通用的解題思路：
題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）； ②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)； ③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．
題型四．拋物線與x軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
題型五．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題
解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．
題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）
1．（2024?石景山區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸為直線．
（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；
（2）若對于，，都有，求的取值范圍；
（3）若對于，，存在，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)對稱軸進(jìn)行計(jì)算，得，再把代入，即可作答．
（2）因?yàn)?，，，是拋物線上的點(diǎn)，所以把，分別代入，得出對應(yīng)的，，再根據(jù)聯(lián)立式子化簡，計(jì)算即可作答；
（3）根據(jù)，，存在，得出當(dāng)或者，即可作答．
【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線，
，
即，
拋物線，
把代入，
得，
解得；
（2）由（1）知拋物線，
，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，
，，
對于，，都有，
，
解得或；
（3），，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，
對于，，存在，且
關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
當(dāng)時，存在，
解得，
當(dāng)時，存在，
解得，
當(dāng)時，存在，
解得，
當(dāng)時，存在，
解得，
綜上，滿足的取值范圍為且．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、增減性，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2024?鹿城區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)．
（1）若它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)的對稱軸．
（2）若時，的最小值為1，求出的值．
（3）如果，兩點(diǎn)都在這個二次函數(shù)的圖象上，直線與該二次函數(shù)交于，，，兩點(diǎn)，則是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【分析】（1）把代入解析式求出，再根據(jù)對稱軸公式求出對稱軸；
（2）根據(jù)拋物線開口向下，以及時，由函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，的最小值為1，然后求即可；
（3），兩點(diǎn)都在這個二次函數(shù)的圖象上，有對稱軸公式得出，再令，并轉(zhuǎn)化為一般式，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求出．
【解答】解：（1）將代入二次函數(shù)，得，
解得，
對稱軸直線為；
（2）當(dāng)時，，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，
當(dāng)時，有最大值，
時，的最小值為1，
當(dāng)時，，
解得；
（3）是定值，理由：
，兩點(diǎn)都在這個二次函數(shù)的圖象上，
，
，
令，
整理得：，
直線與該二次函數(shù)交于，，，兩點(diǎn)，
，是方程的兩個根，
是定值．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
3．（2024?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．
（1）若，
①求此拋物線的對稱軸；
②當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；
（2）若，點(diǎn)在該拋物線上，且，請比較，的大小，并說明理由．
【分析】（1）①當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其代入函數(shù)解析式中解得，則函數(shù)解析式為拋物線的解析式為，再根據(jù)求對稱軸的公式即可求解；
②令，求出拋物線與軸交于和，由題意可得，則點(diǎn)在軸的下方，以此即可解答；
（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，通過可得的取值范圍，從而可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)點(diǎn)，到對稱軸的距離大小關(guān)系求解．
【解答】解：（1）①當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
拋物線的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線；
②令，則，
解得：，，
拋物線與軸交于和，
點(diǎn)，，且，
點(diǎn)在軸的下方，
或．
（2），理由如下：
將代入得，
，
，
，
拋物線開口向下，
拋物線對稱軸為直線，
，
，
，
且，
，
點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，
．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）
4．（2023?南京）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．
（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點(diǎn)．
（2）若，求證：當(dāng)時，．
（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是 或 ．
【分析】（1）證明即可解決問題．
（2）將代入函數(shù)解析式，進(jìn)行證明即可．
（3）對和進(jìn)行分類討論即可．
【解答】證明：（1）因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
所以該函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點(diǎn)．
（2）將代入函數(shù)解析式得，
，
所以拋物線的對稱軸為直線，開口向下．
則當(dāng)時，
隨的增大而增大，
又因?yàn)楫?dāng)時，，
所以．
（3）因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線，且過定點(diǎn)，
又因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與軸有兩個公共點(diǎn)，，，，且，
所以當(dāng)時，
，
解得，
故．
當(dāng)時，
，
解得，
故．
綜上所述，或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)，在拋物線上，若存在，使成立，求的取值范圍．
【分析】（1）利用配方法將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可直接得到答案；
（2）由，得到，解不等式即可；
（3）由題意可知或，解不等式組即可．
【解答】解：（1）拋物線．
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：；
（2）點(diǎn)，在拋物線上，且，
，
；
（3）點(diǎn)，在拋物線上，存在，使成立，
或，
解得．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2024?北京一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求該拋物線的對稱軸（用含有的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)，，為該拋物線上的三個點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線中，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式代入數(shù)值，即可得出答案；
（2）分類討論當(dāng)和，利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì)就可以得出的取值范圍．
【解答】解（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
把代入得，
，
，
拋物線的對稱軸，
答：拋物線的對稱軸為：；
（2）①當(dāng)時，拋物線開口方向向上，對稱軸，在軸的負(fù)半軸上，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越小，
當(dāng)時，
，，在拋物線上，
，
此時與題干相矛盾，故舍去，
當(dāng)時，
，，在拋物線上，
，
此時與題干相矛盾，故舍去；
②當(dāng)時，拋物線開口方向向下，對稱軸，在軸的正半軸上，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越大，
當(dāng)時，點(diǎn)、分別在對稱軸同側(cè)時，
，，在拋物線上，
，
，
此時，即，
，
當(dāng)時，點(diǎn)、分別在對稱軸兩側(cè)時，
，，在拋物線上，
，
與題干相矛盾，故舍去，
當(dāng)時，且點(diǎn)、分別在對稱軸兩側(cè)時，
，，在拋物線上，
，
與題干相矛盾，故舍去，
當(dāng)時，且點(diǎn)、分別在對稱軸同側(cè)時，
，，在拋物線上，
，
與題干相矛盾，故舍去，
答：的取值范圍為．
【點(diǎn)評】本題考查的重點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象的增減性，正確運(yùn)用屬性結(jié)合思想是本題做題的關(guān)鍵．
7．（2024?張家口一模）某課外小組利用幾何畫板來研究二次函數(shù)的圖象，給出二次函數(shù)解析式，通過輸入不同的，的值，在幾何畫板的展示區(qū)內(nèi)得到對應(yīng)的圖象．
（1）若輸入，，得到如圖①所示的圖象，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線與軸的交點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)，．
①若輸入，的值后，得到如圖②的圖象恰好經(jīng)過，兩點(diǎn)，求出，的值；
②淇淇輸入，嘉嘉輸入，若得到二次函數(shù)的圖象與線段有公共點(diǎn)，求淇淇輸入的取值范圍．
【分析】（1）將，，代入函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即可；
（2）①待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；
②將代入解析式，得到拋物線必過點(diǎn)，求出和的函數(shù)值，根據(jù)拋物線與線段有公共點(diǎn)，列出不等式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1），
解：當(dāng)，時，，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；
當(dāng)時，，即，
解得：，，
，；
（2）①拋物線恰好經(jīng)過，兩點(diǎn)，
則：，
解得：；
②當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
拋物線過，
當(dāng)時，，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，或與點(diǎn)重合時，拋物線與線段有公共點(diǎn)，
即：，
解得：；
當(dāng)時，，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，或與點(diǎn)重合時，拋物線與線段有公共點(diǎn)，
即：，；
綜上：或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?浙江模擬）設(shè)二次函數(shù)，均為常數(shù)，，已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如下表所示：
（1）判斷，的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）若，求的值；
（3）若在，，這三個數(shù)中，只有一個數(shù)是負(fù)數(shù)，求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)所給函數(shù)解析式，可得出拋物線的對稱軸為直線，據(jù)此可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可求出的值，據(jù)此即可解決問題．
（3）根據(jù)和相等，所以三個數(shù)中的負(fù)數(shù)只能為，據(jù)此可解決問題．
【解答】解：（1）．
因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式為，
所以拋物線的對稱軸為直線，
又因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)與關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
故．
（2）因?yàn)椋?br>所以．
將和代入函數(shù)解析式得，
，
解得
所以二次函數(shù)的解析式為．
將代入函數(shù)解析式得，
．
（3）由（1）知，，
所以，，中只能為負(fù)數(shù)．
將代入函數(shù)解析式得，
，
所以二次函數(shù)解析式為．
將代入函數(shù)解析式得，
．
將代入函數(shù)解析式得，
．
則，
解得，
所以的取值范圍是．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．
（1）若，求拋物線的對稱軸；
（2）若，求的取值范圍．
【分析】（1）利用對稱軸意義即可求解；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，
該拋物線的對稱軸為：直線，即直線；
（2）當(dāng)時，可知點(diǎn)，，從左至右分布，
，
，
解得；
當(dāng)時，
，
，不合題意，
綜上，的取值范圍是．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過和兩點(diǎn)．
（1）求和的值（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，當(dāng)時，隨的增大而減小，求的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個公共點(diǎn)時，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
【分析】（1）把和代入，即可求解；
（2）先求出對稱軸為：直線，結(jié)合開口方向和增減性列出不等式即可求解；
（3）分時，時，結(jié)合圖象即可求解．
【解答】解：（1）把和代入，
得：，
解得：；
（2）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，
拋物線的對稱軸為：直線，
拋物線開口向下，
當(dāng)時，隨的增大而減小，
，即；
（3）①當(dāng)時，，，即，
解得：，拋物線不經(jīng)過點(diǎn)，
如圖①，拋物線與線段只有一個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：；
②當(dāng)時，若拋物線的頂點(diǎn)在線段上時，則，
解得：，，
當(dāng)時，，
此時，定點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，符合題意；
當(dāng)時，如圖②，拋物線與線段只有一個交點(diǎn)，
如圖③，
當(dāng)時，，
此時頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不滿足，不符合題意，舍去；
若拋物線與線段有兩個交點(diǎn)，且其中一個交點(diǎn)恰好為點(diǎn)時，把代入，得：
，
解得：，
當(dāng)時，如圖④，拋物線和線段有兩個交點(diǎn)，且其中一個交點(diǎn)恰好為點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知：時，拋物線與線段有一個交點(diǎn)，
綜上所述：的取值范圍為：或或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，根據(jù)題意畫出圖象，分類討論是解題的關(guān)鍵．
11．（2024?海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．
（1）當(dāng)時，求拋物線的對稱軸；
（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)自變量的值滿足時，隨的增大而增大，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時，點(diǎn)，在拋物線上．若，請直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)時，，為拋物線上的對稱點(diǎn)，根據(jù)對稱性求出對稱軸；
（2）把，代入拋物線解析式得出，的關(guān)系，然后求出對稱軸，再分和，由函數(shù)的增減性求出的取值范圍；
（3）先畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)確定的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，為拋物線上的對稱點(diǎn)，
，
拋物線的對稱軸為直線；
（2）過，，
，，
，
對稱軸為直線，
①當(dāng)時，
時，隨的增大而增大，
，
解得，
；
②當(dāng)時，
時，隨的增大而增大，
，
解得，
，
綜上：的取值范圍是 或；
（3）點(diǎn)在拋物線上，
，
點(diǎn)，在拋物線上，
對稱軸為直線，
①如圖所示：
，
且，
；
②如圖所示：
，
，
，
綜上所述，的取值范圍為或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行解答．
題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共3小題）
12．（2024?保山一模）如圖，拋物線過，，三點(diǎn)；點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，且．
（1）試求拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)作軸并交于點(diǎn)，作軸并交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，若，求的值．
【分析】（1）將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可解決問題．
（2）用表示出和，建立關(guān)于的方程即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
所以拋物線的表達(dá)式為．
（2）將代入拋物線得表達(dá)式得，
，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
令直線的函數(shù)解析式為，
則，
解得，
所以直線的函數(shù)解析式為．
因?yàn)?，且拋物線的對稱軸為直線，
所以．
又因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，
所以．
因?yàn)椋?br>所以，
解得，
又因?yàn)椋?br>所以．
【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2024?東營區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，交直線于點(diǎn)，．當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可解決問題．
（2）根據(jù)得到與的關(guān)系，建立方程即可解決問題．
【解答】解：（1）令得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
令得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得，
，
解得，
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）因?yàn)檩S，軸，
所以，
則．
因?yàn)?，?br>所以．
令點(diǎn)坐標(biāo)為，
則點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，
則，
解得或3．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2024?南關(guān)區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)時，求的取值范圍；
（3）當(dāng)拋物線上、兩點(diǎn)之間部分的最大值與最小值的差為時，求的值；
（4）點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，分別連結(jié)，，，當(dāng)與的面積相等時，直接寫出的值．
【分析】（1）依據(jù)題意，將、兩點(diǎn)代入解析式求出，即可得解；
（2）依據(jù)題意，結(jié)合（1）所求解析式，再配方可得拋物線的最值，進(jìn)而由可以判斷得解；
（3）依據(jù)題意，分類討論計(jì)算可以得解；
（4）分別寫出、、、的坐標(biāo)，與的面積相等，所以到的距離等于到的距離，可得的值．
【解答】解：（1）由題意，將，代入解析式得，
，，
，，
拋物線的解析式為；
（2）由題意，拋物線，
拋物線開口向上，當(dāng)時，有最小值為，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
（3）由題意得，，，
①當(dāng)時，、兩點(diǎn)之間部分的最大值為，最小值為，
，
解得：，
②當(dāng)時，、兩點(diǎn)之間部分的最大值為，最小值為或，
顯然最小值是時不合題意，
最小值為，
，
解得：或，
時，、兩點(diǎn)之間部分的最小值為，故舍去，
③當(dāng)時，、兩點(diǎn)之間部分的最大值為，最小值為，
，
解得：，
，故舍去，
綜上，滿足題意得的值為：或；
（4）由題意得，，，，
設(shè)，代入、兩點(diǎn)，
，
解得：，，
，
與的面積相等，
到的距離與到的距離相等，
到的距離，
到的距離，
，
當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，解得：，
綜上，滿足題意得的值為：或．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)，關(guān)鍵是注意分類討論．
題型四．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共14小題）
15．（2024?秦淮區(qū)校級模擬）已知函數(shù)為常數(shù)）．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)．
（2）不論為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是 ，， ．
（3）在的范圍中，的最大值是2，直接寫出的值．
【分析】（1）分兩種情況討論，利用判別式證明即可；
（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用拋物線過兩個定點(diǎn)，得到函數(shù)隨增大而增大，代入解析式求出值即可．
【解答】解：（1）①當(dāng)時，函數(shù)解析式為，此一次函數(shù)與軸有交點(diǎn)；
②當(dāng)時，函數(shù)解析式為，令，則有，
△．
不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)．
（2），
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
不論為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．
故答案為：，，
（3）若，函數(shù)，隨增大而增大，當(dāng)時，，與題干條件符；
當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)，
①當(dāng)時，拋物線過，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)姆秶袝r，隨的增大而增大，
當(dāng)時，，
即，解得（舍去）．
②當(dāng)時，拋物線過，兩點(diǎn)，其增減性依舊是隨的增大而增大和①相同．
綜上分析，．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
16．（2024?柳州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求的面積
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)解析求解即可．
【解答】解：（1）將，代入得，
解得，
二次函數(shù)的解析式為：；
（2）將配方得頂點(diǎn)式，
頂點(diǎn)，
在中，當(dāng)時，
解得或，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2024?安陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點(diǎn)和．直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時，求面積的最大值；
（3）若拋物線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象請直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意直接求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）求出直線與拋物線的交點(diǎn)，坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則點(diǎn)，求出，由三角形的面積公式求出關(guān)于的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）分和兩種情況討論即可．
【解答】解：（1）拋物線與拋物線的形狀相同，
，
拋物線與軸交于點(diǎn)和，
拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時，聯(lián)立方程組，
解得或，
，，
過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，如圖，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
點(diǎn)，
，
，
，，
當(dāng)時，有最大值，最大值為．
面積的最大值為；
（3）令，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
令，則，
解得，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
若拋物線與線段有公共點(diǎn)，
當(dāng)時，如圖所示，
則，
解得；
當(dāng)時，如圖所示：
則，
解得；
綜上所述，的取值范圍為或．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值等知識，關(guān)鍵是對這些知識的掌握和運(yùn)用．
18．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知和且是同一直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線．
（1）當(dāng)，時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）判斷這兩條拋物線與軸的交點(diǎn)的總個數(shù)，并說明理由；
（3）如果對于拋物線上的任意一點(diǎn)均有．當(dāng)時，求自變量的取值范圍．
【分析】（1）把，的值代入配方找頂點(diǎn)即可解題；
（2）分別令，，解方程求出方程的解，然后根據(jù)條件確定交點(diǎn)的個數(shù)即可解題；
（3）現(xiàn)根據(jù)題意得到，且，然后得到，借助圖象求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）當(dāng)，時，，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）3個，理由為：
令，則，
即，
解得：，，
令，則，
即，
解得：，，
又且，
兩條拋物線與軸的交點(diǎn)總個數(shù)為3個；
（3）拋物線上的任意一點(diǎn)均有，
，且，
整理得：，
的開口向上，且拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，
如圖所示，借助圖象可知當(dāng)或時，．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19．（2024?三元區(qū)一模）拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸正半軸相交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)，，，是拋物線上不同的兩點(diǎn)．
①當(dāng)，滿足什么數(shù)量關(guān)系時，；
②若，求的最小值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①若，則、關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即可求解；
②，而，得到的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，
即，
解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）如圖，
由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為直線，
①若，則、關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
即，
即，
當(dāng)時，；
②，
，
，
即的最小值為．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
20．（2024?黃山一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)是軸上位于點(diǎn)與點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)（含點(diǎn)與點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)、點(diǎn)．求線段的最大值．
【分析】（1）設(shè)出拋物線解析式的交點(diǎn)式，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出即可；
（2）先根據(jù)（1）中解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線解析式，再設(shè)設(shè)，，則，，得出，由的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值．
【解答】解：（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，
可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，
把代入得，，
解得，
拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）當(dāng)時，，
，
設(shè)直線的解析式為，
把代入，得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，，
則，，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，有最大值2；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，有最大值．
綜上所述，的最大值為．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值等知識，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．
21．（2024?碑林區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上軸左側(cè)的一個動點(diǎn)．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，，建立方程求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）將，代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，，
，，
，
解得，
．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
22．（2024?江西模擬）已知關(guān)于的二次函數(shù)．
（1）求證：無論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有兩個交點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系及的最大值．
【分析】（1）當(dāng)時，，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可解答；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，可得，將其代入，得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，即可解答．
【解答】（1）證明：當(dāng)時，．
△，
該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
無論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有兩個交點(diǎn)．
（2）解：，，，
二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)，可得，將其代入，
整理后得．
頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為二次函數(shù)的圖象，且該圖象開口向下，
故當(dāng)時，取得最大值，最大值為．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)．
23．（2024?峰峰礦區(qū)校級二模）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．
（1）若該拋物線過點(diǎn)；
①求該拋物線的表達(dá)式，并求出此時，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②將該拋物線進(jìn)行平移，平移后的拋物線對應(yīng)的函數(shù)為，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，求平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)和線段的長；
（2）點(diǎn)關(guān)于的對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 （用含的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）①將代入，求出的值即可確定函數(shù)解析式；
②根據(jù)平移的性質(zhì)可得向上平移2個單位長度后為，即可得出結(jié)果；
（2）先求點(diǎn)坐標(biāo)，再求拋物線的對稱軸為直線，則點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為．
【解答】解：（1）①將點(diǎn)坐標(biāo)代入，則，
則，
拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，
將代入，即，
解得，；
，；
②向上平移2個單位長度后為，
平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的長為2；
（2）當(dāng)時，，
，
拋物線與軸交于點(diǎn)，
，
拋物線對稱軸為直線，
，
點(diǎn)關(guān)于的對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（2024?安徽模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖，點(diǎn)、分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接交軸于點(diǎn)，連接、，設(shè)的面積為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）把，代入，用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)是拋物線上第二象限上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，然后用待定系數(shù)法求直線的解析式，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式以及，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后再代入二次函數(shù)解析式，從而得出結(jié)論．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）點(diǎn)是拋物線上第二象限上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
把，坐標(biāo)代入得：，
解得，
直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
，
的面積為，
，
，
解得，
把代入得，
點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．
25．（2024?宜昌模擬）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．
（1）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)為常數(shù)）的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）令，則，可求，當(dāng)，則，可求，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）由題意知，的圖象與直線平行，如圖，結(jié)合圖象求解作答即可．
【解答】解：（1）令，則，
解得，或，
，
當(dāng)，則，即，
設(shè)一次函數(shù)解析式為，
將，代入得，
，
解得，，
一次函數(shù)的解析式為；
（2）由題意知，的圖象與直線平行，
如圖，
當(dāng)時，對于的每一個值，，
由圖可知：．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與不等式．熟練掌握二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與不等式是解題的關(guān)鍵．
26．（2024?昆山市模擬）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線為，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)，代入，即可求解；
（2）根據(jù)拋物線與拋物線為關(guān)于原點(diǎn)對稱，求出拋物線的表達(dá)式即可；
（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程求出即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，代入，
則，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）拋物線與關(guān)于原點(diǎn)對稱，
拋物線的解析式為；
（3）存在，理由：
，，，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，
解得或，
，或，．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
27．（2024?安徽模擬）已知拋物線，是常數(shù)）與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上方拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求，的值；
（2）如圖1，點(diǎn)是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸，軸，與分別與交于點(diǎn)，，連接，，求的值；
（3）如圖2，連接與交于點(diǎn)，連接，，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入，解方程組即可；
（2）根據(jù)（1）中解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線解析式，再設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)已知得出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，然后由三角形的面積公式求出面積即可；
（3）先求出三角形和三角形的面積，再根據(jù)，求出的值，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求職直線的解析式，然后聯(lián)立直線和所組成的方程組，解方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：
，
解得，
，的值分別為和3；
（2）由（1）可知拋物線的表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
把點(diǎn)，點(diǎn)代入得：
，
解得，
直線的表達(dá)式為，
點(diǎn)是上方拋物線上的一點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，軸，軸，
點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)，
點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，
，
，
；
（3）點(diǎn)，
，
，
，
由（2）知，點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，
解得，
此時點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
把點(diǎn)，坐標(biāo)代入得：，
解得，
直線的表達(dá)式為，
由（2）知直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立直線，表達(dá)式，得，
解得，
當(dāng)時，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積等知識，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式利用函數(shù)的性質(zhì)解答．
28．（2024?西安校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的拋物線為，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，．拋物線的頂點(diǎn)為，則在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積等于△的面積．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把，代入解析式，解方程組即可；
（2）先根據(jù)拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的拋物線為，得出，的坐標(biāo)和拋物線的解析式，然后根據(jù)三角形的面積公式求出的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把，代入，
得．
解得，
拋物線的解析式的解析式為；
（2）存在，
拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的拋物線為，
，，
，，
拋物線為的解析式為，
，
△的面積，
的面積等于△的面積，
，
，
點(diǎn)在軸下方，
，
把代入得，，
解得，
的坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象的幾何變換求出拋物線的解析式．
題型五．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
29．（2024?鄞州區(qū)模擬）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．
（1）寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若，過軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．
①當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)時，的最大值與最小值的差為，求的值．
【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②分情況討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．
【解答】解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為：，
，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
過點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，，
，，
，
，
，
解得或，
或．
②的解析式為：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，
Ⅰ、當(dāng)時，，
且當(dāng)時，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，
，解得或（舍；
當(dāng)時，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，
，解得或（舍；
Ⅱ、當(dāng)時，，
函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為；
，
解得（舍；
Ⅲ、當(dāng)時，，不符合題意，舍去；
綜上，的值為或．
【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
30．（2023?大慶）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對應(yīng)函數(shù)值如下表：
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，求的值；
（3）若將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）選擇三個合適的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）構(gòu)造直角三角形，把放在直角三角形中，用表示的值并化簡；
（3）二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，對稱軸為直線，二次函數(shù)與二次函數(shù)只是開口大小和方向發(fā)生了變化，并且越大，開口越小，所以利用數(shù)形結(jié)合尋求線段與拋物線的交點(diǎn)問題．
【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三個點(diǎn)，
，
，
二次函數(shù)的表達(dá)式為：．
（2）過作，垂足為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，
到的距離是，
，
，
，，
，
在中，．
（3）線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段設(shè)為，則，，
二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，對稱軸為直線，二次函數(shù)與二次函數(shù)只是開口大小和方向發(fā)生了變化，并且越大，開口越小．若線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，分以下三種情況：
①當(dāng)時，開口向上，如圖，線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，當(dāng)拋物線經(jīng)過時開口最大，最小，最大，把代入得，
．
②當(dāng)時，開口向下，如圖，線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，代入得．
③當(dāng)時，開口向下，如圖，線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，當(dāng)拋物線經(jīng)過時開口最大，最小，最小，把代入得，
．
綜上，的取值范圍是：或或．
【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，解直角三角形，滲透了分類和數(shù)形結(jié)合的思想，對于第（3）問，關(guān)鍵是研究二次函數(shù)的性質(zhì)，找到分類標(biāo)準(zhǔn)．
31．（2024?歷下區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．
（1）如圖，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)時，求拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，滿足．若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）定義拋物線為拋物線的換系拋物線，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．
【分析】（1）先求出，，再根據(jù)條件運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，再證得，可得，即，可求得直線的解析式為，聯(lián)立方程組即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在直線上且過點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線表達(dá)式可設(shè)為，進(jìn)而得出拋物線的表達(dá)式為，對稱軸為直線，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．
【解答】解：（1）在中，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
，，
拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，把代入，得，
解得：，
，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）存在點(diǎn)，滿足．
理由如下：設(shè)直線交軸于點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，把代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
，
，，，
在中，，
，，，
，
，，
，
，
，即，
解得：（舍去）或，
直線的解析式為，
聯(lián)立方程組得，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
（3）拋物線的頂點(diǎn)在直線上且過點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線表達(dá)式可設(shè)為，
將代入得，
解得：或，
若，則拋物線表達(dá)式為，則拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為0，不符合題意；
若，代入，可得，
拋物線的表達(dá)式為，對稱軸為直線，
拋物線開口向上，所以距離對稱軸越近值越小，
對于，都有，
當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)都在拋物線對稱軸右側(cè)時，
，此不等式組無解；
當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線對稱軸兩側(cè)時，
，
．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
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