通用的解題思路：
1. 二次函數(shù)的平移變換
2.平移與增加性變化
如果平移后對(duì)稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會(huì)改變函數(shù)最大(小) 值.
只對(duì)二次函數(shù)上下平移，不改變?cè)鰷p性，改變最值.
只對(duì)二次函數(shù)左右平移，改變?cè)鰷p性，不改變最值.
3.二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：
①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；
③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；
④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值。
4.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)
題型一：二次函數(shù)中的平移問題
1．（2024?牡丹區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）．
（2）當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為3時(shí)，求的值；
（3）已知點(diǎn)，，若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象求出的取值范圍．
【分析】（1）令，求出點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)平移得出結(jié)論；
（2）將的縱坐標(biāo)為3代入求出即可；
（3）由對(duì)稱軸為直線得出，當(dāng)時(shí)，解得，，結(jié)合圖象得出結(jié)論；
【解答】解：（1）在中，令，則，
，
將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)，則．
（2）的縱坐標(biāo)為3，
，
．
（3）由題意得：拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，拋物線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述，的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，數(shù)形結(jié)合討論交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?平原縣模擬）已知拋物線．
（1）寫出拋物線的對(duì)稱軸： ．
（2）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過點(diǎn)，的兩條直線，交于點(diǎn)，且，與軸不平行，當(dāng)直線，與拋物線均只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)說明點(diǎn)在一條定直線上．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式直接可得出答案．
（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在原點(diǎn)上可設(shè)其解析式為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的解析式，于是可設(shè)的坐標(biāo)為且，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，利用可求得的值，于是可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）設(shè)，，，，聯(lián)立拋物線與直線的方程可得出，．
再利用直線、直線分別與拋物線相切可求得直線、直線的解析式，再聯(lián)立組成方程組可求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一定值，于是可說明點(diǎn)在一條定直線上．
【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為：．
故答案為：．
故答案為：．
（2）拋物線平移到頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線，
可設(shè)拋物線的解析式為：
點(diǎn)有拋物線上，
，
解得：．
拋物線的解析式為：．
點(diǎn)在拋物線上，且在點(diǎn)的左側(cè)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為且，
如圖，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足為點(diǎn)、．
，
又，
，
解得：，
不合題意，舍去），則，
．
（3）設(shè)，，，，聯(lián)立方程組：
，
整理得：，
，．
設(shè)過點(diǎn)的直線解析式為，聯(lián)立得方程組，
整理得．①
過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
△，
．
由①式可得：，
解得：．
．
過點(diǎn)的直線的解析式為．
用以上同樣的方法可以求得：過點(diǎn)的直線的解析式為，
聯(lián)立上兩式可得方程組，
解得，
，．
點(diǎn)在定直線上．（如圖）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的對(duì)稱軸、求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情況、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用所畫圖形幫助探索解法思路．
3．（2024?和平區(qū)一模）已知拋物線，為常數(shù)．經(jīng)過，兩個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）拋物線的頂點(diǎn)為 ；
（Ⅲ）將拋物線向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度，就得到拋物線 ．
【分析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可求解；
（Ⅱ）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可求得；
（Ⅲ）利用平移的規(guī)律即可求得．
【解答】解：（1）拋物線 經(jīng)過，兩個(gè)點(diǎn)，
，解得，
拋物線的解析式為；
（Ⅱ）拋物線，
拋物線的頂點(diǎn)為，
故答案為：；
（Ⅲ）將拋物線向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度，就得到拋物線，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
4．（2024?禮縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，且過點(diǎn)，．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求的面積；
（3）將拋物線向左平移個(gè)單位，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求的值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后切成直線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)求出的面積；
（3）由（1）解析式求出對(duì)稱軸，再求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，求出的長度即可；
【解答】解：（1）把，代入，
則，
解得，
拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）拋物線交軸于點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)交于點(diǎn)，如圖：
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
（3），
對(duì)稱軸為直線，
令點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
，
，
拋物線向左平移個(gè)單位經(jīng)過點(diǎn)，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)．
5．（2024?珠海校級(jí)一模）已知拋物線．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）化成頂點(diǎn)是即可求解；
（2）根據(jù)平移的規(guī)律得到，把原點(diǎn)代入即可求得的值．
【解答】解：（1），
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）該拋物線向右平移個(gè)單位長度，得到的新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，
新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
，
解得 或 （舍去），
，
故的值為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得平移后的拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．
6．（2024?關(guān)嶺縣一模）如圖，二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為，且圖象過點(diǎn)，過，兩點(diǎn)作直線．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并用頂點(diǎn)式來表示；
（2）將二次函數(shù)向左平移1個(gè)單位，得函數(shù) ；函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
（3）在（2）的條件下，將直線向下平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）將點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出、值，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可；
（2）根據(jù)拋物線平移規(guī)則“左加右減”得到解析式，令求出與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再根據(jù)直線平移法則“上加下減”得到直線平移后解析式，聯(lián)立消去，根據(jù)判別式為0解出值即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：
，解得，
拋物線解析式為．
拋物線解析式為：．
（2）將二次函數(shù)向左平移1個(gè)單位，得函數(shù)，
令，則，解得，，
平移后的拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
故答案為：，，，．
（3）設(shè)直線的解析式為，將，點(diǎn)代入得：
，解得，
直線解析式為：．
將直線向下平移個(gè)單位后的解析式為，與函數(shù)聯(lián)立消去得：
，整理得：，
直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，
△，解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握函數(shù)的平移法則是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2024?溫州模擬）如圖，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若拋物線向左平移個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）由題意可得點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的表達(dá)式即可解答；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律“左加右減，上加下減”得到平移后的拋物線的表達(dá)式，再代入的坐標(biāo)求解即可．
【解答】解：（1）令，則，
，
令，則，
解得，
，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得，
二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2），
拋物線向左平移個(gè)單位后得到，
經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得，
故的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解答的關(guān)鍵．
8．（2024?巴東縣模擬）已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過，、三點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)解析式；
（2）將該二次函數(shù)圖象平移使其經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，求平移后的二次函數(shù)的解析式．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；
（2）利用平移的規(guī)律求得平移后的二次函數(shù)的解析式．
【解答】解：（1）把，、代入，
得：，
解得：，
該二次函數(shù)的解析式為；
（2）若將該二次函數(shù)圖象平移后經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，
設(shè)平移后的二次函數(shù)的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，．
將二次函數(shù)的圖象平移后的二次函數(shù)的解析式為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的性質(zhì)，熟知待定系數(shù)法和平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?鄭州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在直線上，并說明理由；
（3）平移拋物線使其頂點(diǎn)仍在直線上，若平移后拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后代入點(diǎn)判斷即可；
（3）設(shè)平移后的拋物線為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得出，得出的最大值．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解得，
拋物線的解析式為：；
（2）點(diǎn)不在直線上，
理由：
直線經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
，
把代入得，，
點(diǎn)不在直線上；
（3）平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，
設(shè)平移后的拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
頂點(diǎn)仍在直線上，
，
，
拋物線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，題目有一定難度．
10．（2024?鞍山模擬）已知拋物線．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）將二次函數(shù)的解析式改寫成頂點(diǎn)式即可．
（2）將拋物線與軸的交點(diǎn)平移到原點(diǎn)即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）令得，
，
解得，．
又因?yàn)閷⒃搾佄锞€向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，
解得．
故的值為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知利用配方法求二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?原平市模擬）（1）計(jì)算：；
（2）觀察表格，完成相應(yīng)任務(wù)：
任務(wù)一：補(bǔ)全表格；
任務(wù)二：觀察表格不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值與當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值相等，我們稱這種現(xiàn)象為代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應(yīng)的延后值為1：換個(gè)角度來看，將代數(shù)式，變形，得到③
，將與看成二次函數(shù)，則將的圖象④ （描述平移方式），可得到的圖象．若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3，則代數(shù)式⑤ ．
【分析】（1）先算乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，再算乘法，最后算加減法即可求解；
（2）①把分別代入代數(shù)式，即可求得；
②根據(jù)代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應(yīng)的延后值為1，即可得出二次函數(shù)、平移的規(guī)律是向右平移1個(gè)單位，據(jù)此即可得出代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3的的代數(shù)式．
【解答】解：（1）原式
；
（2）任務(wù)一：將代入；代入，
故答案為：①2，②；
任務(wù)二：將代數(shù)式，變形，得到，將與看成二次函數(shù)，則將的圖象向右平移1個(gè)單位（描述平移方式），可得到的圖象．若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3，則代數(shù)式．
故答案為：①2；②；③；④向右平移1個(gè)單位；⑤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解題意，能夠準(zhǔn)確地列出解析式，并進(jìn)行求解即可．
12．（2024?南山區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法．小明同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
【觀察探究】：
方程的解為： ；
【問題解決】：
若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為、、、．
①的取值范圍是 ；
②計(jì)算 ；
【拓展延伸】：
①將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？畫出平移后的圖象并寫出平移過程；
②觀察平移后的圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量的取值范圍 ．
【分析】（1）根據(jù)圖象即可求得；
（2）根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）觀察探究：
①由圖象可知，當(dāng)函數(shù)值為時(shí)，直線與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解．
故答案為：或或．
（2）問題解決：
①若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，由圖象可知的取值范圍是．
故答案為：．
②由圖象可知：四個(gè)根是兩對(duì)互為相反數(shù)．所以．
故答案為：0．
（3）拓展延伸：
①將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象，
②當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
13．（2023?花山區(qū)一模）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求，的值；
（2）將拋物線向下平移個(gè)單位得到拋物線，存在點(diǎn)在上，求的取值范圍；
（3）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），求的值．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式以及當(dāng)時(shí)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）可知拋物線，再由平移性質(zhì)得出拋物線解析式，然后把點(diǎn)代入拋物線，再根據(jù)方程有解得出的取值范圍；
（3）先求出拋物線解析式，再求出，，，坐標(biāo)，然后求值即可．
【解答】解：（1）由題意得，，
解得；
（2）由（1）知，拋物線，
將其向下平移個(gè)單位得到拋物線，
拋物線的解析式為，
存在點(diǎn)在上，
，即有實(shí)數(shù)根，
，
解得，
的取值范圍為；
（3）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的解析式為，
把代入到中，
得，
解得或，
，，，，
把代入到中，
得，
解得或，
，，，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線和拋物線交點(diǎn)，關(guān)鍵對(duì)平移性質(zhì)的應(yīng)用．
14．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)自變量滿足時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍；
（3）將此拋物線沿軸平移個(gè)單位長度后，當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，求的值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）先求出及時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到答案；
（3）設(shè)此拋物線沿軸向右平移個(gè)單位后拋物線解析式為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，此時(shí)時(shí)，，即，設(shè)此拋物線沿軸向左平移個(gè)單位后拋物線解析式為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，此時(shí)時(shí)，，即，然后分別解關(guān)于的方程即可．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
，
解得，
此拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；
（3）設(shè)此拋物線軸向右平移個(gè)單位后拋物線解析式為，
當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，
，即，
此時(shí)時(shí)，，即，解得， （舍去）；
設(shè)此拋物線沿軸向左平移個(gè)單位后拋物線解析式為，
當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，
，即，
此時(shí)時(shí)，，即，解得， （舍去），
綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
15．（2023?南寧一模）如圖1，拋物線的圖象經(jīng)過．
（1）求的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值的和；
（3）如圖2，將拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到新的拋物線，點(diǎn)為拋物線與的交點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)隨的增大而減小時(shí)，的取值范圍．
【分析】（1）把代入拋物線解析式求得的值；根據(jù)拋物線解析式可以直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，有最大值為4，當(dāng)時(shí)，有最小值為．然后求的最大值與最小值的和；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”即可得出拋物線的函數(shù)解析式；然后根據(jù)拋物線的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行解答：當(dāng)時(shí)，，．
當(dāng)時(shí)，，．
【解答】解：（1）拋物線的圖象經(jīng)過，
當(dāng)時(shí)，，
解得．
．
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2），
拋物線開口向下．
當(dāng)時(shí)，有最大值為4．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，有最小值為．
最大值與最小值的和為；
（3）由題意知，新拋物線的頂點(diǎn)為，
．
當(dāng)時(shí)，，
化簡得：．
又，
．
．
當(dāng)時(shí)，
解得；，
，
拋物線開口向下．
當(dāng)時(shí)，，．
當(dāng)時(shí)，，．
綜上所述（或．
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法．難度偏大．
16．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為，聯(lián)結(jié)．
①如果，求四邊形的面積；
②如果點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）①依據(jù)題意畫出圖形，利用，，的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得點(diǎn)，坐標(biāo)，再利用四邊形的面積解答即可；
②依據(jù)題意畫出圖形，利用，，的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理求得點(diǎn)坐標(biāo)和線段，再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)求得線段，則結(jié)論可求．
【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）①，
．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，
．
令，則，
，
．
令，則，
解得：或，
．
如果，需將拋物線向左平移，設(shè)交軸于點(diǎn)，平移后的拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，如圖，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
由題意：，
，
．
，
，
由題意：，
，
．
軸，，
四邊形為平行四邊形，
，
．
，
四邊形的面積；
②如果點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，，如圖，
當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，
設(shè)平移后的拋物線的對(duì)稱軸交軸于，由題意：．
，
，
，
，
．
，，
．
，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，此時(shí)為點(diǎn)，
，
，
，
，．
綜上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形面積，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．
17．（2023?下城區(qū)校級(jí)模擬）如圖已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：
（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍；
（3）若為軸上且位于點(diǎn)下方的一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入，即可求解；
（2）求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)，再求出直線的解析式，當(dāng)頂點(diǎn)在直線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，則；
（3）設(shè)，，，分三種情況討論：當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；③當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入，
，
解得，
，
，
頂點(diǎn)；
（2）由題可得平移后的函數(shù)解析式為，
拋物線的頂點(diǎn)為，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
當(dāng)頂點(diǎn)在直線上時(shí)，，
，
軸，
，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，
，
；
（3）存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：
設(shè)，，，
點(diǎn)在點(diǎn)下方，
，
點(diǎn)在第四象限，
，
①當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，
，
解得（舍或，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
，
解得，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，不符合題意；
③當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，
，
解得（舍或，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為；
綜上所述：點(diǎn)橫坐標(biāo)為1或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
18．（2023?即墨區(qū)一模）如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字，導(dǎo)致題目缺少一個(gè)條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為．
（1）請(qǐng)根據(jù)已有信息添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： （答案不唯一） ；
（2）當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍： ；
（3）如圖1，將函數(shù)的圖象向右平移4個(gè)單位長度，與的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，記為．若點(diǎn)在上，求的值；
（4）如圖2，在（3）的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）只需填一個(gè)在拋物線圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）求出時(shí)，對(duì)應(yīng)的值，再結(jié)合圖象寫出的取值范圍即可；
（3）求出拋物線向右平移4個(gè)單位后的解析式為，根據(jù)題意可知時(shí)，點(diǎn)在拋物線的部分上，再求的值即可；
（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，由，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，由，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1），
故答案為：（答案不唯一）；
（2），
當(dāng)時(shí)，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：；
（3），
拋物線向右平移4個(gè)單位后的解析式為，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線的部分上，
；
（4）存在點(diǎn)，使得，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，
，
解得或，
，
，
，；
當(dāng)點(diǎn)在拋物線的部分上時(shí)，設(shè)，
，
解得或，
，
，
，；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
19．（2023?武侯區(qū)模擬）定義：將二次函數(shù)的圖象沿軸向右平移，再沿軸翻折，得到新函數(shù)的圖象，則稱函數(shù)是函數(shù)的“值衍生拋物線”．已知．
（1）當(dāng)時(shí)，
①求衍生拋物線的函數(shù)解析式；
②如圖1，函數(shù)與的圖象交于，，兩點(diǎn)，連接．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且位于線段上方，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，求與存在的數(shù)量關(guān)系．
（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線上，且．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【分析】（1）①利用拋物線的性質(zhì)和衍生拋物線的定義解答即可；
②利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，則得到，，利用的代數(shù)式分別表示出，的長，再利用同高的三角形的面積比等于底的比即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)解析式求得點(diǎn)，，，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而得出線段，，，，，的長，設(shè)直線的解析式為，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，用的代數(shù)式表示出線段．，的長，利用，得到，列出關(guān)于的方程，解方程求得值，將直線的解析式與衍生拋物線的函數(shù)解析式聯(lián)立即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①，
當(dāng)時(shí)，將二次函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得：．
此時(shí)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
再沿軸翻折，得到新函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
沿軸翻折，得到新函數(shù)的形狀大小不變，開口方向相反，
沿軸翻折，得到新函數(shù)的解析式為．
衍生拋物線的函數(shù)解析式為；
②，，兩點(diǎn)在拋物線上，
，．
，，，．
直線的解析式為．
如圖，設(shè)，
軸，
，．
，
，
．
．
與高相等，
．
與存在的數(shù)量關(guān)系：；
（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．理由：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的衍生拋物線的函數(shù)解析式為．
令，則，
．
．
令，則，
解得：或5．
，．
．
．
．
令，則，
．
．
令，則，
解得：或3．
．
．
．
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
設(shè)直線的解析式為，
令，則，
，．
，
．
．
，，
．
，
．
，
．
解得：或．
直線的解析式為或．
或．
，或，．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理，配方法求拋物線的頂點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?天門三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，線段軸，交該拋物線于另一點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；
（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量滿足時(shí)，此函數(shù)的最大值為，最小值為，且．求的值；
（3）平移拋物線，使其（備用圖）頂點(diǎn)始終在直線上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）求出、點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）分四種情況討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，求得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，求得；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意
（3）由題意可得，當(dāng)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【解答】解：（1），
，
令，則，
，
軸，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，，
，
解得；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，
，
解得；
當(dāng)時(shí)，，，
，
解得（舍或（舍；
當(dāng)時(shí)，，，
，
解得（舍或（舍；
綜上所述：或．
（3）設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
當(dāng)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，
△，
解得，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，
解得或，
當(dāng)時(shí)，平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
綜上所述：或時(shí)，平移后的拋物線與射線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
21．（2023?米東區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式，從而求得，，進(jìn)而求得關(guān)系式及點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出的關(guān)系式，將代入，進(jìn)而求得的范圍．
【解答】解：（1）由題意得，
，
，
二次函數(shù)的解析式是：，
，
點(diǎn)；
（2），，
直線的解析式是：，
當(dāng)時(shí)，，
， ，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)相似三角形和函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)．
22．（2023?駐馬店二模）如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求拋物線解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若將拋物線向右平移個(gè)單位，得新拋物線“”，若“”與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求值．
（3）若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線，該平行線與“”交點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；
（2）先求出平移后的拋物線解析式為，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)推出：拋物線“”必過原點(diǎn)，由此代入原點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；
（3）由（2）得拋物線“”的函數(shù)解析式為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，由軸，得到，則，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出拋物線，當(dāng)時(shí)，，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）將代入拋物線的解析式得：
，
解得：，
拋物線解析式為，
把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式得：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）拋物線向右平移個(gè)單位得新拋物線“”，
拋物線“”的函數(shù)解析式為，
拋物線“”的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，
拋物線“”與軸必有2個(gè)交點(diǎn)，且與軸有1個(gè)交點(diǎn)，
拋物線“”與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
拋物線“”必過原點(diǎn)，
將原點(diǎn)坐標(biāo)，代入中得：，
解得或（舍去）；
（3）由（2）得拋物線“”的函數(shù)解析式為，
在中，令，則，
解得或，
，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
，
軸，
，
，
在中：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
在中，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)在拋物線圖象上，且，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，拋物線的平移問題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?寶雞二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．將拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線．
（1）求拋物線與的函數(shù)解析式；
（2）連接，探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)、代入解析式求出的解析式，再根據(jù)平移規(guī)律代入求解即可得到答案；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到三角形三邊的平方的代數(shù)式，再分類討論腰相等列式求解即可得到答案．
【解答】解：（1）將、代入拋物線中，得：
，
解得，
拋物線的函數(shù)解析式為：；
，
的函數(shù)解析式為：；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下：
由（1）可知的對(duì)稱軸為，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
，，，
①當(dāng)時(shí)，，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
③當(dāng)時(shí)，，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)特殊三角形問題，屬于二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是先求出解析式，設(shè)點(diǎn)分類討論等腰三角形的腰．
題型二：二次函數(shù)中的翻折問題
24．（2024?江西模擬）已知二次函數(shù)經(jīng)過，兩定點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．
（1）求定點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）把二次函數(shù)的圖象在直線下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原二次函數(shù)位于直線上方的部分的組合圖象記作圖象，求向上翻折部分的函數(shù)解析式；
（3）在（2）中，已知的面積為8．
①當(dāng)時(shí)，求圖象中的取值范圍；
②若直線與圖象從左到右依次交于，，，四點(diǎn)，若，求的值．
【分析】（1）將原函數(shù)可化為，令，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)即可得到解析式；
（3）①根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖象求出最值即可；
②根據(jù)題意確定圖象與直線交于點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)，，然后表示出，，根據(jù)題意列方程解題即可．
【解答】解：（1）原函數(shù)可化為，
可得該函數(shù)圖象恒過兩點(diǎn)，，
故定點(diǎn)為，．
（2）直線就是軸，
折疊即為沿軸向上折疊，
解析式為；
（3）①，
對(duì)稱軸，代入得
的面積為8，
，
．
，
，
圖象向上翻折部分的函數(shù)解析式為．
，頂點(diǎn)在之間的圖象上，該段拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的最小值為0．
在圖象中，的取值范圍為．
②若直線與圖象從左到右依次交于，，，四點(diǎn)，
圖象與直線交于點(diǎn)，，可得，
；
與直線交于點(diǎn)，，
，則．
，
，即，
兩邊平方解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2023?零陵區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；
（2）將該二次函數(shù)圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其他部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象．若當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍；
（3）已知直線，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象在、之間的部分記為（包括點(diǎn)，，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）令，用表示出的值，要注意點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)求出兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出新函數(shù)函數(shù)值隨的變化規(guī)律，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍；
（3）求出的坐標(biāo)，明確圖象的位置，判斷圖象與哪條直線相交，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等值，求出的取值范圍．
【解答】解：（1）令，，
解得或，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
，．
（2）二次函數(shù)對(duì)稱軸為：，
經(jīng)翻折后函數(shù)的變化為：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，
若當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，
則，解得，
或，解得．
綜上：或時(shí)，當(dāng)時(shí)，這個(gè)新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減?。?br>（3）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，那么圖象在軸的上方，
圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2應(yīng)過直線，
令，解得或，
恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，
，
解得；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，那么圖象在軸的下方，
圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2應(yīng)過直線，
令，解得或，
恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，
，
解得．
綜上：當(dāng)或時(shí)，圖象上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題以二次函數(shù)為背景考查了二次函數(shù)中圖象的性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)的靈活運(yùn)用，本題常作為考試題出現(xiàn)，難度中上，解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界點(diǎn)，利用特殊點(diǎn)列出正確的不等式即可求出答案．
26．（2023?連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，，且平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接、、，若為直角三角形，求此時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若的面積為3，、兩點(diǎn)分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
【分析】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)，直角三角形的三個(gè)角為直角的情況分析，不同情況下的最值問題．
【解答】解：（1），
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）拋物線的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，拋物線，
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，如圖1，過作軸于，
，
，
，
，
，
，
，
直線軸，
，
，，
，
，
，
點(diǎn)在的圖象上，
，
或，
當(dāng)時(shí)，得，，此時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，舍去，當(dāng)時(shí)，符合題意；
將代入得，
②當(dāng)，如圖2，過作交的延長線于，
同理，，
，
，
，
，
，
當(dāng)在的圖象上，
，
解得或，
，
，此時(shí)，，符合題意；
將代入得，，
③易知，當(dāng)，此種情況不存在；
綜上所述，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或；
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，的面積為1，不合題意舍去，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的面積為3，符合題意，
由題意得，，取的中點(diǎn)，
在中可求得，在中可求得，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)，直角三角形的三個(gè)角為直角的情況分析，不同情況下的最值問題．解題的關(guān)鍵是理解對(duì)稱的關(guān)鍵，直角三角形的不同情況分析，綜合應(yīng)用．
27．（2024?鹽城模擬）已知拋物線為常數(shù)且與軸交于點(diǎn)．
（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；對(duì)稱軸為 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）無論取何值，拋物線都過定點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（3）若，且自變量滿足時(shí)，圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的表達(dá)式；
（4）將點(diǎn)與點(diǎn)之間的函數(shù)圖象記作圖象（包含點(diǎn)、，若將在直線下方的部分保持不變，上方的部分沿直線進(jìn)行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象，若圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，求的值．
【分析】（1）令，求得對(duì)應(yīng)的值即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得拋物線的對(duì)稱軸；
（2）利用的系數(shù)為0，求得對(duì)應(yīng)的值，將值代入解析式即可求得結(jié)論；
（3）利用分類討論的思想方法，用待定系數(shù)法解答即可；
（4）利用分類討論的方法分①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)兩種情況討論解答，結(jié)合圖象，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和待定系數(shù)法解答即可．
【解答】解：（1）令，則，
；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
故答案為：；；
（2）拋物線，
又無論取何值，拋物線都過定點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
故答案為：；
（3），
拋物線開口方向向下．
由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸為直線，
①若，則，與矛盾，不合題意；
②若，則，
此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為圖象最高點(diǎn)，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為2，
，
解得：或（不合題意，舍去）．
；
③若，則，
此時(shí)，點(diǎn)是滿足時(shí)，圖象的最高點(diǎn)，
，
此種情況不存在，
綜上，滿足條件的拋物線的表達(dá)式為；
（4），
將點(diǎn)沿直線進(jìn)行翻折后得到的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)到直線的距離為1．
①當(dāng)時(shí)，
圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，
此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
解得：，
或（不合題意，舍去），
；
②當(dāng)時(shí)，
圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，
此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
，
解得：或．
，
．
不合題意，舍去．
綜上，若圖象上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線的翻折，軸對(duì)稱的性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
28．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．
（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：
①點(diǎn)，之間的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 ；
②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
③當(dāng)，且時(shí)，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，直接寫出的值．
【分析】（1）將，代入，即可求得其解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)的變換（關(guān)于軸對(duì)稱）和變換后開口向下，可以寫出變換后的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解．
【解答】解：（1）將，代入，得：
，
解得：，
拋物線的解析式為：，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）①變換后的頂點(diǎn)為，
，
故答案為：；
②當(dāng)時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，，
的取值范圍為；
③當(dāng)時(shí)，得：
，
解得：（舍去），
當(dāng)時(shí)，得：
，
解得：（舍去），；
由，得：
，，
當(dāng)時(shí)，
或，
解得：（舍去），，（舍去），；
當(dāng)時(shí)，
，
解得：（舍去）；
的值為 或 或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)和圖象的變換等，綜合性較強(qiáng)，數(shù)形結(jié)合分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
29．（2023?余江區(qū)一模）已知拋物線
（1）當(dāng)時(shí)，
①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
②將拋物線沿軸翻折得到拋物線，則拋物線的解析式為 ．
（2）無論為何值，直線與拋物線相交所得的線段（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）的長度都不變，求的值和的長；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿直線翻折，得到拋物線，拋物線，的頂點(diǎn)分別記為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）①由題意可得拋物線解析式為，即可求解；
②設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入即可求解；
（2）由拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，可得當(dāng)時(shí)，的長度不變；
（3）設(shè)拋物線拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，可求拋物線的解析式為，分別求出，，再由，，可得，求出的值即可．
【解答】解：（1）①，
，
拋物線的頂點(diǎn)為，
故答案為：；
②設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，
，
拋物線的解析式為，
故答案為：；
（2），
拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的長度不變，
當(dāng)時(shí)，，
解得或，
，，
；
（3）存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由如下：
設(shè)拋物線拋物線上任意一點(diǎn)，
點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
，
拋物線的解析式為，
，
，
，
，
與為正方形的對(duì)角線，
、關(guān)于對(duì)稱，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2023?越秀區(qū)校級(jí)三模）已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，將二次函數(shù)圖象中軸左側(cè)部分沿軸翻折，保留其他部分得到新的圖象．
（1）求的值；
（2）①當(dāng)時(shí)，圖與軸交于點(diǎn)，在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值；
②在①的條件下，當(dāng)圖象中時(shí)，結(jié)合圖象求的取值范圍；
（3）已知兩點(diǎn)，，當(dāng)線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）由二次函數(shù)的對(duì)稱軸直接可求的值；
（2）①求出，，，，再求出，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出方程即可求解；
②求出拋物線與直線的交點(diǎn)為，，再求出關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線解析式為當(dāng)時(shí)，解得（舍或，拋物線與直線的交點(diǎn)為，結(jié)合圖象可得或或時(shí)，；
（3）通過畫函數(shù)的圖象，分類討論求解即可．
【解答】解：（1）已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，
；
（2）如圖1：①令，
解得或，
在的左側(cè)，
，，，，
，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
為直角三角形，
，
解得（舍或；
②，
，
令，
解得或，
拋物線與直線的交點(diǎn)為，，
關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，解得（舍或，
拋物線與直線的交點(diǎn)為，
或或時(shí)，；
（3）關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線解析式為，
如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，
解得，
，當(dāng)時(shí)，，
與線段有一個(gè)交點(diǎn)，
時(shí)，當(dāng)線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
如圖3，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)圖象與線段有三個(gè)公共點(diǎn)，
時(shí)，線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
如圖4，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)圖象與線段有兩個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)在線段上時(shí)，，
解得，
此時(shí)圖象與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，
時(shí)，線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
綜上所述：或時(shí)，線段與圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形翻折的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
題型三：二次函數(shù)對(duì)稱問題
31．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）拋物線與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，是拋物線的軸上方且在對(duì)稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為、．試探究是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為長寬之比是的矩形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式，進(jìn)而化成頂點(diǎn)式，從而求得的坐標(biāo)；
（2）求出直線解析式為，再求出拋物線與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱的解析式，設(shè)，則，，，由題意可知得到關(guān)于的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，，
，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）存在一點(diǎn)，使得四邊形為長寬之比是的矩形，
，，
直線為，
拋物線與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱的解析式，
設(shè)，則，
點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)分別為、．
，，
四邊形為長寬之比是的矩形，
或，
整理得或，
解得，或，，
是拋物線的軸上方且在對(duì)稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，
，
或，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
32．（2023?鄞州區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)的圖象是．
（1）求關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖象的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5，求的值．
【分析】（1）先求出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由中心對(duì)稱得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，又由于和的開口方向相反，且開口大小相同，故值相同，因此可確定解析式．
（2）由于的開口向下，且對(duì)稱軸位于內(nèi)，故頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為5，則的值便可求出．
【解答】解：（1）依題得，，且，
故圖象的頂點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，圖象的頂點(diǎn)為，
且其開口方向與的相反，
，
即；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，
若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，
由得，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于定點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí)拋物線的解析式的求法是解題的關(guān)鍵．
33．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，，與軸交于，連接，作直線．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）已知直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于，過作軸交軸于，求的最大值和此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將原拋物線沿方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，已知點(diǎn)是新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)并寫出其中一種情況的求解過程．
【分析】（1）將點(diǎn)，，代入拋物線，利用待定系數(shù)法解答即可得解；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為；設(shè)，進(jìn)而求得，的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，，從而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）首先求得新拋物線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，分別求得，；進(jìn)一步證得，推導(dǎo)出，即，解得，從而得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，，代入拋物線，可得：
，
解得：，
該拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，可得：
，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，
軸交于，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，
軸交軸于，，，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，
此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3），，，
，，
，
將原拋物線沿方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，
原拋物線向右，向上平移了2個(gè)單位長度，
新拋物線的解析式為，
如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
則，，
，
又，
，
，
，
，即，
整理得，
解得，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱，二次數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二元一次方程式，一元一次方程式，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．
34．（2023?海安市模擬）已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量，這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為，，都有點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)，例如，和為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)．
（1）判斷：①和；②和；③和，其中為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)的是 （填序號(hào)）；
（2）若和為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)．求、的值．
（3）若和為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)，令，當(dāng)函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)公式可得，然后逐個(gè)函數(shù)進(jìn)行判斷；
（2）①根據(jù)，將函數(shù)解析式代入求解；
（3）根據(jù)，求出，，的值，然后由得到，根據(jù)開口方向、對(duì)稱軸及與軸的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)列出不等式組求解即可．
【解答】解：（1）①，
和關(guān)于對(duì)稱，
②，
和關(guān)于對(duì)稱，
③，，
和不關(guān)于對(duì)稱，
故答案為：①②．
（2）和為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)，
，
，
解得．
（3）和為關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)，
，
，
解得，
，
函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為直線，與軸的交點(diǎn)為，
函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
，
解得．
令，則，
函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
△，即，
解得，
故的取值范圍是或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握函數(shù)關(guān)于對(duì)稱的特征，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
35．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線與軸于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、、．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出的解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)軸交拋物線于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出；再根據(jù)拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，求出拋物線的解析式，以及用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)，，然后分三種情況判斷出，然后解方程求出的值即可．
【解答】解：（1）把點(diǎn)，代入得：，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）點(diǎn)是拋物線與軸的交點(diǎn)，
，
軸，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
，
．
，
拋物線的頂點(diǎn)為，
關(guān)于軸的對(duì)稱頂為，
拋物線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，
則點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
，
，
解得或，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求出拋物線、的解析式．
36．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線與直線相交于點(diǎn)，，連接，．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，則在平移后的拋物線上，且在直線的下方，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解求得；
（2）先計(jì)算的面積，根據(jù)，可得的面積，在軸上取一點(diǎn)，使，過點(diǎn)作的平行線交平移后的拋物線于點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的解析式，與平移后的拋物線解析式聯(lián)立，解方程組即可求得點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解得，
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）令，則，
，
，
，
，
，
，
在軸上取一點(diǎn)，使，過點(diǎn)作的平行線交平移后的拋物線于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
直線的解析式為，
將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，得到，
令，整理得，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，三角形的面積，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
題型四：二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問題
37．（2023?吉安縣校級(jí)一模）已知拋物線分別交軸于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將該二次函數(shù)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后的二次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與軸的右側(cè)交點(diǎn)為，順次連接、、、，求四邊形的面積．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）首先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后利用代定系數(shù)法求得解析式；
（3）首先得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到的面積以及四邊形的面積．
【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得，
二次函數(shù)解析式為，
故拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)為頂點(diǎn)和的中點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀不變，開口相反，
，故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為；
（3）四邊形的面積為40；
點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
四邊形為平行四邊形，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
的面積，
四邊形的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是明確四邊形為平行四邊形．
38．（2023?郟縣一模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為在的左側(cè)），過點(diǎn)作垂直軸交直線于．
（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．將拋物線沿軸向右平移使它過點(diǎn)，求平移后所得拋物線的解析式．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得值，令，解一元二次方程即可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）利用旋轉(zhuǎn)不變性，求得點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）令，則．
解得：．
．
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
．
．
拋物線的解析式為．
令，則．
解得：或．
在的左側(cè)，
．
（2）當(dāng)時(shí)，，
．
，，
．
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，
，．
，．
，
設(shè)沿軸向右平移過點(diǎn)的拋物線的解析式為，
．
．
平移后所得拋物線的解析式為或．
即或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，配方法，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法是確定函數(shù)解析式的重要方法．
39．（2023?鄲城縣二模）如圖1，拋物線分別交軸于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如圖2，將該拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
①求旋轉(zhuǎn)后的拋物線的表達(dá)式；
②旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與軸的右側(cè)交于點(diǎn)，順次連接，，，，求四邊形的面積．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）①先求頂點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，此點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)，由此求解析式即可；
②先求，，再求．
【解答】解：（1）將，，代入，
，
解得，
拋物線的表達(dá)式為，
，
；
（2）①點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)為，
旋轉(zhuǎn)，
拋物線開口大小不變，開口方向向下，
旋轉(zhuǎn)后的拋物線的表達(dá)式為；
②當(dāng)時(shí)，，
解得或，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
40．（2023?長春模擬）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，并與軸有另一交點(diǎn)．
（1）依題，點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
（2）求拋物線的解析式．
（3）在直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．
（4）在軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．直接寫出線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，用代入法求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）用待定系數(shù)法，列方程組，求拋物線的解析式．（3）把不規(guī)則四邊形切割成幾個(gè)三角形，利用三角形面積之和，求四邊形面積．（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，找出旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)的坐標(biāo)，得到點(diǎn)，恰好在拋物線上時(shí)的值，從而得到的取值范圍．
【解答】解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為：，．
（2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，
依題得，
解得．
．
（3），
作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
，
，
則，
拋物線上，，，，，
．
．
．
當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大值為8．
四邊形面積最大值為8．
（4）如圖：
，
點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，
解得．
當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，
解得或2．
當(dāng)或時(shí)，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】此題（1）（2）是基礎(chǔ)題型，（3）不規(guī)則圖形的面積利用割補(bǔ)法是難點(diǎn)．（4）圖形的旋轉(zhuǎn)結(jié)合坐標(biāo)特征，比較新穎，培養(yǎng)學(xué)生綜合代數(shù)幾何的綜合運(yùn)用能力．
題型五：二次函數(shù)中的幾何變換
41．（2024?梧州模擬）九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)若把二次函數(shù)的系數(shù)調(diào)換位置變成新的二次函數(shù)，且，這兩個(gè)函數(shù)有一定的關(guān)連，于是命名它們?yōu)椤盎閷?duì)調(diào)函數(shù)”，根據(jù)這個(gè)規(guī)定，解答下列問題：
（1）若二次函數(shù)，則它的“對(duì)調(diào)函數(shù)”是 ，且此“對(duì)調(diào)函數(shù)”與軸的交點(diǎn)是 ；
（2）若、為非零實(shí)數(shù)，二次函數(shù)經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)與點(diǎn)，請(qǐng)求出“對(duì)調(diào)函數(shù)” 的對(duì)稱軸；
（3）在（2）中，“對(duì)調(diào)函數(shù)” 的圖象是否經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出這兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用“互為對(duì)調(diào)函數(shù)”的規(guī)定即可求得，進(jìn)一步求得與軸的交點(diǎn)；
（2）由二次函數(shù)經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)與點(diǎn)，得出，求得，則的“對(duì)謂函數(shù)” 的對(duì)稱軸是直線；
（3）由（2）可知：，即可得出“對(duì)調(diào)函數(shù)”為，而，即可求得“對(duì)調(diào)函數(shù)” 的圖象經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)是，，．
【解答】解：（1）二次函數(shù)，則它的“對(duì)調(diào)函數(shù)”是，且此“對(duì)調(diào)函數(shù)”與軸的交點(diǎn)是；
故答案為：，；
（2）二次函數(shù)經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)與點(diǎn)，
，
，
，
，（不合題意，舍去），
，
又的“對(duì)謂函數(shù)” ，
所以它的對(duì)稱軸是直線，
即所求的對(duì)稱軸是直線；
（3）由（2）可知：，而“對(duì)調(diào)函數(shù)”為，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
有，
或，
所以“對(duì)調(diào)函數(shù)” 的圖象經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)是，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，明確新規(guī)定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
平移方式（n＞0)
一般式y(tǒng)=ax2+bx+c
頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h) 2＋k
平移口訣
向左平移n個(gè)單位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n個(gè)單位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右減
向上平移n個(gè)單位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n個(gè)單位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下減
變換前
變換方式
變換后
口訣
y=a(x-h)2+k
繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°
y= -a(x-h)2+k
a變號(hào)，h、k均不變
繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°
y= -a(x+h)2-k
a、h、k均變號(hào)
沿x軸翻折
y= -a(x-h)2-k
a、k變號(hào)，h不變
沿y軸翻折
y= a(x+h)2+k
a、h不變，h變號(hào)
0
1
2
2
①
7
7
2
②
2
已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．
求該二次函數(shù)的解析式．

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