1. 如果零上記作，那么零下記作（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖是一個幾何體展開圖，則這個幾何體是（ ）
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圓柱D. 圓
3. 如圖，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 點和在一次函數(shù)的圖象上，已知．且當時，，則一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如圖，在中，，，平分．與交于點．若，則的長度為（ ）
A. 1B. 3C. D.
7. 如圖，為的直徑，弦交于點，，，，則（ ）
A B. C. 2D. 1
8. 已知二次函數(shù)的函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：
若在，，這三個數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9. 如圖，均為正方形，若的面積為，的面積為1，則的邊長可以是______．（寫出一個答案即可）

10. 在菱形中，，連接，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接，則的度數(shù)是______．
11. 如圖，是正八邊形的兩條對角線，則的值為______．
12. 如圖，已知線段的中點為，點、點都在反比例函數(shù)的圖象上．若點的坐標為，則點的坐標為_____．
13. 如圖，已知，，，若，則的長度為_____．
三、解答題（共13小題，計81分，解答題應寫出過程）
14 計算：．
15 先化簡，再求值：．其中，．
16. 解方程：．
17. 如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作銳角，使點C在格點上；
（2）在圖2中的線段上作點Q，使最短．
18. 已知：如圖，四邊形是矩形（），點在上，且，，垂足為，求證：．
19. 某數(shù)學小組經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：走路快的人平均每步的步長與走路慢的人平均每步的步長相等，走路快的人走100步的時間里，走路慢的人只能走60步，現(xiàn)在走路慢的甲和走路快的乙準備在同一條步道的同一地點向同一方向行走，甲先出發(fā)，走了50步后，乙再出發(fā)去追他，追上后兩人同時停止行走．求乙走多少步才能夠追上甲．
20. 某校準備開展陽光體育運動，計劃開設以下五個球類項目；（羽毛球），（乒乓球），（籃球），（排球），（足球），要求每位學生必須參加．且只能參加其中的一個項目．小明和小穎對以上的五個項目都很感興趣，決定采用隨機摸球的方式確定最終參加的項目．他們在一個不透明的袋子中放入5個小球，這些小球上分別寫有字母，，，，（分別對應以上的五個項目），小球上除寫的字母外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，記下字母后放回，記作隨機摸球1次．
（1）小明隨機摸球1次，摸出（乒乓球）的概率是 ．
（2）小明和小穎分別隨機摸球1次，求小明和小穎中至少有一人摸出（乒乓球）的概率．
21. 某校數(shù)學社團開展“探索生活中的數(shù)學”的研學活動，準備測量一棟大樓的高度，如圖所示，大樓對面有一觀景平臺，通向觀景平臺的斜坡的長是25米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為75米，在觀景平臺邊沿地面上的路燈的高度是米，從樓頂測得路燈頂端處的俯角是．求大樓的高度．（點，，，，在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
22. 近年來，中國傳統(tǒng)服飾唐裝備受大家的青睞．某服裝店直接從工廠購進一批唐裝進行銷售，其中A、B兩款的進貨價和銷售價如下表：
（1）該服裝店第一次購進A款唐裝30件，B款唐裝40件，求服裝店銷售完這些唐裝獲得的利潤．
（2）第一次購進的兩款唐裝售完后，該服裝店計劃再次購進A、B兩款唐裝共100件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總費用不高于8600元．服裝店這次應如何設計進貨方案，才能在銷售完這些唐裝后獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
23. 人工智能（AI）通過智能算法處理數(shù)據(jù)、自動化辦公、客戶服務等任務．可以幫助人們高效完成工作并優(yōu)化決策．某學校計劃對初三年級開展5種AI興趣課程，分別是：A（編程基礎）、B（圖像識別）、C（語音交互）、D（數(shù)據(jù)分析）、E（智能系統(tǒng)），為了解學生對不同AI模塊的喜愛情況，學校從初三年級隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，對調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，部分信息如下：
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）將圖①中的條形統(tǒng)計圖補充完整（畫圖并標注相應數(shù)據(jù)）；
（2）圖②中項目E對應的圓心角的度數(shù)為；所調(diào)查學生的喜歡項目的眾數(shù)是；
（3）若該校初三年級共有500名學生，根據(jù)上述調(diào)查結果，請估計喜歡B（圖像識別）模塊的學生人數(shù)．
24. 如圖，在中，，，以直徑作，與交于點，點在上，且．
（1）求劣弧的長度；
（2）當與相切時，求的長度．
25. 某校閱覽室有一個拱門，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平路面．現(xiàn)需在此拋物線型拱門左側內(nèi)壁上的點處安裝一個裝飾燈，圖中與拋物線圍成的區(qū)域是燈的光照范圍，的度數(shù)可以調(diào)節(jié)．以所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系．已知此拱門的最高點與的距離是2米，點到的距離為1米，點與拱門最高點的水平距離也是1米，點均在此拋物線型拱門上．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式．
（2）根據(jù)設計要求，點的橫坐標為，點的橫坐標為，的一邊需要與軸平行．問，是否存在滿足要求的點和點？若存在，請求出點的坐標及此時的度數(shù)；若不存在，請說明理由．
26. 綜合與實踐
在初中數(shù)學的學習過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“圖形到圖形的最近距離”進行研究．定義：平面內(nèi)，為圖形上任意一點，為圖形上任意一點，將，兩點間距離的最小值稱為圖形到圖形的最近距離，記作．例如：在平面上有、兩點，且，將點記為圖形，點記為圖形，則．
數(shù)學理解：
（1）在平面內(nèi)有、兩點，將點記為圖形，以點為圓心，5為半徑作，將記為圖形，若，則__________．
（2）在平面直角坐標系中，，兩點的坐標分別為，，將記為圖形，的坐標為，的半徑為2，將記為圖形，若，則的值為__________．
推廣運用：
（3）如圖，正方形的邊長為2，點為其內(nèi)一點，且點與點的距離為1，將繞點逆時針旋轉得到，將點記為圖形，將滿足條件的點構成的圖形記為圖形，求的值．
陜西師大附中2024-2025學年度初三年級第三次適應性訓練數(shù)學試題
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題義的）
1. 如果零上記作，那么零下記作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查正數(shù)與負數(shù)， 在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．
【詳解】解：如果零上記作，那么零下記作，
故選：B．
2. 如圖是一個幾何體的展開圖，則這個幾何體是（ ）
A 三棱柱B. 四棱柱C. 圓柱D. 圓
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查棱柱的展開與折疊，掌握棱柱展開圖的特征是正確判斷的關鍵．通過展開圖的面數(shù)，展開圖的各個面的形狀進行判斷即可．
【詳解】解：從展開圖可知，該幾何體有五個面，兩個三角形的底面，三個長方形的側面，因此該幾何體是三棱柱．
故選：A．
3. 如圖，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求得，再利用平角求得．
【詳解】解：如圖所示：
，，
故選：D．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，先去括號，然后移項，合并同類項，即可求出不等式的解集．
【詳解】解：
，
故選：C
5. 點和在一次函數(shù)的圖象上，已知．且當時，，則一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．先由時，，可知隨著的增大而減小，得到的取值范圍，然后結合，可知的取值范圍，從而判斷可能的圖象．
【詳解】解：時，，
即時，，
隨著增大而減小，
，
又，
，
一次函數(shù)的圖象會經(jīng)過一、二、四象限．
故選：A．
6. 如圖，在中，，，平分．與交于點．若，則的長度為（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．先利用等腰三角形以及三角形內(nèi)角和，求得，再利用角平分線，求得，然后計算出，推出，最后證明，然后利用對應邊成比例求得答案．
【詳解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去負值）
故選：D．
7. 如圖，為的直徑，弦交于點，，，，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形．根據(jù)垂徑定理的推論可得，再由圓周角定理可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D
8. 已知二次函數(shù)的函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：
若在，，這三個數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)題意可求得，，由，得出，則二次函數(shù)為，得出，求解即可．
【詳解】解：二次函數(shù)經(jīng)過點，
，
又和時的函數(shù)值都是1，
拋物線的對稱軸為直線，
是頂點，和關于對稱軸對稱，
若在，，這三個數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則拋物線向下，且，
，
，
二次函數(shù)為，
，
，
故選：A．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9. 如圖，均為正方形，若的面積為，的面積為1，則的邊長可以是______．（寫出一個答案即可）

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了算術平方根的應用，根據(jù)正方形的面積公式得到正方形A的邊長為2，正方形C的邊長為1，得到B的邊長，于是得到結論．
【詳解】解：∵，，
∴正方形A的邊長為2，正方形C的邊長為1，
∴B的邊長，
正方形B的邊長可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
10. 在菱形中，，連接，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接，則的度數(shù)是______．
【答案】##78度
【解析】
【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)，得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，
四邊形是菱形，
，
又以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，
，
，
．
故答案為：．
11. 如圖，是正八邊形的兩條對角線，則的值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】此題考查了正八邊形與圓，正多邊形的性質(zhì)應用是解題的關鍵．設正八邊形中心為點O，連接，求出中心角，設，得到，即可得到答案．
【詳解】解：設正八邊形中心為點O，連接，如圖，
∵多邊形為正八邊形，
∴中心角，
設，
∴
∴，
故答案為：．
12. 如圖，已知線段的中點為，點、點都在反比例函數(shù)的圖象上．若點的坐標為，則點的坐標為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)點的坐標特征，線段的中點表示，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．設點，借助線段的中點為，，可知，，，從而得到，，表示出，將其代入反比例函數(shù)，得到，由題意可知，然后解得、，最后求得點．
【詳解】解：設點，
線段的中點為，，
，
，
，
點、點都在反比例函數(shù)的圖象上，
，即，
，
，
，
，，
．
故答案為：．
13. 如圖，已知，，，若，則的長度為_____．
【答案】
【解析】
【分析】延長、交于點，延長至點，使得，連接，由等邊對等角可得，由可得，由直角三角形的兩個銳角互余可得，進而可得，由等角對等邊可得，進而可得，由線段之間的和差關系可得，于是可得，由可得，再結合，于是可得是的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由三線合一可得，則，再結合，于是可得，由內(nèi)錯角相等兩直線平行可得，由此可證得，于是可得，進而可得，然后根據(jù)即可求出的長度．
【詳解】解：如圖，延長、交于點，延長至點，使得，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是的垂直平分線，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
即：的長度為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三線合一，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，內(nèi)錯角相等兩直線平行等知識點，添加適當輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
三、解答題（共13小題，計81分，解答題應寫出過程）
14. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，二次根式的化簡，負指數(shù)冪，化簡絕對值，熟練掌握相關運算規(guī)則是解題的關鍵．先化簡二次根式，絕對值，以及負指數(shù)冪，然后先算乘法，最后從左到右進行計算即可．
【詳解】解：原式
15. 先化簡，再求值：．其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．先利用平方差公式和完全平方公式，再合并同類項即可化簡，最后代入求值即可．
【詳解】解：原式
當，時，
原式．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，解題關鍵是注意解分式方程時要檢驗．先去分母，化為整式方程，再解一元一次方程，然后進行檢驗即可得．
【詳解】解：
經(jīng)檢驗，是原方程的根．
17. 如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作銳角，使點C在格點上；
（2）在圖2中的線段上作點Q，使最短．
【答案】（1）作圖見解析
（2）作圖見解析
【解析】
【分析】（1）如圖，取格點，使，在的左上方的格點滿足條件，再畫三角形即可；
（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點，連接交于，從而可得答案．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求作的三角形；
【小問2詳解】
如圖，即為所求作的點；
【點睛】本題考查的是復雜作圖，同時考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應用是解本題的關鍵．
18. 已知：如圖，四邊形是矩形（），點在上，且，，垂足為，求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，，求出，≌，根據(jù)全等得出即可．
【詳解】證明：四邊形是矩形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：矩形的每個角都是直角，矩形的對邊平行．
19. 某數(shù)學小組經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：走路快的人平均每步的步長與走路慢的人平均每步的步長相等，走路快的人走100步的時間里，走路慢的人只能走60步，現(xiàn)在走路慢的甲和走路快的乙準備在同一條步道的同一地點向同一方向行走，甲先出發(fā)，走了50步后，乙再出發(fā)去追他，追上后兩人同時停止行走．求乙走多少步才能夠追上甲．
【答案】125
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程與行程問題，熟練掌握路程，時間，速度三者的關系是解題的關鍵．設乙走步才能夠追上甲，那么可知設乙走步的時間等于甲走步的時間，列出方程，求解即可．
【詳解】解：設乙走步才能夠追上甲．
解得
答：乙走步才能夠追上甲．
20. 某校準備開展陽光體育運動，計劃開設以下五個球類項目；（羽毛球），（乒乓球），（籃球），（排球），（足球），要求每位學生必須參加．且只能參加其中的一個項目．小明和小穎對以上的五個項目都很感興趣，決定采用隨機摸球的方式確定最終參加的項目．他們在一個不透明的袋子中放入5個小球，這些小球上分別寫有字母，，，，（分別對應以上的五個項目），小球上除寫的字母外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，記下字母后放回，記作隨機摸球1次．
（1）小明隨機摸球1次，摸出（乒乓球）的概率是 ．
（2）小明和小穎分別隨機摸球1次，求小明和小穎中至少有一人摸出（乒乓球）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查畫樹狀圖或列表法求概率，概率公式，熟練掌握畫樹狀圖或列表法求概率的方法是解題的關鍵．
（1）根據(jù)題意，利用概率公式直接計算即可；
（2）采用列表法，共有25種等可能的結果，其中小明和小穎中至少有一人摸出有9種結果，再利用概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：共有5種等可能的結果，其中摸出（乒乓球）有1種結果，
小明隨機摸球1次，摸出（乒乓球）的概率為，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：小明和小穎分別隨機摸球1次，列表如下，
共有25種等可能的結果，其中小明和小穎中至少有一人摸出的結果有9種，
小明和小穎中至少有一人摸出B的概率．
21. 某校數(shù)學社團開展“探索生活中的數(shù)學”的研學活動，準備測量一棟大樓的高度，如圖所示，大樓對面有一觀景平臺，通向觀景平臺的斜坡的長是25米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為75米，在觀景平臺邊沿地面上的路燈的高度是米，從樓頂測得路燈頂端處的俯角是．求大樓的高度．（點，，，，在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】104米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握以上知識點并作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．延長交延長線于，過作于，則四邊形是矩形，得，，再由銳角三角函數(shù)定義求出、的長，得出的長，然后由銳角三角函數(shù)求出的長，即可求解．
【詳解】解：延長交延長線于，過作于，如圖，
根據(jù)題意，，，，，
四邊形為矩形，
，，
在中，，
，，（米），
（米），（米），
（米），
（米），
在中，，
，
（米），
（米）
（米），
答：大樓的高度約為104米．
22. 近年來，中國傳統(tǒng)服飾唐裝備受大家的青睞．某服裝店直接從工廠購進一批唐裝進行銷售，其中A、B兩款的進貨價和銷售價如下表：
（1）該服裝店第一次購進A款唐裝30件，B款唐裝40件，求服裝店銷售完這些唐裝獲得的利潤．
（2）第一次購進的兩款唐裝售完后，該服裝店計劃再次購進A、B兩款唐裝共100件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總費用不高于8600元．服裝店這次應如何設計進貨方案，才能在銷售完這些唐裝后獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】（1）1800元
（2）該服裝店再次購進A款唐裝40件，B款唐裝60件時，才能在銷售完這些唐裝后獲得的利潤最大，最大利潤是2600元
【解析】
【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合運算的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的實際應用．
（1）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以件數(shù)求解即可．
（2）設該服裝店計劃再次購進A款唐裝x件，B款唐裝件，根據(jù)第二次進貨總費用不高于8600元列出關于x的一元一次不等式求出x的取值范圍，再設銷售完第二批唐裝后獲得的利潤為W，得出W關于x的一次函數(shù)，結合x的取值范圍以及一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意可得出：（元）
則銷售完這些唐裝獲得的利潤1800元．
【小問2詳解】
解：設該服裝店計劃再次購進A款唐裝x件，B款唐裝件，
根據(jù)題意可得出：，
解得：，
設銷售完第二批唐裝后獲得的利潤為W，
則，
∵
∴W隨x的增大而減小，
∴當時，即該服裝店再次購進A款唐裝40件，B款唐裝60件時，才能在銷售完這些唐裝后獲得的利潤最大，最大利潤是元．
23. 人工智能（AI）通過智能算法處理數(shù)據(jù)、自動化辦公、客戶服務等任務．可以幫助人們高效完成工作并優(yōu)化決策．某學校計劃對初三年級開展5種AI興趣課程，分別是：A（編程基礎）、B（圖像識別）、C（語音交互）、D（數(shù)據(jù)分析）、E（智能系統(tǒng)），為了解學生對不同AI模塊的喜愛情況，學校從初三年級隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，對調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，部分信息如下：
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）將圖①中條形統(tǒng)計圖補充完整（畫圖并標注相應數(shù)據(jù)）；
（2）圖②中項目E對應的圓心角的度數(shù)為；所調(diào)查學生的喜歡項目的眾數(shù)是；
（3）若該校初三年級共有500名學生，根據(jù)上述調(diào)查結果，請估計喜歡B（圖像識別）模塊的學生人數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）；（圖像識別）
（3）150
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖的應用以及用樣本估計總體，解題的關鍵是能從兩種統(tǒng)計圖中獲取有效信息，并進行相關計算．
（1）根據(jù)項目的人數(shù)和占比求出總人數(shù)，進而求出項目人數(shù)以補充條形統(tǒng)計圖；
（2）根據(jù)圓心角公式求出項目對應的圓心角度數(shù)，根據(jù)眾數(shù)定義找出眾數(shù)；
（3）根據(jù)樣本中喜歡模塊的比例來估計總體中喜歡模塊的學生人數(shù)．
【小問1詳解】
解：已知項目人數(shù)為9人，占比，則總人數(shù)為（人），
項目人數(shù)為（人），
補全條形統(tǒng)計圖如圖：
【小問2詳解】
解：項目對應的圓心角的度數(shù)為，
項目的人數(shù)最多，所以所調(diào)查學生的喜歡項目的眾數(shù)是（圖像識別），
故答案為：；（圖像識別）；
【小問3詳解】
解：樣本中喜歡（圖像識別）模塊的比例為，
該校初三年級共有500名學生，所以估計喜歡模塊的學生人數(shù)為人，
答：喜歡B（圖像識別）模塊的學生人數(shù)是150人．
24. 如圖，在中，，，以為直徑作，與交于點，點在上，且．
（1）求劣弧的長度；
（2）當與相切時，求的長度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，再求得，再通過求得答案；
（2）連接，，，通過直徑所對的圓周角等于，可知，利用勾股定理求得，再計算出，求得，作交于點，可得，，不妨設，，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質(zhì)，，通過求得，最后利用求得答案．
【小問1詳解】
解：連接，如圖，
是所對的圓心角，是所對的圓周角，且，
，
又，
，
，以為直徑作，
劣弧的長度為；
【小問2詳解】
解：連接，，，作交于點，
是直徑，，
，，
，
，
，
與相切時，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不妨設，，
那么，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了圓周角定理及其推論，切線的性質(zhì)，勾股定理，30度所對的直角邊等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線是解題的關鍵．
25. 某校閱覽室有一個拱門，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平路面．現(xiàn)需在此拋物線型拱門左側內(nèi)壁上的點處安裝一個裝飾燈，圖中與拋物線圍成的區(qū)域是燈的光照范圍，的度數(shù)可以調(diào)節(jié)．以所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系．已知此拱門的最高點與的距離是2米，點到的距離為1米，點與拱門最高點的水平距離也是1米，點均在此拋物線型拱門上．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式．
（2）根據(jù)設計要求，點的橫坐標為，點的橫坐標為，的一邊需要與軸平行．問，是否存在滿足要求的點和點？若存在，請求出點的坐標及此時的度數(shù)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到頂點，，再利用頂點式求解析式即可；
（2）表示出，，在分別根據(jù)軸和軸列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拱門的最高點與的距離是2米，點到的距離為1米，點與拱門最高點的水平距離也是1米，
∴頂點，，
∴設拋物線的解析式為，
把代入得：，解得，
∴拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：∵點的橫坐標為，點的橫坐標為，
∴，，
當軸時，，解得或（不合題意，舍去），此時，，則，，此時是等腰直角三角形，；
當軸時，，解得或（不合題意，舍去），此時，，則在下方，不合題意；
綜上所述，，，．
26 綜合與實踐
在初中數(shù)學的學習過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“圖形到圖形的最近距離”進行研究．定義：平面內(nèi)，為圖形上任意一點，為圖形上任意一點，將，兩點間距離的最小值稱為圖形到圖形的最近距離，記作．例如：在平面上有、兩點，且，將點記為圖形，點記為圖形，則．
數(shù)學理解：
（1）在平面內(nèi)有、兩點，將點記為圖形，以點為圓心，5為半徑作，將記為圖形，若，則__________．
（2）在平面直角坐標系中，，兩點的坐標分別為，，將記為圖形，的坐標為，的半徑為2，將記為圖形，若，則的值為__________．
推廣運用：
（3）如圖，正方形的邊長為2，點為其內(nèi)一點，且點與點的距離為1，將繞點逆時針旋轉得到，將點記為圖形，將滿足條件的點構成的圖形記為圖形，求的值．
【答案】（1）3或7 （2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，分當點在內(nèi)和點在外兩種情況討論即可；
（2）當在外且在右側時，，結合圖形，求得；當在外且在左側時，，結合半徑可求得答案；當在內(nèi)時，交軸于、，作于，交于點，當時，可求得，此時與有交點，故矛盾；當時，可求得點在原點， 此時與有交點，故矛盾；
（3）以點為圓心，半徑為畫圓，交于，交于，由題意可知，點在（不包括和）上運動，繞點逆時針旋轉得到，，可推出，，推出點在延長線上，繞點逆時針旋轉得到，同理可證點在延長線上，
繞點逆時針旋轉得到，可知點在延長線上以點為圓心，半徑為1畫圓，交于點，交于點，可知在扇形（不包括和）運動，連接交于點，那么，通過可求得答案．
【小問1詳解】
解：當點在內(nèi)，連接并延長交于，如圖所示：
，
，
，
，
；
當點在外，連接交于，如圖所示：
，
，
，
，
；
故答案為：3或7；
【小問2詳解】
解：①當在外且在右側時，如圖所示：
由題意可知，，，的坐標為，的半徑為2，，，
，
，
，
，
，
，
；
②當在外且在左側時，如圖所示：
，
，
，
，
，
；
③當在內(nèi)時，交軸于、，作于，交于點
當時，
，
，，
，
，
，
，
，
此時與有交點，
，
故矛盾；
當時，如圖所示：
此時，
在原點，
此時與有交點，
，
故矛盾；
故答案為：或；
【小問3詳解】
解：以點為圓心，半徑為畫圓，交于，交于，
正方形的邊長為2，點為其內(nèi)一點，且點與點的距離為1，
點在（不包括和）上運動，
如圖所示：
繞點逆時針旋轉得到，
，
，，
點在延長線上，
繞點逆時針旋轉得到，
，
，，
點在延長線上，
，
繞點逆時針旋轉得到，
，
，，，
點在延長線上，
連接，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是正方形，
以點為圓心，半徑為1畫圓，交于點，交于點，
將繞點逆時針旋轉得到，在（不包括和）上運動，
在（不包括和）運動，
連接交于點，，
，，
，
，
的值為．
【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系，“圖形到圖形的最近距離”的定義，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
價格/類別
A款
B款
進貨價（元/件）
80
90
銷售價（元/件）
100
120
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
小明
小穎
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
價格/類別
A款
B款
進貨價（元/件）
80
90
銷售價（元/件）
100
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