1．（3分）在0，?13，?3，3這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．0B．13C．﹣3D．3
2．（3分）“數(shù)學(xué)”的英文縮寫為“math”，下列四個(gè)字母中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如圖，AB∥CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．若∠D＝50°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
4．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)b＞0B．a(chǎn)+b＜0C．a(chǎn)+2＞b+2D．|a﹣1|＞|b﹣1|
5．（3分）一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0）與y＝x+3交于點(diǎn)P（m，5），則關(guān)于x的方程kx+b＝x+3的解為（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝4D．x＝5
6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若AB=5，OE＝1，則cs∠BAE的值為（ ）
A．25B．35C．45D．55
7．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長為（ ）
A．43B．23C．3D．2
8．（3分）拋物線y＝x2﹣bx+c與直線y＝1交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．b2﹣4c＞0B．b＝2C．c﹣b＜0D．c＞0
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9．（3分）若am＝2，an＝5，則a2m+n＝ ．
10．（3分）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是 ．
11．（3分）將一組數(shù)2，2，6，22，10，23，?，按如圖方式進(jìn)行排列，則第六行左起第1個(gè)數(shù)是 ．
12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ADB的邊DB在y軸上，邊AB與x軸交于點(diǎn)C，且BC＝2AC，AD∥x軸，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，若S△OBC＝4，則k＝ ．
13．（3分）在△ABC中，BC＝10，∠C＝45°，∠B＝30°，延長CA至點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DE⊥BC，交直線BC于點(diǎn)E，作DF⊥BA，交直線BA點(diǎn)F，連接FE，線段FE的最小值為 ．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分.解答要寫出過程）
14．（5分）計(jì)算：3×(?6)?(?13)?2+|?24|．
15．（5分）分式化簡：（1?3x+2）÷x2?2x+12x+4．
16．（5分）解不等式組：x4?1＜x?335x?6≤2(x+3)．
17．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在AB邊上找一點(diǎn)D，使得△BCD∽△BAC．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18．（5分）已知：如圖，點(diǎn)E，A，C在同一直線上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．
求證：BC＝ED．
19．（5分）陜西銅川耀州瓷是北方青瓷的代表，有“巧如范金，精比琢玉”的美譽(yù)．陶瓷器一燒制耀州瓷茶具，每套茶具由1個(gè)茶壺和6只茶杯組成，用1千克瓷泥可做3個(gè)茶壺或9只茶杯．現(xiàn)要用6千克瓷泥全部制作這類茶具，則用多少千克瓷泥做茶壺時(shí)，恰好使制作的茶壺和茶杯配套？
20．（5分）某校閱讀社團(tuán)將《西游記》中的四位人物的肖像制成編號(hào)為A、B、C、D的四張（除編號(hào)和人物肖像外其余完全相同）卡片，活動(dòng)時(shí)學(xué)生根據(jù)所抽取的卡片來講述他們?cè)跁械墓适拢?br>游戲規(guī)則如下：先將四張卡片背面朝上，洗勻放好．小林先從中隨機(jī)抽取一張，把剩下的3張卡片洗勻后，背面向上放好，小梅再從3張卡片中隨機(jī)抽取一張．
（1）小林抽到孫悟空的概率為 ，
（2）若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈?duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系，則由小林講述，否則由小梅講，用列表法或畫樹狀圖法說明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平？
21．（6分）近年來隨著人們生活水平的提高，海鮮受到眾多家庭的喜愛．某扇貝養(yǎng)殖場今年采用新技術(shù)投資養(yǎng)殖了500萬籠扇貝，并且全部被訂購．已知每籠扇貝的成本是60元，售價(jià)是120元．打撈出售過程中發(fā)現(xiàn)，一部分扇貝生長情況不符合要求，最后只能按照20元一籠出售，如果利潤為y萬元，不符合要求的扇貝有x萬籠．
（1）求利潤y關(guān)于x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)符合要求的扇貝有多少萬籠時(shí)，養(yǎng)殖場不賠不賺？
22．（7分）眼睛是心靈的窗戶，每年的6月6日定為全國愛眼日，小林想要探究自己按照標(biāo)準(zhǔn)護(hù)眼姿勢讀書時(shí)書籍應(yīng)離身體多遠(yuǎn)，畫出如圖的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A為眼睛的位置，A到書籍EC的距離AD為40cm，AD與水平方向夾角∠FAD＝20°，小林在書桌上方的身長AB為54cm，且AB垂直于水平方向，請(qǐng)你求出小林與書籍底端的水平距離BC．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈720，cs20°≈910，tan20°≈38）
23．（7分）為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“航空航天”知識(shí)的了解程度，某校從2400名學(xué)生中隨機(jī)抽取了一些學(xué)生參加“航空航天”知識(shí)測試，將成績整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
成績統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)所給信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的成績統(tǒng)計(jì)表中a＝ ，b＝ ，所抽取的學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在 組（填A(yù)、B、C、D或E）；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）試估計(jì)該校2400名學(xué)生中成績?cè)?0分以上（包括80分）的人數(shù)．
24．（8分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若BE＝2，BF＝6，求sinC的值．
25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AC交于點(diǎn)A（4，0），C（0，﹣4）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將該拋物線沿水平方向向右平移3個(gè)單位，平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)F，原拋物線上有一點(diǎn)P（2，﹣4），點(diǎn)M為平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，N為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M，F(xiàn)，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
26．（10分）（1）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，AB＝3，則△ABC的面積是 ．
（2）在等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠EDF＝30°，點(diǎn)E、F分別為AB、AC邊上一點(diǎn)，若BC＝8，CF＝5，求EF的長．
（3）如圖所示，道路BC的一側(cè)是一片足夠大的空地，現(xiàn)計(jì)劃在這片空地上規(guī)劃一個(gè)四邊形公園BEFC．按設(shè)計(jì)要求，∠B＝∠C＝30°，在小路BC上有一點(diǎn)D，滿足BD＝80米，CD＝100米，從點(diǎn)D計(jì)劃修兩條小路DE、DF，兩條小路互相垂直，即DE⊥DF，小路將公園分成三個(gè)小園區(qū)，其中△EDF為花園綠化區(qū)，△EBD為兒童樂園區(qū)，△DFC為全民活動(dòng)區(qū)，為滿足各功能場所用地需要，想要花園綠化區(qū)面積盡可能小，請(qǐng)問是否存在符合要求的面積最小的花園綠化區(qū)△EDF？若存在，求出△EDF面積最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
2025年陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中中考數(shù)學(xué)四模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1．（3分）在0，?13，?3，3這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．0B．13C．﹣3D．3
【分析】利用實(shí)數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小．按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可．
【解答】解：∵﹣3＜?13＜0＜3，
∴最小的數(shù)是：﹣3．
故選：C．
2．（3分）“數(shù)學(xué)”的英文縮寫為“math”，下列四個(gè)字母中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷，即可得出答案．
【解答】解：A．該圖不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B．該圖不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
C．該圖不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D．該圖是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；
故選：D．
3．（3分）如圖，AB∥CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．若∠D＝50°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理先得出∠C的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠A．
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
在△CDE中，∠D＝50°，∠DEC＝90°，
∴∠C＝40°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．
故選：B．
4．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)b＞0B．a(chǎn)+b＜0C．a(chǎn)+2＞b+2D．|a﹣1|＞|b﹣1|
【分析】先觀察數(shù)軸判斷a，b的大小和絕對(duì)值的大小關(guān)系，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、加法法則、不等式的基本性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：觀察數(shù)軸可知：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，|b|＞|a|，a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，
∴ab＜0，a+b＞0，a+2＜b+2，|a﹣1|＞|b﹣1|，
∴A，B，C選項(xiàng)均錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確，
故選：D．
5．（3分）一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0）與y＝x+3交于點(diǎn)P（m，5），則關(guān)于x的方程kx+b＝x+3的解為（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝4D．x＝5
【分析】先利用y＝x+3確定P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判斷．
【解答】解：把P（m，5）代y＝x+3，得m+3＝5，
∴m＝2，
∴P（2，5），
∴關(guān)于x的方程kx+b＝x+3的解為x＝2，
故選：A．
6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若AB=5，OE＝1，則cs∠BAE的值為（ ）
A．25B．35C．45D．55
【分析】由菱形的性質(zhì)得BC＝AB=5，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再由直角三角形的性質(zhì)得AC＝2OE＝2，則OA＝1，進(jìn)而由勾股定理求出OB＝2，則BD＝4，然后由菱形的面積求出AE的長，即可解決問題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝AB=5，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴AC＝2OE＝2，
∴OA=12AC＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=AB2?OA2=(5)2?12=2，
∴BD＝2OB＝4，
∵AE⊥BC，四邊形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝BC?AE=12AC?BD=12×2×4＝4，
∴AE=4BC=45=455，
∴cs∠BAE=AEAB=4555=45，
故選：C．
7．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長為（ ）
A．43B．23C．3D．2
【分析】由垂徑定理推出AB=AC，BC＝2BH，由圓周角定理得到∠AOB＝2∠CDA＝60°，由sinO=BHOB，求出BH＝23，即可得到BC的長．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴AB=AC，BC＝2BH，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
∵sinO＝sin60°=BHOB=32，OB＝4，
∴BH＝23，
∴BC＝43．
故選：A．
8．（3分）拋物線y＝x2﹣bx+c與直線y＝1交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．b2﹣4c＞0B．b＝2C．c﹣b＜0D．c＞0
【分析】依據(jù)題意，拋物線y＝x2﹣bx+c與直線y＝1交于兩點(diǎn)，分別為（x1，1）和（x2，1），且x1＜1，再根據(jù)（x1﹣1）（x2﹣1）＜0解得即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣bx+c與直線y＝1交于兩點(diǎn)，分別為（x1，1）和（x2，1），且x1＜1，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0．
由題意，方程x2﹣bx+c﹣1＝0的兩根滿足上述關(guān)系，
∴c﹣1﹣b+1＜0，
∴c﹣b＜0．
故選：C．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9．（3分）若am＝2，an＝5，則a2m+n＝ 20 ．
【分析】原式利用冪的乘方運(yùn)算法則變形，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴原式＝（am）2×an＝20，
故答案為：20
10．（3分）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是 8 ．
【分析】延長a、b交于點(diǎn)C，根據(jù)a⊥b得到∠ACB＝90°，于是可以得到正多邊形的一個(gè)外角為45°，進(jìn)而可得正多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：如圖，延長a，b交于點(diǎn)C，
∵a⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴正多邊形的一個(gè)外角為12（180°﹣90°）＝45°，
∴n=36045=8．
故答案為：8．
11．（3分）將一組數(shù)2，2，6，22，10，23，?，按如圖方式進(jìn)行排列，則第六行左起第1個(gè)數(shù)是 42 ．
【分析】根據(jù)題意可知，前五行共有15個(gè)數(shù)，因此第六行左起第1個(gè)數(shù)是這組數(shù)的第16個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可．
【解答】解：∵第一行有1個(gè)數(shù)，
第二行有2個(gè)數(shù)，
第三行有3個(gè)數(shù)，
?，
∴第五行有5個(gè)數(shù)，
∴第六行左起第1個(gè)數(shù)在這組數(shù)的個(gè)數(shù)為：1+2+3+4+5+1＝16，
∴第六行左起第1個(gè)數(shù)是2×16=42，
故答案為：42．
12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ADB的邊DB在y軸上，邊AB與x軸交于點(diǎn)C，且BC＝2AC，AD∥x軸，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，若S△OBC＝4，則k＝ ﹣6 ．
【分析】AD⊥y軸，垂足為E，然后證明△AEC≌△OBC，△BOC≌△ADB，從而得出三角形AEC和四邊形ACOD的面積，從而得出矩形AEOD的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出k的值．
【解答】解：過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為E，
∵AE⊥x軸，OB⊥x軸，
∴AE∥OB，
∴△AEC≌△OBC，
∴S△AECS△BOC=（ACBC）2，
∵BC＝2AC，S△OBC＝4，
∴S△AEC=14S△OBC＝1，
∵AD∥x軸，
∴△BOC≌△ADB，
∴S△BOCS△ABD=（BCBA）2，
∵BC＝2AC，S△OBC＝4，
∴AB=32BC，
∴S△ABD＝9，
∴S四邊形ACOD＝9﹣4＝5，
∴S矩形AEOD＝S△AEC+S△BOC＝1+5＝6，
∴|k|＝6，
∵∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，
∴k＝﹣6，
故答案為：﹣6．
13．（3分）在△ABC中，BC＝10，∠C＝45°，∠B＝30°，延長CA至點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DE⊥BC，交直線BC于點(diǎn)E，作DF⊥BA，交直線BA點(diǎn)F，連接FE，線段FE的最小值為 522 ．
【分析】如圖，連接BD，設(shè)AB，DE交于點(diǎn)O．證明EF=12BD，求出BD的最小值即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接BD，設(shè)AB，DE交于點(diǎn)O．
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE∽△DOF，
∴OBOD=OEOF，
∴OBOE=ODOF，
∵∠DOB＝∠FOE，
∴△DOB∽△FOE，
∴EFDB=OEBO，
∵∠OEB＝90°，∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∴EFBD=OEOB=12，
∴EF=12BD，
∴當(dāng)BD⊥CD時(shí)，BD的值最小，最小值＝BC?sin45°＝52，
∴EF的最小值為522．
故答案為：522．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分.解答要寫出過程）
14．（5分）計(jì)算：3×(?6)?(?13)?2+|?24|．
【分析】利用二次根式的運(yùn)算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方法則，絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝﹣32?9+16
＝7﹣32．
15．（5分）分式化簡：（1?3x+2）÷x2?2x+12x+4．
【分析】先算括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法即可．
【解答】解：（1?3x+2）÷x2?2x+12x+4
=x+2?3x+2?2(x+2)(x?1)2
=x?1x+2?2(x+2)(x?1)2
=2x?1．
16．（5分）解不等式組：x4?1＜x?335x?6≤2(x+3)．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：x4?1＜x?33①5x?6≤2(x+3)②，
解不等式①，得x＞0，
解不等式②，得x≤4，
∴不等式組的解集為0＜x≤4．
17．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在AB邊上找一點(diǎn)D，使得△BCD∽△BAC．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【分析】結(jié)合相似三角形的判定，過點(diǎn)C作AB作CD⊥AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作AB作CD⊥AB于點(diǎn)D，
此時(shí)∠BDC＝∠BCA，∠CBD＝∠ABC，
則△BCD∽△BAC，
則點(diǎn)D即為所求．
18．（5分）已知：如圖，點(diǎn)E，A，C在同一直線上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．
求證：BC＝ED．
【分析】首先由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ECD，再有條件AB＝CE，AC＝CD可證出△BAC和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證出CB＝ED．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中AB=EC∠BAC=∠ECDAC=CD，
∴△BAC≌△ECD（SAS），
∴CB＝ED．
19．（5分）陜西銅川耀州瓷是北方青瓷的代表，有“巧如范金，精比琢玉”的美譽(yù)．陶瓷器一燒制耀州瓷茶具，每套茶具由1個(gè)茶壺和6只茶杯組成，用1千克瓷泥可做3個(gè)茶壺或9只茶杯．現(xiàn)要用6千克瓷泥全部制作這類茶具，則用多少千克瓷泥做茶壺時(shí)，恰好使制作的茶壺和茶杯配套？
【分析】設(shè)用x千克瓷泥做茶壺，則用（6﹣x）千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的總數(shù)量是制作茶壺的總數(shù)量的6倍，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)用x千克瓷泥做茶壺，則用（6﹣x）千克瓷泥做茶杯，
根據(jù)題意得：6×3x＝9（6﹣x），
解得：x＝2．
答：用2千克瓷泥做茶壺時(shí)，恰好使制作的茶壺和茶杯配套．
20．（5分）某校閱讀社團(tuán)將《西游記》中的四位人物的肖像制成編號(hào)為A、B、C、D的四張（除編號(hào)和人物肖像外其余完全相同）卡片，活動(dòng)時(shí)學(xué)生根據(jù)所抽取的卡片來講述他們?cè)跁械墓适拢?br>游戲規(guī)則如下：先將四張卡片背面朝上，洗勻放好．小林先從中隨機(jī)抽取一張，把剩下的3張卡片洗勻后，背面向上放好，小梅再從3張卡片中隨機(jī)抽取一張．
（1）小林抽到孫悟空的概率為 14 ，
（2）若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈?duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系，則由小林講述，否則由小梅講，用列表法或畫樹狀圖法說明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平？
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表可得所有等可能結(jié)果，從表格中得出取出的兩張卡片上對(duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系的結(jié)果數(shù)，繼而求出小東、小華講的概率，從而得出答案．
【解答】解：（1）小林抽到孫悟空的概率為14，
故答案為：14；
（2）游戲規(guī)則公平，理由如下：
列表如下
共有12種等可能的結(jié)果，由表知，他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈?duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系的結(jié)果有6種，
∴由小東講的概率為612=12，
則由小華講的概率為1?12=12，
∴此游戲規(guī)則公平．
21．（6分）近年來隨著人們生活水平的提高，海鮮受到眾多家庭的喜愛．某扇貝養(yǎng)殖場今年采用新技術(shù)投資養(yǎng)殖了500萬籠扇貝，并且全部被訂購．已知每籠扇貝的成本是60元，售價(jià)是120元．打撈出售過程中發(fā)現(xiàn)，一部分扇貝生長情況不符合要求，最后只能按照20元一籠出售，如果利潤為y萬元，不符合要求的扇貝有x萬籠．
（1）求利潤y關(guān)于x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)符合要求的扇貝有多少萬籠時(shí)，養(yǎng)殖場不賠不賺？
【分析】（1）利用總利潤＝（120﹣60）×符合要求的扇貝的籠數(shù)+（20﹣60）×不符合要求的扇貝的籠數(shù)，即可得出y關(guān)于x的關(guān)系式；
（2）代入y＝0，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝（120﹣60）（500﹣x）+（20﹣60）x，
∴y＝﹣100x+30000；
（2）根據(jù)題意得：﹣100x+30000＝0，
解得：x＝300，
∴500﹣x＝500﹣300＝200（萬籠）．
答：當(dāng)符合要求的扇貝有200萬籠時(shí)，養(yǎng)殖場不賠不賺．
22．（7分）眼睛是心靈的窗戶，每年的6月6日定為全國愛眼日，小林想要探究自己按照標(biāo)準(zhǔn)護(hù)眼姿勢讀書時(shí)書籍應(yīng)離身體多遠(yuǎn)，畫出如圖的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A為眼睛的位置，A到書籍EC的距離AD為40cm，AD與水平方向夾角∠FAD＝20°，小林在書桌上方的身長AB為54cm，且AB垂直于水平方向，請(qǐng)你求出小林與書籍底端的水平距離BC．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈720，cs20°≈910，tan20°≈38）
【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，過點(diǎn)D作DP⊥BG，垂足為P，根據(jù)題意可得：DP＝BH，DH＝BP，∠PDH＝90°，AF∥DH，從而可得∠FAE＝∠ADH＝20°，再根據(jù)垂直定義可得：∠ADC＝∠PDH＝90°，從而利用等式的性質(zhì)可得∠CDP＝∠ADH＝20°，然后在Rt△ADH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH和DH的長，從而求出DP的長，再在Rt△DPC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CP的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，過點(diǎn)D作DP⊥BG，垂足為P，
由題意得：DP＝BH，DH＝BP，∠PDH＝90°，AF∥DH，
∴∠FAE＝∠ADH＝20°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠PDH＝90°，
∴∠ADC﹣∠CDH＝∠PDH﹣∠CDH，
∴∠CDP＝∠ADH＝20°，
在Rt△ADH中，AD＝40cm，
∴AH＝AD?sin20°≈40×720=14（cm），
DH＝AD?cs20°≈40×910=36（cm），
∴DH＝BP＝36cm，
∵AB＝54cm，
∴DP＝AB﹣AH＝54﹣14＝40（cm），
在Rt△DPC中，CP＝DP?tan20°≈40×38=15（cm），
∴BC＝BP﹣CP＝36﹣15＝21（cm），
∴小林與書籍底端的水平距離BC約為21cm．
23．（7分）為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“航空航天”知識(shí)的了解程度，某校從2400名學(xué)生中隨機(jī)抽取了一些學(xué)生參加“航空航天”知識(shí)測試，將成績整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
成績統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)所給信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的成績統(tǒng)計(jì)表中a＝ 20% ，b＝ 35% ，所抽取的學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在 D 組（填A(yù)、B、C、D或E）；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）試估計(jì)該校2400名學(xué)生中成績?cè)?0分以上（包括80分）的人數(shù)．
【分析】（1）用A組的人數(shù)除以A組的人數(shù)所占的百分比即可得到總?cè)藬?shù)；用200減去A，B，D，E組的人數(shù)，可得C組的人數(shù)，用C、D組的人數(shù)分別除以200再乘以100%可得a、b的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得答案．
（2）根據(jù)C組的人數(shù)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可．
（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用1200乘以統(tǒng)計(jì)表中D、E組的百分比和，即可得出答案．
【解答】解：（1）由題意得，本次調(diào)查中抽取的學(xué)生人數(shù)是：10÷5%＝200（名），
C組的人數(shù)為200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（名），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
b＝70÷200×100%＝35%．
將這200名學(xué)生成績按照從小到大的順序排列，排在第100和101名的學(xué)生成績均在D組，
∴這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在D組．
故答案為：20%，35%，D；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．
（3）2400×（25%+35%）＝1440（名）．
∴估計(jì)該校2400名學(xué)生中成績?cè)?0分以上（包括80分）的人數(shù)為1440名．
24．（8分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若BE＝2，BF＝6，求sinC的值．
【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，得到∠C＝∠ODA，判定OD∥BC，推出半徑OD⊥DE，即可證明DF為⊙O的切線；
（2）判定△FBE∽△FOD，推出OD：OF＝BE：FB＝1：3，得到OB：BF＝1：2，因此AB＝BF＝6，由圓周角定理得到BD⊥AC，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠ABD＝∠CBD，而∠BED＝∠ADB＝90°，判定△BED∽△BDA，推出BE：BD＝BD：AB，求出BD＝23，于是得到sinC=BDBC=33．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠C＝∠ODA，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴半徑OD⊥DE，
∴DF為⊙O的切線；
（2）解：由（1）知：OD∥BC，
∴△FBE∽△FOD，
∴OD：OF＝BE：FB＝2：6＝1：3，
∵OB＝OD，
∴OB：OF＝1：3，
∴OB：BF＝1：2，
∵OB：AB＝1：2，
∴AB＝BF＝6，
∴BC＝AB＝6，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠BED＝∠ADB＝90°，
∴△BED∽△BDA，
∴BE：BD＝BD：AB，
∴2：BD＝BD：6，
∴BD＝23，
∴sinC=BDBC=236=33．
25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AC交于點(diǎn)A（4，0），C（0，﹣4）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將該拋物線沿水平方向向右平移3個(gè)單位，平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)F，原拋物線上有一點(diǎn)P（2，﹣4），點(diǎn)M為平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，N為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M，F(xiàn)，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將拋物線向右平移3個(gè)單位得新拋物線y=12x2﹣4x+72，對(duì)稱軸是直線x＝4，即可得M（5，﹣4），F(xiàn)（0，72），設(shè)N（4，n），Q（r，12r2﹣4r+72），分三種情況：①當(dāng)QN、MF為對(duì)角線時(shí)；②當(dāng)QM、NF為對(duì)角線時(shí)；③當(dāng)QF、NM為對(duì)角線時(shí)，分別計(jì)算出參數(shù)r的值，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過A（4，0），C（0，﹣4）
A（﹣4，0），C（0，﹣4）兩點(diǎn)，
∴12×42+4b+c=0c=?4，
解得b=?1c=?4，
∴拋物線的解析式為y=12x2﹣x﹣4；
（2）∵將拋物線y=12x2﹣x﹣4向右平移3個(gè)單位得拋物線y=12（x﹣3）2﹣（x﹣3）﹣4=12x2﹣4x+72，
∴新拋物線對(duì)稱軸是直線x=??42×12=4，
在y=12x2﹣4x?72中，令x＝0得y=72，
∴F（0，72），
將P（2，﹣4）向右平移3個(gè)單位得M（5，﹣4），
設(shè)N（4，n），Q（r，12r2﹣4r+72），
則①當(dāng)QN、MF為對(duì)角線時(shí)，
∴r+4=5n+12r2?4r+72=72?4，
解得r＝1，
∴Q（1，0）；
②當(dāng)QM、NF為對(duì)角線時(shí)，
∴5+r=4?4+12r2?4r+72=n+72，
解得r＝﹣1，
∴Q（﹣1，8）；
③當(dāng)QF、NM為對(duì)角線時(shí)，
∴r=4+512r2?4r+72+72=n?4，
解得r＝9，
∴Q（9，8）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為：（1，0）或（﹣1，8）或（9，8）．
26．（10分）（1）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，AB＝3，則△ABC的面積是 3 ．
（2）在等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠EDF＝30°，點(diǎn)E、F分別為AB、AC邊上一點(diǎn)，若BC＝8，CF＝5，求EF的長．
（3）如圖所示，道路BC的一側(cè)是一片足夠大的空地，現(xiàn)計(jì)劃在這片空地上規(guī)劃一個(gè)四邊形公園BEFC．按設(shè)計(jì)要求，∠B＝∠C＝30°，在小路BC上有一點(diǎn)D，滿足BD＝80米，CD＝100米，從點(diǎn)D計(jì)劃修兩條小路DE、DF，兩條小路互相垂直，即DE⊥DF，小路將公園分成三個(gè)小園區(qū)，其中△EDF為花園綠化區(qū)，△EBD為兒童樂園區(qū)，△DFC為全民活動(dòng)區(qū)，為滿足各功能場所用地需要，想要花園綠化區(qū)面積盡可能小，請(qǐng)問是否存在符合要求的面積最小的花園綠化區(qū)△EDF？若存在，求出△EDF面積最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出CH的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，證明△EDG∽△FDC，得出EGFC=DGDC，代入數(shù)據(jù)得出EG的長，再根據(jù)勾股定理求出EF的長即可；
（3）過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△EDG∽△FDH，得出EGFH=DGDH=45，設(shè)EG＝4x．則FH＝5x．再根據(jù)三角形面積公式得出關(guān)于三角形EDF的函數(shù)關(guān)系式，從而得出結(jié)果．
【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
∵∠A＝30°，AC＝4，
∴CH=12AC=2，
∴S△ABC=12AB?CH=12×3×2=3，
故答案為：3．
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=12BC=4，
∵DG⊥AB，
∴∠BGD＝90°，
∴∠BDG＝30°，
∴BG=12BD=2，
∴DG=BD2?BG2=42?22=23，
∵∠EDF＝30°，
∴∠EDG+∠GDF＝30°，∠GDF+∠FDC＝30°，
∴∠EDG＝∠FDC，
∴△EDG∽△FDC，
∴EGFC=DGDC，
∵CF＝5，
∴EG5=234，
∴EG=532，
∴EF=EG2+FG2=(532)2+(2+5?4)2=1092；
（3）存在，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴DG=12BD=40米，
DH=12CD=50米，
∵DE⊥DF，
∴∠EDG+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠FDH＝90°，
∴∠EDG＝∠FDH，
∴△EDG∽△FDH，
∴EGFH=DGDH=45，
設(shè)EG＝4x 米．則FH＝5x 米．
∴S△EDF=12DE?DF=12（40+4x）（50+5x）＝10（x+5）2+2000，
∴當(dāng)x＝﹣5時(shí)，S△EDF有最小值，最小值為2000平方米．組別
成績x（分）
百分比
A組
x＜60
5%
B組
60≤x＜70
15%
C組
70≤x＜80
a
D組
80≤x＜90
b
E組
90≤x≤100
25%
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
D
A
C
A
C
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
組別
成績x（分）
百分比
A組
x＜60
5%
B組
60≤x＜70
15%
C組
70≤x＜80
a
D組
80≤x＜90
b
E組
90≤x≤100
25%

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