通用的解題思路：
題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．
題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）； ②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)； ③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．
題型四．拋物線與x軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
題型五．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題
解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義．
題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）
1．（2024?石景山區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；
（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍；
（3）若對(duì)于，，存在，直接寫出的取值范圍．
2．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)．
（1）若它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該函數(shù)的對(duì)稱軸．
（2）若時(shí)，的最小值為1，求出的值．
（3）如果，兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，直線與該二次函數(shù)交于，，，兩點(diǎn)，則是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2024?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．
（1）若，
①求此拋物線的對(duì)稱軸；
②當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍；
（2）若，點(diǎn)在該拋物線上，且，請(qǐng)比較，的大小，并說(shuō)明理由．
題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）
4．（2023?南京）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．
（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．
（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是 ．
5．（2024?南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．
（1）求拋物線的頂點(diǎn) ；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)，在拋物線上，若存在，使成立，求的取值范圍．
6．（2024?北京一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求該拋物線的對(duì)稱軸（用含有的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)，，為該拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．
7．（2024?張家口一模）某課外小組利用幾何畫板來(lái)研究二次函數(shù)的圖象，給出二次函數(shù)解析式，通過(guò)輸入不同的，的值，在幾何畫板的展示區(qū)內(nèi)得到對(duì)應(yīng)的圖象．
（1）若輸入，，得到如圖①所示的圖象，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線與軸的交點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)，．
①若輸入，的值后，得到如圖②的圖象恰好經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求出，的值；
②淇淇輸入，嘉嘉輸入，若得到二次函數(shù)的圖象與線段有公共點(diǎn)，求淇淇輸入的取值范圍．
8．（2024?浙江模擬）設(shè)二次函數(shù)，均為常數(shù)，，已知函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：
（1）判斷，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若，求的值；
（3）若在，，這三個(gè)數(shù)中，只有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，求的取值范圍．
9．（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．
（1）若，求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）若，求的取值范圍．
10．（2024?浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．
（1）求和的值（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，求的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
11．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．
（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)自變量的值滿足時(shí)，隨的增大而增大，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，在拋物線上．若，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共3小題）
12．（2024?保山一模）如圖，拋物線過(guò)，，三點(diǎn)；點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，且．
（1）試求拋物線的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸并交于點(diǎn)，作軸并交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若，求的值．
13．（2024?東營(yíng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，交直線于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
14．（2024?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（3）當(dāng)拋物線上、兩點(diǎn)之間部分的最大值與最小值的差為時(shí)，求的值；
（4）點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，分別連結(jié)，，，當(dāng)與的面積相等時(shí)，直接寫出的值．
題型四．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共14小題）
15．（2024?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)為常數(shù)）．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)．
（2）不論為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
（3）在的范圍中，的最大值是2，直接寫出的值．
16．（2024?柳州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求的面積
17．（2024?安陽(yáng)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點(diǎn)和．直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
（3）若拋物線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
18．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知和且是同一直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線．
（1）當(dāng)，時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）判斷這兩條拋物線與軸的交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）如果對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)均有．當(dāng)時(shí)，求自變量的取值范圍．
19．（2024?三元區(qū)一模）拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸正半軸相交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)，，，是拋物線上不同的兩點(diǎn)．
①當(dāng)，滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，；
②若，求的最小值．
20．（2024?黃山一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)是軸上位于點(diǎn)與點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)、點(diǎn)．求線段的最大值．
21．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
22．（2024?江西模擬）已知關(guān)于的二次函數(shù)．
（1）求證：無(wú)論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系及的最大值．
23．（2024?峰峰礦區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．
（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)；
①求該拋物線的表達(dá)式，并求出此時(shí)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②將該拋物線進(jìn)行平移，平移后的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 （用含的代數(shù)式表示）．
24．（2024?安徽模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖，點(diǎn)、分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接交軸于點(diǎn)，連接、，設(shè)的面積為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
25．（2024?宜昌模擬）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．
（1）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)為常數(shù)）的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
26．（2024?昆山市模擬）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線為，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
27．（2024?安徽模擬）已知拋物線，是常數(shù)）與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上方拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求，的值；
（2）如圖1，點(diǎn)是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作軸，軸，與分別與交于點(diǎn)，，連接，，求的值；
（3）如圖2，連接與交于點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．（2024?西安校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線為，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，．拋物線的頂點(diǎn)為，則在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積等于△的面積．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型五．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
29．（2024?鄞州區(qū)模擬）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．
（1）寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若，過(guò)軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．
30．（2023?大慶）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的值；
（3）若將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
31．（2024?歷下區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．
（1）如圖，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，滿足．若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）定義拋物線為拋物線的換系拋物線，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若對(duì)于，都有，求的取值范圍．
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