2025年初中學業(yè)水平考試模擬試題（一）
數(shù)學
注意事項：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁，總分120分．考試時間120分鐘．
2．領到試卷和答題卡后，請用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫學校、姓名、年級和座位號．
3．請在答題卡上各題的指定區(qū)域內作答，否則作答無效．
4．作圖時，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．
5．考試結束，本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. 51D.
2. 用一個平面截一個幾何體，得到截面是矩形，則這個幾何體不可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如圖，，點、分別在、上，于點，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 我國古代《易經》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A 67天B. 24天C. 25天D. 149天
5. 如圖，在中，，，為等邊三角形，的邊與的邊均在直線上，且點與點到直線的距離相等，若，則的長為（ ）
A. 5B. 6C. 3D. 4
6. 在平面直角坐標系中，將直線沿軸向下平移2個單位長度后，得到的直線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A. 6B. 4C. 9D. 8
7. 如圖，內接于為的直徑，點為劣弧上一點，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知拋物線（為常數(shù)，）上有四個點，若四個數(shù)中有且只有一個數(shù)大于0，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 （非選擇題共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9. 寫出不等式組的一個整數(shù)解___________．（寫出一個即可）
10. 如圖，為正六邊形的一條對角線，于點，連接，若正六邊形的邊長為2，則的長為___________．

11. 已知在菱形中，對角線與相交于點，點分別為的中點，若，則的長為___________．
12. 如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，為坐標原點，點與點關于軸對稱，點與點關于所在直線對稱，連接，若的面積為6，則的值為___________．
13. 如圖，為正方形對角線，點為的中點，點為上的動點（不與端點重合），連接，將線段繞點沿逆時針方向旋轉得到線段，連接，若四邊形的面積為4，則正方形的邊長為___________．
三、解答題（共13小題，計81分．解答應寫出過程）
14. 計算：．
15. 解方程：．
16. 先化簡，再求值：，其中．
17. 如圖，已知，點在上，點在上，連接，請用尺規(guī)作圖法在上求作一點，連接交于點，使得與互余．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18. 如圖，點為矩形內一點，連接，若，求證：．
19. 在2025年3月22日第33屆“世界水日”來臨之際，某市開展了“節(jié)水惜水潤萬物·愛水護水益千秋”宣傳活動．已知甲、乙兩個工廠3月上旬共用水70噸，為了積極響應本市節(jié)水號召，甲工廠3月中旬用水量比上旬減少了，乙工廠3月中旬用水量比上旬減少了，兩個工廠3月中旬共用水59噸，試求兩個工廠3月上旬用水量分別為多少噸？
20. 通過化學學習我們知道，混合物和純凈物是物質存在的兩種基本形態(tài)，性質和組成差異較大．為了加深對純凈物和混合物的理解，化學興趣小組的玥玥和琪琪兩位同學做了如下游戲：將一個可自由轉動的轉盤平均分成5個相等的扇形，并分別標上．干冰、．碘酒、．海水、．甲烷、．生鐵，如圖，每位同學轉動一次轉盤，轉盤停止后，判斷指針所指扇形對應的物質屬于純凈物還是混合物（若指針剛好落在分割線上，則重新轉動轉盤，直到指針指向某一扇形為止；這5種物質中，純凈物有干冰和甲烷，混合物有碘酒、海水和生鐵）．
（1）“玥玥轉動一次轉盤，轉盤停止后指針指向B．碘酒”是___________事件；（填“必然”或“隨機”或“不可能”）
（2）若玥玥和琪琪各自轉動一次轉盤，且他們對每一種物質的基本形態(tài)判斷均正確，請用列表法或畫樹狀圖的方法求玥玥和琪琪判斷的結果都是混合物的概率．
21. 我們知道，液體的飽和蒸氣壓與外界壓強相等時的溫度，即液體沸騰時候的溫度，就叫做液體的沸點．勤學善思的瑤瑤同學想通過數(shù)學知識測得生活中某種液體的沸點，通過詢問老師得知，在均勻加熱的情況下，該液體的溫度與加熱時間之間滿足一次函數(shù)關系．瑤瑤同學回到家后在保證安全的情況下，采用均勻加熱的方式，記錄了加熱時間與該液體的溫度之間的幾組對應值，如下表．
請你根據表中信息，解答下列問題：
（1）求與之間的函數(shù)關系式；
（2）瑤瑤同學觀察發(fā)現(xiàn)，當加熱到9分鐘時，該液體沸騰了，請你計算該液體的沸點．
22. 黃帝手植柏位于陜西省境內，享有“世界柏樹之父”“中華第一柏”的美譽，象征著中華民族不屈不撓、生生不息的精神．楊洋同學旅游期間，想運用所學知識測量這棵柏樹（如圖1）的高度，如圖2，他在地面上的點處放置一面平面鏡（大小不計），站在點處，眼睛位于點處時，恰好在平面鏡中看到樹的最高點的像，他沿后退到點處，放置一個測角儀，測得樹的最高點的仰角．經測量，楊洋同學眼睛到地面的距離米，米，米，測角儀的高度米，已知在同一水平線上，，圖中所有的點都在同一平面內，請你計算黃帝手植柏的高度．【參考數(shù)據：，】
23. 今年央視春晚節(jié)目《秧BOT》別出心裁，獨樹一幟，人機共舞為文化傳承搭建了新的橋梁，不僅舞出了精彩的節(jié)目，更是舞出了傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技交織的藝術新境界．科創(chuàng)小達人菲菲從某省的快遞分揀站隨機抽取A、B兩種型號的智能機器人各10臺，統(tǒng)計它們每天可分揀的快遞數(shù)量．
【數(shù)據收集與整理】
型號的智能機器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬件）條形統(tǒng)計圖如圖所示：
型號的智能機器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬件）如下表所示：
【數(shù)據分析與運用】
兩組樣本數(shù)據眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)整理如下表：
請你根據以上數(shù)據，解答下列問題：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）請計算表中的值；（需要寫出計算過程）
（3）若該省共投放市場的型號智能機器人有80臺，型號智能機器人有100臺，請你估計該省每天用這兩種智能機器人分揀的快遞共有多少萬件？
24. 如圖，內接于為的直徑，過點作的切線交的延長線于點，過點作于點，延長交于點．
（1）求證：；
（2）若，求長．
25. 射水魚是一種小型的觀賞魚類，它“槍打飛鳥”的捕食方式在魚類中是極罕見的，因擁有精準的射水技巧而被稱為自然界的神射手．一條射水魚某次捕食時射出的水流軌跡呈拋物線形，如圖所示，拋物線的最高點為點，以水流起點為坐標原點，分別以過點的水平直線和豎直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，圖中所有的點都在同一平面內，已知水流拋物線滿足關系式（為常數(shù)），且水流恰好擊中了點處的一只昆蟲．
（1）求的值；
（2）求水流拋物線最高點到軸的距離；
（3）已知距離軸高度的點處也有一只昆蟲（點在拋物線對稱軸的右側），請問這只昆蟲到軸的距離為多少時，恰好會被同一軌跡的水流擊中？
26. 【問題探究】
（1）如圖1，在矩形中，，點為左側一動點，連接于點，點為矩形內一點，連接，求面積的最小值；
【問題解決】
（2）如圖2，直線為一條筆直小路，矩形種植地的邊在直線上，且米，趙叔叔計劃對這塊種植地重新進行規(guī)劃利用，在邊和點上方的小路上分別取點，使得，沿修建兩條通道（記通道與的交點為），并在上取點，沿修建第三條通道，使得，在的內心處修建一個觀賞臺，并在內種植某種新品種作物，根據趙叔叔的規(guī)劃要求，觀賞臺到兩點的距離相等，請你計算此時的面積．
XC
2025年初中學業(yè)水平考試模擬試題（一）
數(shù)學
注意事項：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁，總分120分．考試時間120分鐘．
2．領到試卷和答題卡后，請用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫學校、姓名、年級和座位號．
3．請在答題卡上各題的指定區(qū)域內作答，否則作答無效．
4．作圖時，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．
5．考試結束，本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. 51D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．根據符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．
【詳解】解：的相反數(shù)是51．
故選：C．
2. 用一個平面截一個幾何體，得到的截面是矩形，則這個幾何體不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了幾何體的截面，根據圓錐、圓柱、球體，三棱柱的幾何特征，分別分析出用一個平面去截該幾何體時，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案．
【詳解】解：A. 截面可能是矩形，故該選項不符合題意；
B. 截面可能是矩形，故該選項不符合題意；
C. 截面不可能是矩形，故該選項符合題意；
D. 截面可能是矩形，故該選項不符合題意；
故選：C．
3. 如圖，，點、分別在、上，于點，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查平行線的性質和直角三角形兩銳角互余，根據平行線的性質可得出，由直角三角形兩銳角互余可得，由平角的定義可得．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
∴
又
∴
故選：D．
4. 我國古代《易經》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A. 67天B. 24天C. 25天D. 149天
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查含乘方的有理數(shù)的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據題意列出計算式進行計算即可．
【詳解】解：由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是，
故選A．
5. 如圖，在中，，，為等邊三角形，的邊與的邊均在直線上，且點與點到直線的距離相等，若，則的長為（ ）
A. 5B. 6C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】連接，利用直角三角形性質得到，再結合等邊三角形性質證明四邊形為平行四邊形，最后利用平行四邊形性質求解，即可解題．
【詳解】解：連接，
點與點到直線的距離相等，
，
，，
，
，
，
為等邊三角形，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了點到直線的距離，等邊三角形性質，直角三角形性質，平行四邊形的性質和判定，解題的關鍵在于構造輔助線證明四邊形為平行四邊形．
6. 在平面直角坐標系中，將直線沿軸向下平移2個單位長度后，得到的直線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A. 6B. 4C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)圖象的平移問題，根據上加下減，左減右加的平移規(guī)律得到平移后的直線解析式，再求出平移后的直線與坐標軸的兩個交點坐標即可得到答案．
【詳解】解：將直線沿軸向下平移2個單位長度后，得到的直線解析式為，
在中，當，，當時，，
∴平移后的直線與坐標軸的兩個交點坐標為，，
∴平移后的直線與坐標軸圍成的三角形面積為，
故選：B．
7. 如圖，內接于為的直徑，點為劣弧上一點，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查圓周角定理，連接，得，由得，根據同弧所對圓周角相等得，從而可求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴
∵，
∴，
∵所對的圓周角是，
∴，
∴
故選：A．
8. 已知拋物線（為常數(shù)，）上有四個點，若四個數(shù)中有且只有一個數(shù)大于0，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質是解題的關鍵．根據題意求出對稱軸，根據四個數(shù)中有且只有一個數(shù)大于0，得到不等式，進行計算即可．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為，
關于對稱軸的對應點為，
，
拋物線與軸的交點為，
關于對稱軸的對應點為，
若四個數(shù)中有且只有一個數(shù)大于0，
當時，在對稱軸左側隨的增大而減小，
故，
，
解得，
當時，在對稱軸左側隨的增大而增大，
四個數(shù)全都大于，不符合題意；
故選B．
第二部分 （非選擇題共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9. 寫出不等式組的一個整數(shù)解___________．（寫出一個即可）
【答案】2（答案不唯一，填“3”或“4”也正確）
【解析】
【分析】本題主要考查不等式組的計算，熟練掌握不等式組的運算法則是解題的關鍵．根據運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，
解不等式②得：，
故不等式的解集為：，
故答案為：2（答案不唯一，填“3”或“4”也正確）．
10. 如圖，為正六邊形的一條對角線，于點，連接，若正六邊形的邊長為2，則的長為___________．

【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查正多邊形，根據正六邊形是軸對稱圖形可求出，由可得，得，由勾股定理可求出，．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴
∵六邊形是軸對稱圖形，
∴是它的一條對稱軸，
∴
∵，即
∴
∴，
在中，
∴
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
故答案為：．
11. 已知在菱形中，對角線與相交于點，點分別為的中點，若，則的長為___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質，三角形中位線定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．根據菱形的性質得到，根據勾股定理求出，得出，再根據三角形中位線定理即可得到答案．
【詳解】解：菱形，
，
，
，
，
點M、N分別為的中點，
是的中位線，
，
故答案為：．
12. 如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，為坐標原點，點與點關于軸對稱，點與點關于所在直線對稱，連接，若的面積為6，則的值為___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，由對稱性得到的面積為6．設，則利用三角形的面積公式得到關于k的方程，借助于方程來求k的值．
【詳解】解：連接，
∵點與點關于對稱，
∴
∴，
設，
∵點與點關于軸對稱，
∴，
∴，
故答案為：6．
13. 如圖，為正方形的對角線，點為的中點，點為上的動點（不與端點重合），連接，將線段繞點沿逆時針方向旋轉得到線段，連接，若四邊形的面積為4，則正方形的邊長為___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理．連接，證明，推出，得到，即隨著點的運動，點始終在過點且與垂直的直線上運動，根據列式計算即可求解．
詳解】解：連接，如圖，
∵正方形，點為對角線的中點，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，即隨著點的運動，點始終在過點且與垂直的直線上運動，
∴，
∴
，
則，
∴，
∴正方形的邊長為，
故答案為：．
三、解答題（共13小題，計81分．解答應寫出過程）
14. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查實數(shù)的混合運算，原式先計算平方和負整數(shù)指數(shù)冪，再計算乘法，最后進行加減運算即可．
【詳解】解：
．
15. 解方程：．
【答案】方程無解
【解析】
【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對方程的解檢驗即可．解題的關鍵是注意對分式方程的解進行檢驗．
【詳解】解：，
去分母、去括號，得，
移項、合并同類項，得，
系數(shù)化為1，得，
檢驗：當時，，
是方程增根，
故原分式方程無解．
16. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查整式的混合運算，原式根據多項式乘以多項式和單項式乘以多項式運算法則將括號展開，再合并，得最簡結果，再把代入計算即可．
【詳解】解：
．
當時，原式．
17. 如圖，已知，點在上，點在上，連接，請用尺規(guī)作圖法在上求作一點，連接交于點，使得與互余．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查過直線外一點作已知直線的垂線，平行線的性質，直角三角形兩銳角互余等知識，過點P作的垂線，交于點H，則點H即為所作．
【詳解】解：如圖，點H即為所作，
18. 如圖，點為矩形內一點，連接，若，求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，根據等腰三角形的性質求出，根據矩形的性質求出，求出，根據推出即可．
【詳解】證明：四邊形是矩形，
．
，
．
在與中，
，
，
．
19. 在2025年3月22日第33屆“世界水日”來臨之際，某市開展了“節(jié)水惜水潤萬物·愛水護水益千秋”宣傳活動．已知甲、乙兩個工廠3月上旬共用水70噸，為了積極響應本市節(jié)水號召，甲工廠3月中旬用水量比上旬減少了，乙工廠3月中旬用水量比上旬減少了，兩個工廠3月中旬共用水59噸，試求兩個工廠3月上旬用水量分別為多少噸？
【答案】甲工廠3月上旬用水量為40噸，乙工廠3月上旬用水量為30噸．
【解析】
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，設甲工廠3月上旬用水量為噸，則乙工廠3月上旬用水量為噸，可得甲工廠3月中旬用水量為噸，乙工廠3月中旬用水量為噸，根據兩個工廠3月中旬共用水59噸可列方程，求解即可．
【詳解】解：設甲工廠3月上旬用水量噸，根據題意得，
，
解得，
（噸），
答：甲工廠3月上旬用水量為40噸，乙工廠3月上旬用水量為30噸．
20. 通過化學學習我們知道，混合物和純凈物是物質存在的兩種基本形態(tài)，性質和組成差異較大．為了加深對純凈物和混合物的理解，化學興趣小組的玥玥和琪琪兩位同學做了如下游戲：將一個可自由轉動的轉盤平均分成5個相等的扇形，并分別標上．干冰、．碘酒、．海水、．甲烷、．生鐵，如圖，每位同學轉動一次轉盤，轉盤停止后，判斷指針所指扇形對應的物質屬于純凈物還是混合物（若指針剛好落在分割線上，則重新轉動轉盤，直到指針指向某一扇形為止；這5種物質中，純凈物有干冰和甲烷，混合物有碘酒、海水和生鐵）．
（1）“玥玥轉動一次轉盤，轉盤停止后指針指向B．碘酒”是___________事件；（填“必然”或“隨機”或“不可能”）
（2）若玥玥和琪琪各自轉動一次轉盤，且他們對每一種物質的基本形態(tài)判斷均正確，請用列表法或畫樹狀圖的方法求玥玥和琪琪判斷的結果都是混合物的概率．
【答案】（1）隨機 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查基本事件以及樹狀圖求概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
（1）根據基本事件的定義進行判斷即可；
（2）畫出樹狀圖，共有25種等可能情況，其中玥玥和琪琪判斷的結果都是混合物的情況有9種，根據概率公式進行計算即可．
【小問1詳解】
解：由題意知，轉盤停止后指針指向B可能發(fā)生也可能不發(fā)生，屬于隨機事件．
故答案為：隨機．
【小問2詳解】
解：根據題意畫樹狀圖如下
由樹狀圖可知，共有25種等可能的情況，其中玥玥和琪琪判斷的結果都是混合物的情況有9種，
．
21. 我們知道，液體的飽和蒸氣壓與外界壓強相等時的溫度，即液體沸騰時候的溫度，就叫做液體的沸點．勤學善思的瑤瑤同學想通過數(shù)學知識測得生活中某種液體的沸點，通過詢問老師得知，在均勻加熱的情況下，該液體的溫度與加熱時間之間滿足一次函數(shù)關系．瑤瑤同學回到家后在保證安全的情況下，采用均勻加熱的方式，記錄了加熱時間與該液體的溫度之間的幾組對應值，如下表．
請你根據表中信息，解答下列問題：
（1）求與之間的函數(shù)關系式；
（2）瑤瑤同學觀察發(fā)現(xiàn)，當加熱到9分鐘時，該液體沸騰了，請你計算該液體的沸點．
【答案】（1）．
（2）該液體的沸點為．
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關系式是本題的關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）將代入函數(shù)表達式，求出對應的值即可．
【小問1詳解】
解：設與之間的函數(shù)關系式為．
根據題意，得，
解得，
與之間的函數(shù)關系式為；
【小問2詳解】
解：當時，，
該液體的沸點為．
22. 黃帝手植柏位于陜西省境內，享有“世界柏樹之父”“中華第一柏”的美譽，象征著中華民族不屈不撓、生生不息的精神．楊洋同學旅游期間，想運用所學知識測量這棵柏樹（如圖1）的高度，如圖2，他在地面上的點處放置一面平面鏡（大小不計），站在點處，眼睛位于點處時，恰好在平面鏡中看到樹的最高點的像，他沿后退到點處，放置一個測角儀，測得樹的最高點的仰角．經測量，楊洋同學眼睛到地面的距離米，米，米，測角儀的高度米，已知在同一水平線上，，圖中所有的點都在同一平面內，請你計算黃帝手植柏的高度．【參考數(shù)據：，】
【答案】19.4米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，延長交于點，則，證明得，得出，在Rt中，，代入相關數(shù)據可求出米，即可得出結論．
【詳解】解：延長交于點，如圖．則，
四邊形為矩形，
米，．
，
，
即
．
在Rt中，，
即，
解得米，
米，
即黃帝手植柏的高度為19.4米．
23. 今年央視春晚節(jié)目《秧BOT》別出心裁，獨樹一幟，人機共舞為文化傳承搭建了新的橋梁，不僅舞出了精彩的節(jié)目，更是舞出了傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技交織的藝術新境界．科創(chuàng)小達人菲菲從某省的快遞分揀站隨機抽取A、B兩種型號的智能機器人各10臺，統(tǒng)計它們每天可分揀的快遞數(shù)量．
【數(shù)據收集與整理】
型號的智能機器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬件）條形統(tǒng)計圖如圖所示：
型號的智能機器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬件）如下表所示：
【數(shù)據分析與運用】
兩組樣本數(shù)據的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)整理如下表：
請你根據以上數(shù)據，解答下列問題：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）請計算表中的值；（需要寫出計算過程）
（3）若該省共投放市場的型號智能機器人有80臺，型號智能機器人有100臺，請你估計該省每天用這兩種智能機器人分揀的快遞共有多少萬件？
【答案】（1）20，15
（2）20． （3）3200萬件．
【解析】
【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計總體，從統(tǒng)計圖中得出數(shù)量之間關系是解答本題的關鍵．
（1）根據眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；
（2）運用加權平均數(shù)的計算公式求解即可；
（3）分別求出型和型號智能機器人分別分揀的快遞件數(shù)，再求和即可．
【小問1詳解】
解：型號的智能機器人每天可分揀20萬件的機器人有5臺，數(shù)量最多，
故眾數(shù)；
型智能機器人分揀的快遞件數(shù)最中間的兩個數(shù)據是15，15，
故中位數(shù)；
故答案為：20；15；
【小問2詳解】
解：（萬件），
表中的值為20．
【小問3詳解】
解：（萬件），
估計該省每天用這兩種智能機器人分揀的快遞共有3200萬件．
24. 如圖，內接于為的直徑，過點作的切線交的延長線于點，過點作于點，延長交于點．
（1）求證：；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查切線的性質，圓周角定理和相似三角形和判定與性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．
（1）連接，可得，，由得，由，故可得結論；
（2）證明為的中位線，可得，可證明得，求出，進一步可得結論．
【小問1詳解】
證明：連接，如圖．
為的切線，
，
，
即．
．
，
，即．
【小問2詳解】
解：∵，
∴．
點為的中點，，
為的中位線，
，且，
，
．
．
．
25. 射水魚是一種小型的觀賞魚類，它“槍打飛鳥”的捕食方式在魚類中是極罕見的，因擁有精準的射水技巧而被稱為自然界的神射手．一條射水魚某次捕食時射出的水流軌跡呈拋物線形，如圖所示，拋物線的最高點為點，以水流起點為坐標原點，分別以過點的水平直線和豎直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，圖中所有的點都在同一平面內，已知水流拋物線滿足關系式（為常數(shù)），且水流恰好擊中了點處的一只昆蟲．
（1）求的值；
（2）求水流拋物線最高點到軸的距離；
（3）已知距離軸高度的點處也有一只昆蟲（點在拋物線對稱軸的右側），請問這只昆蟲到軸的距離為多少時，恰好會被同一軌跡的水流擊中？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用問題，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．
（1）將點代入解析式求出b的值即可解題；
（2）根據（1）種拋物線的解析式，根據頂點坐標公式計算解題；
（3）當時求出自變量的值，解答即可．
【小問1詳解】
解：將點代入，
得，解得．
【小問2詳解】
由（1）可得拋物線的函數(shù)表達式為，
拋物線的對稱軸為直線，
當時，，
水流拋物線最高點到軸的距離為．
【小問3詳解】
在中，令，
得，解得．
點在拋物線對稱軸的右側，
的值應為，
即這只昆蟲到軸的距離為時，恰好會被同一軌跡的水流擊中．
26. 【問題探究】
（1）如圖1，在矩形中，，點為左側一動點，連接于點，點為矩形內一點，連接，求面積的最小值；
【問題解決】
（2）如圖2，直線為一條筆直小路，矩形種植地的邊在直線上，且米，趙叔叔計劃對這塊種植地重新進行規(guī)劃利用，在邊和點上方的小路上分別取點，使得，沿修建兩條通道（記通道與的交點為），并在上取點，沿修建第三條通道，使得，在的內心處修建一個觀賞臺，并在內種植某種新品種作物，根據趙叔叔的規(guī)劃要求，觀賞臺到兩點的距離相等，請你計算此時的面積．
【答案】（1）；（2）平方米
【解析】
【分析】（1）作的外接圓，連接，則點為矩形內上的動點，且，要使的面積最小，只需邊上的高最?。〉闹悬c，連接并延長，分別交劣弧和于點和，連接，再求解即可；
（2）由四邊形是矩形可得．連接，如圖2，則平分平分，可得，作的外接圓，連接，則點為矩形內上的動點，且，取的中點，連接并延長，分別交劣弧和于點和，連接，再求解即可．
【詳解】解：（1）于點
，
，
作的外接圓，連接，如圖1，
則點為矩形內上的動點，且，
，
四邊形為矩形，
，
要使的面積最小，只需邊上的高最?。?br>取的中點，連接并延長，分別交劣弧和于點和，
連接，如圖1．
為的中點，
，
，
，
易得當點與點重合時，點到的距離最小，
即中邊上的高最小，最小值為，
面積的最小值為．
（2）四邊形是矩形，
．
，
，
，
連接，如圖2，則平分平分，
，
．
作的外接圓，連接，如圖2，
則點為矩形內上的動點，且，
，
取的中點，連接并延長，分別交劣弧和于點和，連接，如圖2．
由可得垂直平分，
垂直平分
，
根據趙叔叔的規(guī)劃要求，點應在點的位置．
四邊形為矩形，
米，
又垂直平分垂直平分，
米，米，
米，米，
米，
米．
（平方米），
即此時面積為平方米．
【點睛】本題考查了矩形的性質，圓的有關性質，最短線段問題，線段垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握矩形的性質，圓的有關性質，垂線段最短．
加熱時間/分鐘
．．．
2
3
4
5
6
．．．
液體溫度
．．．
36
44
52
60
68
．．．
分揀快遞數(shù)量（萬件）
16
17
20
22
23
機器人臺數(shù)（臺）
1
1
5
2
1
眾數(shù)/萬件
中位數(shù)/萬件
平均數(shù)/萬件
型號
14和16
15
型號
20
加熱時間/分鐘
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液體溫度
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分揀快遞數(shù)量（萬件）
16
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機器人臺數(shù)（臺）
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眾數(shù)/萬件
中位數(shù)/萬件
平均數(shù)/萬件
型號
14和16
15
型號
20

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