專(zhuān)題02 反比例函數(shù)大題 (二大題型)-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
題型一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．
（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為：
①當(dāng)k1與k2同號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)k1與k2異號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中有0個(gè)交點(diǎn)．
題型二．反比例函數(shù)綜合題
（1）應(yīng)用類(lèi)綜合題
能夠從實(shí)際的問(wèn)題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問(wèn)題的時(shí)候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識(shí)．
（2）數(shù)形結(jié)合類(lèi)綜合題
利用圖象解決問(wèn)題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式，反過(guò)來(lái)如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問(wèn)題的一種好方法．
題型一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共25小題）
1．（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，雙曲線與直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)為軸正半軸上的一點(diǎn)．
（1）求雙曲線的表達(dá)式和，的值；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出使得的的取值范圍；
（3）若的面積為12，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2023?蘇州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，為軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，連接，的中點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．
（1）求，的值；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？
3．（2024?常州模擬）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．
（1）求函數(shù)和的表達(dá)式；
（2）若在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
4．（2024?常州模擬）如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出滿足時(shí)的取值范圍；
（3）點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若的面積為3，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．（2024?沭陽(yáng)縣模擬）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接，．若，求的取值范圍．
6．（2024?宿遷二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)
（1）若，求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍．
7．（2024?泉山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求的面積．
8．（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)、．是軸上的一點(diǎn)，連接、．
（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若的面積是6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
9．（2024?姜堰區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)，．
（1）求、的值；
（2）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
10．（2024?昆山市模擬）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出滿足的取值范圍；
（3）求的面積．
11．（2024?興化市一模）已知函數(shù)是常數(shù)，，函數(shù)．
（1）若函數(shù)和函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)．
①求，的值．
②當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)先向下平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，得點(diǎn)，點(diǎn)恰好落在函數(shù)的圖象上，求的值．
12．（2024?南通模擬）如圖，直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且恰為線段的中點(diǎn)，連接．若．求的值．
13．（2024?亭湖區(qū)模擬）如圖，等腰三角形中，，點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且的面積為12．
（1）．
（2）過(guò)點(diǎn)直線對(duì)應(yīng)的解析式為與雙曲線在第一，三象限交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．
①求點(diǎn)，的坐標(biāo)．
②直接寫(xiě)出不等式的解集．
14．（2024?常熟市模擬）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大，這個(gè)最大值是多少？
15．（2024?東海縣一模）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于，兩點(diǎn)，其中．
（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出時(shí)，的取值范圍；
（3）若把一次函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位，使之與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
16．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫(xiě)出不等式的解集；
（3）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足的面積是10，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
17．（2024?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬）如圖，以軸上長(zhǎng)為1的線段為寬作矩形，矩形長(zhǎng)、交直線于點(diǎn)、，反比例函數(shù)的圖象正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．
（1）線段長(zhǎng)為；
（2）求值．
18．（2024?昆山市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)，為常數(shù)，且與反比例函數(shù)為常數(shù)，且的圖象交于點(diǎn)，．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若的面積為9；求點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（2024?鹽城模擬）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和．，連接、．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求的面積．
20．（2024?天寧區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，且．點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，連接，．
（1）求和的值；
（2）求的面積．
21．（2024?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，求四邊形的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出使成立的的取值范圍．
22．（2024?新北區(qū)一模）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)、．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接，若，求的面積．
23．（2024?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)是直線與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)，求的面積．
24．（2024?東海縣一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象在第一象限上的點(diǎn)，且，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）反比例函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性，適當(dāng)平移就可發(fā)現(xiàn)許多神奇的現(xiàn)象．將該雙曲線在第一象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再將雙曲線在第三象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平移后的兩條曲線相交于，兩點(diǎn)，如圖2，此時(shí)平移后的兩條曲線圍成了一只美麗的“眸”，為這只“眸”的“眸徑”，請(qǐng)求出“眸徑” 的長(zhǎng)．
25．（2024?泗陽(yáng)縣校級(jí)二模）如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積；
（3）直接寫(xiě)出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的的取值范圍．
題型二．反比例函數(shù)綜合題（共8小題）
26．（2024?泰興市一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，順次連接這四個(gè)點(diǎn)得到四邊形．
（1）若對(duì)角線、交于點(diǎn)，直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為．
①求證：四邊形為平行四邊形；
②求的面積；
（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，平行于軸，求、的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，求證：、相交于點(diǎn)．
27．（2024?東臺(tái)市一模）如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求的面積；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．（2023?泰州）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，的位置和函數(shù)、的圖象如圖所示．以為邊在軸上方作正方形，邊與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，邊與函數(shù)、的圖象分別相交于點(diǎn)、，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，連接．
（1）若，，求函數(shù)的表達(dá)式及的面積；
（2）當(dāng)、在滿足的條件下任意變化時(shí)，的面積是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試判斷直線與邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上？并說(shuō)明理由．
29．（2024?鹽城模擬）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】
小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：周長(zhǎng)為定值的矩形中面積最大的是正方形．那么，面積為定值的矩形中，其周長(zhǎng)的取值范圍如何呢？
【解決問(wèn)題】
小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：
（1）建立函數(shù)模型
設(shè)一矩形的面積為4，周長(zhǎng)為，相鄰的兩邊長(zhǎng)為、，則，，即，，那么滿足要求的應(yīng)該是函數(shù)與的圖象在第象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）畫(huà)出函數(shù)圖象
①畫(huà)函數(shù)的圖象；
②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫(huà)出的圖象，則的圖象可以看成是由的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
（3）研究函數(shù)圖象
平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；
①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)的位置時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，周長(zhǎng)的值為；
②在直線平移的過(guò)程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有什么情況？請(qǐng)直接寫(xiě)出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的取值范圍．
【結(jié)論運(yùn)用】
（4）面積為10的矩形的周長(zhǎng)的取值范圍為．
30．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，．
（1），，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）點(diǎn)在軸上，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
31．（2023?連云港）【問(wèn)題情境建構(gòu)函數(shù)】
（1）如圖1，在矩形中，，是的中點(diǎn)，，垂足為．設(shè)，，試用含的代數(shù)式表示．
【由數(shù)想形新知初探】
（2）在上述表達(dá)式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖2所示．若取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖象是否具有對(duì)稱(chēng)性？若有，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖象．
【數(shù)形結(jié)合深度探究】
（3）在“取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖象上存在四點(diǎn)、、、，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【抽象回歸拓展總結(jié)】
（4）若將（1）中的“”改成“”，此時(shí)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是；一般地，當(dāng)，取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類(lèi)比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過(guò)程，探究此類(lèi)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫(xiě)出3條即可）．
32．（2024?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在中，，，軸，垂足為，邊與軸交于點(diǎn)，反比例函數(shù)，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）若，求直線和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若，將邊沿邊所在直線翻折，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
33．（2024?蘇州一模）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上，若四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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