2025年陜西省漢中市漢臺(tái)區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷 （原卷版+解析版）

這是一份2025年陜西省漢中市漢臺(tái)區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷 （原卷版+解析版），共29頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知，則銳角A度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖是由兩個(gè)寬度相同的長方體組成的幾何體，它的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，已知，點(diǎn)D是邊延長線上一點(diǎn)，，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式組的解集為（ ）
A. B.
C. D.
5. 如圖，在中，于點(diǎn)D，，是的中線，若，，則的長為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則k的值為（ ）
A. 2B. 3C. D.
7. 日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成如圖，它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知，，垂足為點(diǎn)C，，垂足為點(diǎn)D，，的半徑，則圓盤離桌面最近的距離是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知點(diǎn)，，在拋物線上，且，則m的取值范圍是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．
9. 若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解為，則a的值為______．
10. 如圖，的對角線，相交于點(diǎn)O，要使成為菱形，還需添加的一個(gè)條件是_________．

11. 花窗映蛇歲，新春共歡顏．如圖為“盤長如意”花窗，中間圖案是由若干個(gè)小平行四邊形按一定規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形共有8個(gè)小平行四邊形，第2個(gè)圖形共有15個(gè)小平行四邊形，第3個(gè)圖形共有22個(gè)小平行四邊形，?，則第30個(gè)圖形中共有______個(gè)小平行四邊形．
12. 如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，軸于點(diǎn)D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，若菱形的面積為20，，則k的值為______．
13. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，連接，若，則的最大值為______．
三、解答題：本題共13小題，共81分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
14. 計(jì)算：．
15. 化簡：．
16. 解方程：．
17. 如圖，在中，是的中線，利用尺規(guī)作圖法在上求作一點(diǎn)E，連接，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）
18. 如圖，在和中，和交于點(diǎn)E，，，求證：．
19. 隨著人們對身心健康關(guān)注度越來越高，某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2022年的30萬人增加到2024年的萬人，求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率．
20. 習(xí)近平總書記指出：“體育鍛煉要從小抓起，體育鍛煉多一些，‘小胖墩’、‘小眼鏡’就少一些”．為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，加強(qiáng)體育鍛煉，某校組織了春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩位同學(xué)均報(bào)名參加了200米短跑項(xiàng)目，已知該校200米短跑項(xiàng)目的賽道共有A、B、C、D四條（如圖所示），參加200米短跑的同學(xué)通過抽簽決定自己的賽道每組比賽中，每條賽道上只有一名同學(xué)，有四支簽分別代表這四條賽道，甲同學(xué)先隨機(jī)抽取一支，不放回，乙同學(xué)再從剩下的隨機(jī)抽取一支．
（1）甲同學(xué)抽到的賽道恰好是A賽道的概率為______；
（2）用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩名同學(xué)恰好抽中的賽道相鄰的概率．
21. 如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組利用相似的知識(shí)和光的反射定律（反射角等于入射角）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中測量崇文塔的高度
【測量步驟】某一時(shí)刻崇文塔影長為，同一時(shí)刻小明站在地面上的點(diǎn)處時(shí)，小明影子的頂端也在E處，在地面上的處放置一塊平面鏡（大小忽略不計(jì)），小明沿移動(dòng)至點(diǎn)處時(shí)，恰好從平面鏡中看到崇文塔的頂端；
【測量數(shù)據(jù)】經(jīng)過測量可知，，，．已知點(diǎn)在同一條直線上，且，，，請你根據(jù)以上測量步驟及所得數(shù)據(jù)求出崇文塔的高度．
22. 剪紙藝術(shù)，是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，常用紙張、金銀箔、樹皮、樹葉、布、皮革等制作，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之一．某商家在春節(jié)前夕購進(jìn)甲、乙兩種剪紙裝飾套裝共500套進(jìn)行銷售，已知購進(jìn)一套甲種剪紙比購進(jìn)一套乙種剪紙少8元，購進(jìn)3套甲種剪紙和5套乙種剪紙共需96元．
（1）求這兩種剪紙購進(jìn)時(shí)的單價(jià)分別為多少元/套？
（2）若甲種剪紙的售價(jià)為10元/套，乙種剪紙的售價(jià)為20元/套，設(shè)購進(jìn)甲種剪紙裝飾x套，銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤的最小值．
23. 2025年我國持續(xù)深入推進(jìn)藍(lán)天、碧水、凈土保衛(wèi)戰(zhàn)．某校為了解八、九年級(jí)學(xué)生對環(huán)保知識(shí)的掌握情況，組織了一次環(huán)保知識(shí)競賽（滿分50分），已知該校八年級(jí)有600名學(xué)生，九年級(jí)有540名學(xué)生，分別從兩個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的競賽成績，相關(guān)數(shù)據(jù)整理如下：
抽取的八年級(jí)學(xué)生成績頻數(shù)分布表
頻數(shù)分布直方圖中每組包含最大值，不包含最小值，抽取九年級(jí)學(xué)生競賽成績在“”這組的具體成績（單位：分）是：32，34，36，．根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）抽取的九年級(jí)學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是______分；
（2）求抽取的八年級(jí)學(xué)生競賽成績的平均數(shù)；（每組的平均數(shù)用組中值代替，組中值：如的組中值為）
（3）請估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生在環(huán)保知識(shí)競賽中成績優(yōu)秀（分以上，不含40分）的總?cè)藬?shù)．
24. 如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，延長到F，連接，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．
25. 擲實(shí)心球是高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線．在體育課上，劉欣同學(xué)在練習(xí)投實(shí)心球時(shí)，某次實(shí)心球行進(jìn)高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，擲出時(shí)起點(diǎn)處的高度，當(dāng)水平距離為2m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)2m處．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若劉欣投實(shí)心球時(shí)正前方5m的點(diǎn)B處是一個(gè)沙坑距離劉欣最近的邊緣，請你判斷她此次投出的實(shí)心球能否進(jìn)入沙坑，并說明理由．
26. 【問題提出】
（1）如圖1，在中，點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為______；
問題探究】
（2）如圖2，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)A在邊上，那么與是否相等，請說明理由；
【問題解決】
（3）如圖3，四邊形是某校的實(shí)踐基地示意圖，其中和是兩條小路（點(diǎn)F在邊上），在的中點(diǎn)M處有一口灌溉水井（大小忽略不計(jì)），現(xiàn)要在邊上與點(diǎn)C相距的點(diǎn)E處修建一個(gè)蓄水池大小忽略不計(jì)，再沿鋪設(shè)地下水管，已知，，，，且，求鋪設(shè)地下水管的長．
2025年陜西省漢中市漢臺(tái)區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知，則銳角A的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．關(guān)鍵是熟記特殊角三角函數(shù)值．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解即可．
【詳解】解：為銳角，且，
；
故選：D
2. 如圖是由兩個(gè)寬度相同的長方體組成的幾何體，它的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)，熟知主視圖是從物體的正面看到的視圖是解題的關(guān)鍵．按照主視圖的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：從上面看該幾何體，如圖，
故選：D．
3. 如圖，已知，點(diǎn)D是邊延長線上一點(diǎn)，，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出；
由三角形內(nèi)角和定理求出，由平行線的性質(zhì)推出，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：，，
，
，
，
；
故選：B
4. 不等式組的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：
由①得，，
由②得，，
故不等式組的解集為：，
故選：C．
5. 如圖，在中，于點(diǎn)D，，是的中線，若，，則的長為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明可得的長，再由勾股定理求出的長，進(jìn)而由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到答案．
【詳解】解：于點(diǎn)D，
，
，，
∴，
，
，
，
是中線，
故選：B．
6. 已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則k的值為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
將代入一次函數(shù)中，求得，再將代入反比例函數(shù)中，求得k的值．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
將代入中，
得：，
故選：A
7. 日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成如圖，它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知，，垂足為點(diǎn)C，，垂足為點(diǎn)D，，的半徑，則圓盤離桌面最近的距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)利用垂徑定理，勾股定理求出，再求出可得結(jié)論．
本題考查垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
【詳解】解：如圖2，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
∵，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
圓盤離桌面最近的距離是，
故選：D．
8. 已知點(diǎn)，，在拋物線上，且，則m的取值范圍是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸找出不等式是關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出二次函數(shù)的對稱軸為，分兩種情況討論，根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：拋物線，
對稱軸為，
點(diǎn)，，在拋物線上，且，
當(dāng)，則且，不存在；
當(dāng)，則，
解得或
故選：C．
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．
9. 若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解為，則a的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可．
【詳解】解：把方程得，
解得
故答案為：
10. 如圖，的對角線，相交于點(diǎn)O，要使成為菱形，還需添加的一個(gè)條件是_________．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的判定來添加合適的條件即可．
【詳解】解：要使成為菱形，只要菱形滿足以下條件之一即可，①對角線相互垂直，②鄰邊相等．
故答案為即（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定，掌握菱形和平行四邊形的區(qū)別是解答本題的關(guān)鍵．
11. 花窗映蛇歲，新春共歡顏．如圖為“盤長如意”花窗，中間圖案是由若干個(gè)小平行四邊形按一定規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形共有8個(gè)小平行四邊形，第2個(gè)圖形共有15個(gè)小平行四邊形，第3個(gè)圖形共有22個(gè)小平行四邊形，?，則第30個(gè)圖形中共有______個(gè)小平行四邊形．
【答案】211
【解析】
【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)小平行四邊形的個(gè)數(shù)依次增加7是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中小平行四邊形個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：由所給圖形可知，
第1個(gè)圖形中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：；
第2個(gè)圖形中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：；
第3個(gè)圖形中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：；
…，
所以第n個(gè)圖形中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)．
當(dāng)時(shí)，
個(gè)，
即第30個(gè)圖形中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為211個(gè)．
故答案為：
12. 如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，軸于點(diǎn)D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，若菱形的面積為20，，則k的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及菱形的性質(zhì)，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)菱形的面積為20，，可求出，再結(jié)合菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)，利用勾股定理求得，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
【詳解】解：四邊形是菱形，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，軸于點(diǎn)D，菱形的面積為20，，
，
，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
故答案為：
13. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，連接，若，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，延長到J，使得，連接，證明，求出的最大值可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，延長到J，使得，連接，
，，
，
四邊形都是矩形，
，
，，
，
，
，
的最大值為，
的最大值為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問題．
三、解答題：本題共13小題，共81分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
14. 計(jì)算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
利用絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)冪，特殊銳角三角函數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
15. 化簡：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查整式的運(yùn)算．先用平方差公式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】解：原式
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解分式方程的方法，先把分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?，解整式方程求出x的值，然后再檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：，
方程兩邊同時(shí)乘，得，
去括號(hào)，得，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入，
分式方程的解為
17. 如圖，在中，是的中線，利用尺規(guī)作圖法在上求作一點(diǎn)E，連接，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，三角形的中線：根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積，得到，進(jìn)而得到，作出的中線即可．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
18. 如圖，在和中，和交于點(diǎn)E，，，求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：，
，
在與中，
，
，
19. 隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高，某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2022年的30萬人增加到2024年的萬人，求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為x，根據(jù)從2022年的30萬人增加到2024年的萬人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【詳解】解：設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為x，
根據(jù)題意得：，
解得：，不符合題意，舍去
答：該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為．
20. 習(xí)近平總書記指出：“體育鍛煉要從小抓起，體育鍛煉多一些，‘小胖墩’、‘小眼鏡’就少一些”．為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，加強(qiáng)體育鍛煉，某校組織了春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩位同學(xué)均報(bào)名參加了200米短跑項(xiàng)目，已知該校200米短跑項(xiàng)目的賽道共有A、B、C、D四條（如圖所示），參加200米短跑的同學(xué)通過抽簽決定自己的賽道每組比賽中，每條賽道上只有一名同學(xué)，有四支簽分別代表這四條賽道，甲同學(xué)先隨機(jī)抽取一支，不放回，乙同學(xué)再從剩下的隨機(jī)抽取一支．
（1）甲同學(xué)抽到的賽道恰好是A賽道的概率為______；
（2）用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩名同學(xué)恰好抽中的賽道相鄰的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題關(guān)鍵．
（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中甲同學(xué)抽到的賽道恰好是A賽道的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲、乙兩名同學(xué)恰好抽中的賽道相鄰的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中甲同學(xué)抽到的賽道恰好是A賽道的結(jié)果有1種，
甲同學(xué)抽到的賽道恰好是A賽道的概率為
故答案為：
【小問2詳解】
列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)恰好抽中的賽道相鄰的結(jié)果有：，，，，，，共6種，
甲、乙兩名同學(xué)恰好抽中的賽道相鄰的概率為
21. 如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組利用相似的知識(shí)和光的反射定律（反射角等于入射角）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中測量崇文塔的高度
【測量步驟】某一時(shí)刻崇文塔的影長為，同一時(shí)刻小明站在地面上的點(diǎn)處時(shí)，小明影子的頂端也在E處，在地面上的處放置一塊平面鏡（大小忽略不計(jì)），小明沿移動(dòng)至點(diǎn)處時(shí)，恰好從平面鏡中看到崇文塔的頂端；
【測量數(shù)據(jù)】經(jīng)過測量可知，，，．已知點(diǎn)在同一條直線上，且，，，請你根據(jù)以上測量步驟及所得數(shù)據(jù)求出崇文塔的高度．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，由和，可以證得，即可證得，即得，由光的反射的性質(zhì)可以得出，再結(jié)合和 ，可以證得，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
即，
，
解得，
答：崇文塔的高度為，
22. 剪紙藝術(shù)，是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，常用紙張、金銀箔、樹皮、樹葉、布、皮革等制作，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之一．某商家在春節(jié)前夕購進(jìn)甲、乙兩種剪紙裝飾套裝共500套進(jìn)行銷售，已知購進(jìn)一套甲種剪紙比購進(jìn)一套乙種剪紙少8元，購進(jìn)3套甲種剪紙和5套乙種剪紙共需96元．
（1）求這兩種剪紙購進(jìn)時(shí)的單價(jià)分別為多少元/套？
（2）若甲種剪紙的售價(jià)為10元/套，乙種剪紙的售價(jià)為20元/套，設(shè)購進(jìn)甲種剪紙裝飾x套，銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤的最小值．
【答案】（1）甲種剪紙的單價(jià)為7元/套，乙種剪紙的單價(jià)為15元/套；
（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤的最小值為2340元．
【解析】
【分析】（1）分別設(shè)這兩種剪紙購進(jìn)時(shí)的單價(jià)為未知數(shù)，根據(jù)題意列二元一次方程組并求解即可；
（2）根據(jù)“銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤甲種剪紙的售價(jià)-甲種剪紙的進(jìn)價(jià)購進(jìn)甲種剪紙的套數(shù)乙種剪紙的售價(jià)-乙種剪紙的進(jìn)價(jià)購進(jìn)乙種剪紙的套數(shù)”寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并由一次函數(shù)的增減性和x的取值范圍求出y的最小值即可．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，掌握二元一次方程組的解法及一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲種剪紙購進(jìn)時(shí)的單價(jià)為a元/套，乙種剪紙購進(jìn)時(shí)的單價(jià)價(jià)為b元/套．
根據(jù)題意，得，
解得
答：甲種剪紙的單價(jià)為7元/套，乙種剪紙的單價(jià)為15元/套．
【小問2詳解】
解：由題意得，，
，
隨x的增大而減小，
，
當(dāng)時(shí)，y值最小，
答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，銷售完甲、乙兩種剪紙裝飾所得利潤的最小值為2340元．
23. 2025年我國持續(xù)深入推進(jìn)藍(lán)天、碧水、凈土保衛(wèi)戰(zhàn)．某校為了解八、九年級(jí)學(xué)生對環(huán)保知識(shí)的掌握情況，組織了一次環(huán)保知識(shí)競賽（滿分50分），已知該校八年級(jí)有600名學(xué)生，九年級(jí)有540名學(xué)生，分別從兩個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的競賽成績，相關(guān)數(shù)據(jù)整理如下：
抽取的八年級(jí)學(xué)生成績頻數(shù)分布表
頻數(shù)分布直方圖中每組包含最大值，不包含最小值，抽取的九年級(jí)學(xué)生競賽成績在“”這組的具體成績（單位：分）是：32，34，36，．根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）抽取的九年級(jí)學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是______分；
（2）求抽取的八年級(jí)學(xué)生競賽成績的平均數(shù)；（每組的平均數(shù)用組中值代替，組中值：如的組中值為）
（3）請估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生在環(huán)保知識(shí)競賽中成績優(yōu)秀（分以上，不含40分）的總?cè)藬?shù)．
【答案】（1）33； （2）305；
（3）360人．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)定義計(jì)算即可得到答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)定義計(jì)算即可得到答案；
（3）利用各年級(jí)人數(shù)乘各自的分率即可得到答案．
本題考查了頻數(shù)分布直方圖和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力，用樣本估計(jì)總體；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．也考查了利用樣本估計(jì)總體．
【小問1詳解】
解：由統(tǒng)計(jì)圖知，抽取的九年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為：人，
∵，
∴九年級(jí)學(xué)生競賽成績的中位數(shù)在“”這組，且把成績按照從低到高排列，第9名與10名的分?jǐn)?shù)分別是32分，34分，
抽取的九年級(jí)學(xué)生競賽成績中位數(shù)是分；
故答案為：33；
【小問2詳解】
解：抽取的八年級(jí)學(xué)生競賽成績組中值平均數(shù)是：
分，
【小問3詳解】
解：兩個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生在環(huán)保知識(shí)競賽中成績優(yōu)秀分及以上的共有：
人
答：這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生在環(huán)保知識(shí)競賽中成績優(yōu)秀分以上，不含40分的總?cè)藬?shù)共有360人．
24. 如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，延長到F，連接，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由是的直徑，得，由，得，而，則，所以，即可證明是的切線；
（2）由，，于點(diǎn)D，得，求得，由，得，則，所以的半徑長為
【小問1詳解】
證明：是的直徑，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的半徑，且，
是的切線．
【小問2詳解】
解：是的直徑，
，
，，于點(diǎn)D，
，
，
，
，
，
，
的半徑長為
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，推導(dǎo)出，，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵．
25. 擲實(shí)心球是高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線．在體育課上，劉欣同學(xué)在練習(xí)投實(shí)心球時(shí)，某次實(shí)心球行進(jìn)高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，擲出時(shí)起點(diǎn)處的高度，當(dāng)水平距離為2m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)2m處．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若劉欣投實(shí)心球時(shí)正前方5m的點(diǎn)B處是一個(gè)沙坑距離劉欣最近的邊緣，請你判斷她此次投出的實(shí)心球能否進(jìn)入沙坑，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）她此次投出的實(shí)心球能進(jìn)入沙坑，理由見解析．
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用頂點(diǎn)式求得二次函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．
（1）易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式表示出拋物線的解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得a的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）取，求得合適的的值，與5比較即可得到實(shí)心球能否進(jìn)入沙坑．
【小問1詳解】
解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為：，
經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
解：她此次投出的實(shí)心球能進(jìn)入沙坑．
理由：當(dāng)時(shí)，，
，
解得：，不合題意，舍去，
，
她此次投出的實(shí)心球能進(jìn)入沙坑．
26. 【問題提出】
（1）如圖1，在中，點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為______；
【問題探究】
（2）如圖2，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)A在邊上，那么與是否相等，請說明理由；
【問題解決】
（3）如圖3，四邊形是某校的實(shí)踐基地示意圖，其中和是兩條小路（點(diǎn)F在邊上），在的中點(diǎn)M處有一口灌溉水井（大小忽略不計(jì)），現(xiàn)要在邊上與點(diǎn)C相距的點(diǎn)E處修建一個(gè)蓄水池大小忽略不計(jì)，再沿鋪設(shè)地下水管，已知，，，，且，求鋪設(shè)地下水管的長．
【答案】（1）5；（2）相等，理由見解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，，求得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（3）連接，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形是正方形，求得，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，取中點(diǎn)H，連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，于是得到，
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，
，，
是的中位線，
，
，
；
故答案為：5；
（2）相等，
理由：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）連接，
，，，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
取中點(diǎn)H，連接，
，
，，，
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
成績（分）
人數(shù)（人）
2
2
5
5
6
A
B
C
D
A
B
C
D
成績（分）
人數(shù)（人）
2
2
5
5
6