通用的解題思路：
1. 二次函數(shù)的平移變換
2.平移與增加性變化
如果平移后對稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會改變函數(shù)最大(小) 值.
只對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.
只對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.
3.二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：
①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點的坐標值求得二次函數(shù)的表達式；
②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達式；
③在直角坐標系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；
④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達式進行計算，求得題目中需要求解的值。
4.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)
題型一：二次函數(shù)中的平移問題
1．（2024?牡丹區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，將點向右平移2個單位長度，得到點，點在拋物線上．
（1）求點的坐標（用含的式子表示）．
（2）當?shù)目v坐標為3時，求的值；
（3）已知點，，若拋物線與線段恰有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象求出的取值范圍．
2．（2024?平原縣模擬）已知拋物線．
（1）寫出拋物線的對稱軸： ．
（2）將拋物線平移，使其頂點是坐標原點，得到拋物線，且拋物線經(jīng)過點和點（點在點的左側(cè)），若的面積為4，求點的坐標．
（3）在（2）的條件下，直線與拋物線交于點，，分別過點，的兩條直線，交于點，且，與軸不平行，當直線，與拋物線均只有一個公共點時，請說明點在一條定直線上．
3．（2024?和平區(qū)一模）已知拋物線，為常數(shù)．經(jīng)過，兩個點．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）拋物線的頂點為 ；
（Ⅲ）將拋物線向右平移1個單位長度，向下平移2個單位長度，就得到拋物線 ．
4．（2024?禮縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，且過點，．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求的面積；
（3）將拋物線向左平移個單位，當拋物線經(jīng)過點時，求的值．
5．（2024?珠海校級一模）已知拋物線．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）將該拋物線向右平移個單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標原點，求的值．
6．（2024?關(guān)嶺縣一模）如圖，二次函數(shù)與軸有兩個交點，其中一個交點為，且圖象過點，過，兩點作直線．
（1）求該二次函數(shù)的表達式，并用頂點式來表示；
（2）將二次函數(shù)向左平移1個單位，得函數(shù) ；函數(shù)與坐標軸的交點坐標為 ；
（3）在（2）的條件下，將直線向下平移個單位后與函數(shù)的圖象有唯一交點，求的值．
7．（2024?溫州模擬）如圖，直線分別交軸、軸于點，，拋物線經(jīng)過點．
（1）求點的坐標和拋物線的函數(shù)表達式．
（2）若拋物線向左平移個單位后經(jīng)過點，求的值．
8．（2024?巴東縣模擬）已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過，、三點．
（1）求該二次函數(shù)解析式；
（2）將該二次函數(shù)圖象平移使其經(jīng)過點，且對稱軸為直線，求平移后的二次函數(shù)的解析式．
9．（2024?鄭州模擬）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線經(jīng)過點，判斷點是否在直線上，并說明理由；
（3）平移拋物線使其頂點仍在直線上，若平移后拋物線與軸交點的縱坐標為，求的取值范圍．
10．（2024?鞍山模擬）已知拋物線．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）將該拋物線向右平移個單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標原點，求的值．
11．（2023?原平市模擬）（1）計算：；
（2）觀察表格，完成相應任務：
任務一：補全表格；
任務二：觀察表格不難發(fā)現(xiàn)，當時代數(shù)式的值與當時代數(shù)式的值相等，我們稱這種現(xiàn)象為代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應的延后值為1：換個角度來看，將代數(shù)式，變形，得到③
，將與看成二次函數(shù)，則將的圖象④ （描述平移方式），可得到的圖象．若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，延后值為3，則代數(shù)式⑤ ．
12．（2024?南山區(qū)校級模擬）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要方法．小明同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
【觀察探究】：
方程的解為： ；
【問題解決】：
若方程有四個實數(shù)根，分別為、、、．
①的取值范圍是 ；
②計算 ；
【拓展延伸】：
①將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？畫出平移后的圖象并寫出平移過程；
②觀察平移后的圖象，當時，直接寫出自變量的取值范圍 ．
13．（2023?花山區(qū)一模）已知拋物線的頂點坐標為．
（1）求，的值；
（2）將拋物線向下平移個單位得到拋物線，存在點在上，求的取值范圍；
（3）拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線相交于、（點在點的左側(cè)），與相交于點、（點在點的左側(cè)），求的值．
14．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）已知拋物線經(jīng)過點和點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當自變量滿足時，求函數(shù)值的取值范圍；
（3）將此拋物線沿軸平移個單位長度后，當自變量滿足時，的最小值為5，求的值．
15．（2023?南寧一模）如圖1，拋物線的圖象經(jīng)過．
（1）求的值及拋物線的頂點坐標；
（2）當時，求的最大值與最小值的和；
（3）如圖2，將拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位得到新的拋物線，點為拋物線與的交點．設(shè)點到軸的距離為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當隨的增大而減小時，的取值范圍．
16．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，頂點為，與軸分別交于點和點（點在點的左邊），與軸交于點，其中點的坐標為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點記為，聯(lián)結(jié)．
①如果，求四邊形的面積；
②如果點在直線上，點在平移后拋物線的對稱軸上，當時，求點的坐標．
17．（2023?下城區(qū)校級模擬）如圖已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，點，頂點為點，過點作軸，交軸于點，交二次函數(shù)的圖象于點，連接．
（1）求該二次函數(shù)的表達式及點的坐標：
（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍；
（3）若為軸上且位于點下方的一點，為直線上一點，在第四象限的拋物線上是否存在一點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點的橫坐標：若不存在，請說明理由．
18．（2023?即墨區(qū)一模）如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認的文字，導致題目缺少一個條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為．
（1）請根據(jù)已有信息添加一個適當?shù)臈l件： ；
（2）當函數(shù)值時，自變量的取值范圍： ；
（3）如圖1，將函數(shù)的圖象向右平移4個單位長度，與的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，記為．若點在上，求的值；
（4）如圖2，在（3）的條件下，點的坐標為，在上是否存在點，使得．若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
19．（2023?武侯區(qū)模擬）定義：將二次函數(shù)的圖象沿軸向右平移，再沿軸翻折，得到新函數(shù)的圖象，則稱函數(shù)是函數(shù)的“值衍生拋物線”．已知．
（1）當時，
①求衍生拋物線的函數(shù)解析式；
②如圖1，函數(shù)與的圖象交于，，兩點，連接．點為拋物線上一點，且位于線段上方，過點作軸，交于點，交拋物線于點，求與存在的數(shù)量關(guān)系．
（2）當時，如圖2，函數(shù)與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．函數(shù)與軸交于，兩點，與軸交于點．點在拋物線上，且．請直接寫出點的橫坐標．
20．（2023?天門三模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點為，與軸交于點，線段軸，交該拋物線于另一點．
（1）求點的坐標及直線的解析式；
（2）當二次函數(shù)的自變量滿足時，此函數(shù)的最大值為，最小值為，且．求的值；
（3）平移拋物線，使其（備用圖）頂點始終在直線上移動，當平移后的拋物線與射線只有一個公共點時，設(shè)此時拋物線的頂點的橫坐標為，請直接寫出的取值范圍．
21．（2023?米東區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，點，頂點為點，過點作軸，交軸于點，交該二次函數(shù)圖象于點，連結(jié)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點的坐標；
（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍．
22．（2023?駐馬店二模）如圖1所示，平面直角坐標系中，拋物線交軸于、兩點，與軸交于點，已知點坐標為．
（1）求拋物線解析式及其頂點坐標．
（2）若將拋物線向右平移個單位，得新拋物線“”，若“”與坐標軸僅有兩個交點，求值．
（3）若點為線段上一動點，過點作軸平行線，該平行線與“”交點為，請直接寫出點的縱坐標的取值范圍．
23．（2023?寶雞二模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點．將拋物線向右平移一個單位得到拋物線．
（1）求拋物線與的函數(shù)解析式；
（2）連接，探究拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
題型二：二次函數(shù)中的翻折問題
24．（2024?江西模擬）已知二次函數(shù)經(jīng)過，兩定點（點在點的左側(cè)），頂點為．
（1）求定點，的坐標；
（2）把二次函數(shù)的圖象在直線下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原二次函數(shù)位于直線上方的部分的組合圖象記作圖象，求向上翻折部分的函數(shù)解析式；
（3）在（2）中，已知的面積為8．
①當時，求圖象中的取值范圍；
②若直線與圖象從左到右依次交于，，，四點，若，求的值．
25．（2023?零陵區(qū)三模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．
（1）求、兩點的坐標（用含的式子表示）；
（2）將該二次函數(shù)圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其他部分保持不變，得到一個新的函數(shù)圖象．若當時，這個新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍；
（3）已知直線，點在二次函數(shù)的圖象上，點的橫坐標為，二次函數(shù)的圖象在、之間的部分記為（包括點，，圖象上恰有一個點到直線的距離為2，直接寫出的取值范圍．
26．（2023?連云港）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，，且平行于軸，與拋物線交于、兩點在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．
（1）當時，求點的坐標；
（2）連接、、，若為直角三角形，求此時所對應的函數(shù)表達式；
（3）在（2）的條件下，若的面積為3，、兩點分別在邊、上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
27．（2024?鹽城模擬）已知拋物線為常數(shù)且與軸交于點．
（1）點的坐標為 ；對稱軸為 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）無論取何值，拋物線都過定點（與點不重合），則點的坐標為 ；
（3）若，且自變量滿足時，圖象最高點的縱坐標為2，求拋物線的表達式；
（4）將點與點之間的函數(shù)圖象記作圖象（包含點、，若將在直線下方的部分保持不變，上方的部分沿直線進行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象，若圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，求的值．
28．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點，，頂點為．
（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點的坐標；
（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：
①點，之間的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式為 ；
②當時，求的取值范圍；
③當，且時，若最高點與最低點的縱坐標的差為，直接寫出的值．
29．（2023?余江區(qū)一模）已知拋物線
（1）當時，
①拋物線的頂點坐標為 ．
②將拋物線沿軸翻折得到拋物線，則拋物線的解析式為 ．
（2）無論為何值，直線與拋物線相交所得的線段（點在點左側(cè)）的長度都不變，求的值和的長；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿直線翻折，得到拋物線，拋物線，的頂點分別記為，，是否存在實數(shù)，使得以點，，，為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．
30．（2023?越秀區(qū)校級三模）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，將二次函數(shù)圖象中軸左側(cè)部分沿軸翻折，保留其他部分得到新的圖象．
（1）求的值；
（2）①當時，圖與軸交于點，在的左側(cè)），與軸交于點．當為直角三角形時，求的值；
②在①的條件下，當圖象中時，結(jié)合圖象求的取值范圍；
（3）已知兩點，，當線段與圖象恰有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．
題型三：二次函數(shù)對稱問題
31．（2024?雁塔區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱，是拋物線的軸上方且在對稱軸左側(cè)的一點，過點作軸的平行線交拋物線于點，點、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點分別為、．試探究是否存在一點，使得四邊形為長寬之比是的矩形？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．
32．（2023?鄞州區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)的圖象是．
（1）求關(guān)于點成中心對稱的圖象的解析式；
（2）當時，的最大值為5，求的值．
33．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，與軸交于，連接，作直線．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）已知直線上方拋物線上有一動點，過點作軸交于，過作軸交軸于，求的最大值和此時點坐標；
（3）將原拋物線沿方向平移個單位長度得到新拋物線，已知點是新拋物線上一動點，且，求所有符合條件的點的橫坐標并寫出其中一種情況的求解過程．
34．（2023?海安市模擬）已知兩個函數(shù)，如果對于任意的自變量，這兩個函數(shù)對應的函數(shù)值記為，，都有點、關(guān)于點對稱，則稱這兩個函數(shù)為關(guān)于的對稱函數(shù)，例如，和為關(guān)于的對稱函數(shù)．
（1）判斷：①和；②和；③和，其中為關(guān)于的對稱函數(shù)的是 （填序號）；
（2）若和為關(guān)于的對稱函數(shù)．求、的值．
（3）若和為關(guān)于的對稱函數(shù)，令，當函數(shù)與函數(shù)有且只有一個交點時，求的取值范圍．
35．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線與軸于點，，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，過點作軸交拋物線于點，是拋物線上的一個動點，連接、、、．若，求點的坐標．
36．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，頂點在軸負半軸上的拋物線與直線相交于點，，連接，．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若將拋物線向下平移3個單位長度，則在平移后的拋物線上，且在直線的下方，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
題型四：二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問題
37．（2023?吉安縣校級一模）已知拋物線分別交軸于，兩點，且與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）將該二次函數(shù)繞點旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后的二次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點坐標為，且與軸的右側(cè)交點為，順次連接、、、，求四邊形的面積．
38．（2023?郟縣一模）如圖，直線與軸交于點，拋物線經(jīng)過點，與軸的一個交點為在的左側(cè)），過點作垂直軸交直線于．
（1）求的值及點的坐標；
（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點、的對應點分別為點、．將拋物線沿軸向右平移使它過點，求平移后所得拋物線的解析式．
39．（2023?鄲城縣二模）如圖1，拋物線分別交軸于，兩點，且與軸交于點．
（1）求拋物線的表達式及頂點的坐標．
（2）如圖2，將該拋物線繞點旋轉(zhuǎn)．
①求旋轉(zhuǎn)后的拋物線的表達式；
②旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點坐標為，且與軸的右側(cè)交于點，順次連接，，，，求四邊形的面積．
40．（2023?長春模擬）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．拋物線經(jīng)過點，點，并與軸有另一交點．
（1）依題，點的坐標是 ，點的坐標是 ．
（2）求拋物線的解析式．
（3）在直線下方的拋物線上有一點，求四邊形面積的最大值．
（4）在軸上有一個動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．直接寫出線段與拋物線只有一個公共點時的取值范圍．
題型五：二次函數(shù)中的幾何變換
41．（2024?梧州模擬）九年級數(shù)學興趣小組的同學研究發(fā)現(xiàn)若把二次函數(shù)的系數(shù)調(diào)換位置變成新的二次函數(shù)，且，這兩個函數(shù)有一定的關(guān)連，于是命名它們?yōu)椤盎閷φ{(diào)函數(shù)”，根據(jù)這個規(guī)定，解答下列問題：
（1）若二次函數(shù)，則它的“對調(diào)函數(shù)”是 ，且此“對調(diào)函數(shù)”與軸的交點是 ；
（2）若、為非零實數(shù)，二次函數(shù)經(jīng)過兩個不同的點與點，請求出“對調(diào)函數(shù)” 的對稱軸；
（3）在（2）中，“對調(diào)函數(shù)” 的圖象是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過，求出這兩個定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．
平移方式（n＞0)
一般式y(tǒng)=ax2+bx+c
頂點式y(tǒng)＝a(x–h) 2＋k
平移口訣
向左平移n個單位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n個單位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右減
向上平移n個單位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n個單位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下減
變換前
變換方式
變換后
口訣
y=a(x-h)2+k
繞頂點旋轉(zhuǎn)180°
y= -a(x-h)2+k
a變號，h、k均不變
繞原點旋轉(zhuǎn)180°
y= -a(x+h)2-k
a、h、k均變號
沿x軸翻折
y= -a(x-h)2-k
a、k變號，h不變
沿y軸翻折
y= a(x+h)2+k
a、h不變，h變號
0
1
2
2
①
7
7
2
②
2
已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．
求該二次函數(shù)的解析式．

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專題37 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)（舉一反三）（含答案） 全國版中考數(shù)學題型訓練：

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【一輪復習】備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學專題訓練-專題九 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)（教師版+學生版）：

這是一份【一輪復習】備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學專題訓練-專題九 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)（教師版+學生版），共51頁。

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