的，的值，在幾何畫板的展示區(qū)內(nèi)得到對應(yīng)的圖象．
（1）若輸入，，得到如圖①所示的圖象，求頂點的坐標(biāo)及拋物線與軸的交點，的坐標(biāo)；
（2）已知點，．
①若輸入，的值后，得到如圖②的圖象恰好經(jīng)過，兩點，求出，的值；
②淇淇輸入，嘉嘉輸入，若得到二次函數(shù)的圖象與線段有公共點，求淇淇輸入的取值范圍．
8．（2024?浙江模擬）設(shè)二次函數(shù)，均為常數(shù)，，已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如下表所示：
（1）判斷，的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）若，求的值；
（3）若在，，這三個數(shù)中，只有一個數(shù)是負(fù)數(shù)，求的取值范圍．
9．（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，，．
（1）若，求拋物線的對稱軸；
（2）若，求的取值范圍．
10．（2024?浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過和兩點．
（1）求和的值（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點，當(dāng)時，隨的增大而減小，求的取值范圍；
（3）已知點，，若該拋物線與線段恰有一個公共點時，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
11．（2024?海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點，在拋物線上．
（1）當(dāng)時，求拋物線的對稱軸；
（2）若拋物線經(jīng)過點，當(dāng)自變量的值滿足時，隨的增大而增大，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時，點，在拋物線上．若，請直接寫出的取值范圍．
題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共3小題）
12．（2024?保山一模）如圖，拋物線過，，三點；點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，點的橫坐標(biāo)是，且．
（1）試求拋物線的表達(dá)式；
（2）過點作軸并交于點，作軸并交拋物線的對稱軸于點，若，求的值．
13．（2024?東營區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點，點在軸上，點在軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點是直線上方拋物線上一點，過點分別作軸，軸的平行線，交直線于點，．當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
14．（2024?南關(guān)區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．點在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)時，求的取值范圍；
（3）當(dāng)拋物線上、兩點之間部分的最大值與最小值的差為時，求的值；
（4）點在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．過點作軸于點，過點作軸于點，分別連結(jié)，，，當(dāng)與的面積相等時，直接寫出的值．
題型四．拋物線與x軸的交點（共14小題）
15．（2024?秦淮區(qū)校級模擬）已知函數(shù)為常數(shù)）．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點．
（2）不論為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)是．
（3）在的范圍中，的最大值是2，直接寫出的值．
16．（2024?柳州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，點的坐標(biāo)為，與軸交于點，點為拋物線的頂點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求的面積
17．（2024?安陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點和．直線分別與軸、軸交于點，，交拋物線于點，（點在點的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是直線上方拋物線上的任意一點，當(dāng)時，求面積的最大值；
（3）若拋物線與線段有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象請直接寫出的取值范圍．
18．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知和且是同一直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線．
（1）當(dāng)，時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）判斷這兩條拋物線與軸的交點的總個數(shù)，并說明理由；
（3）如果對于拋物線上的任意一點均有．當(dāng)時，求自變量的取值范圍．
19．（2024?三元區(qū)一模）拋物線與軸相交于點，，與軸正半軸相交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點，，，是拋物線上不同的兩點．
①當(dāng)，滿足什么數(shù)量關(guān)系時，；
②若，求的最小值．
20．（2024?黃山一模）已知拋物線與軸交于，兩點，經(jīng)過點，與軸交于點．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點是軸上位于點與點之間的一個動點（含點與點，過點作軸的垂線分別交拋物線和直線于點、點．求線段的最大值．
21．（2024?碑林區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，，與軸交于點，點是拋物線上軸左側(cè)的一個動點．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸上，求點的坐標(biāo)．
22．（2024?江西模擬）已知關(guān)于的二次函數(shù)．
（1）求證：無論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有兩個交點；
（2）若二次函數(shù)的頂點的坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系及的最大值．
23．（2024?峰峰礦區(qū)校級二模）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．
（1）若該拋物線過點；
①求該拋物線的表達(dá)式，并求出此時，兩點的坐標(biāo)；
②將該拋物線進(jìn)行平移，平移后的拋物線對應(yīng)的函數(shù)為，點的對應(yīng)點為，求平移后頂點坐標(biāo)和線段的長；
（2）點關(guān)于的對稱軸的對稱點的坐標(biāo)為（用含的代數(shù)式表示）．
24．（2024?安徽模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖，點、分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點，其中點的橫坐標(biāo)為，連接交軸于點，連接、，設(shè)的面積為，且，求點的坐標(biāo)．
25．（2024?宜昌模擬）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點，（點在點的左邊），與軸交于點．
（1）已知一次函數(shù)的圖象過點，，求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)為常數(shù)）的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
26．（2024?昆山市模擬）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線為，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在一點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
27．（2024?安徽模擬）已知拋物線，是常數(shù)）與軸交于點和點，與軸交于點，連接，點是上方拋物線上的一點．
（1）求，的值；
（2）如圖1，點是第二象限拋物線上的一點，且橫坐標(biāo)比點的橫坐標(biāo)大1，分別過點和點作軸，軸，與分別與交于點，，連接，，求的值；
（3）如圖2，連接與交于點，連接，，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
28．（2024?西安校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的拋物線為，點，的對應(yīng)點分別為，．拋物線的頂點為，則在軸下方的拋物線上是否存在點，使得的面積等于△的面積．若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型五．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
29．（2024?鄞州區(qū)模擬）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．
（1）寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點坐標(biāo)；
（2）若，過軸上一點，作軸的垂線分別交拋物線，于點，．
①當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；
②當(dāng)時，的最大值與最小值的差為，求的值．
30．（2023?大慶）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，且自變量的部分取值與對應(yīng)函數(shù)值如下表：
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點，當(dāng)點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為時，求的值；
（3）若將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點，其中為常數(shù)，請直接寫出的取值范圍．
31．（2024?歷下區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點，且頂點在直線上．
（1）如圖，當(dāng)拋物線的頂點在點時，求拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，拋物線上是否存在點，滿足．若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）定義拋物線為拋物線的換系拋物線，點，點在拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．
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