【知識梳理】2
【真題自測】4
【考點突破】5
【考點1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理5
【考點2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用7
【考點3】利用空間向量證明平行與垂直9
【分層檢測】12
【基礎(chǔ)篇】12
【能力篇】15
【培優(yōu)篇】16
考試要求：
1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.
4.理解直線的方向向量及平面的法向量.
5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.
6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
知識梳理
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.
3.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
6.空間位置關(guān)系的向量表示
1.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點.
2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點.
3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時，必須說明M點或N點不在平面ABC內(nèi).
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1，則（ ）
A．當(dāng)時，的周長為定值
B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得
D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面
三、解答題
3．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
考點突破
【考點1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理
一、單選題
1．（2021·上海崇明·一模）若正方體上的點是其所在棱的中點，則直線與直線異面的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）給出下列命題，其中錯誤的命題是（ ）
A．向量，，共面，即它們所在的直線共面
B．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面
C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
D．已知向量，，則在上的投影向量為
二、多選題
3．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點P），則下列說法正確的是（ ）
A．對任意點，則有、、、四點共面
B．存在點，使得、、、四點共面
C．對任意點，則有平面
D．存在點，使得平面
4．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3（圖4，5，6）結(jié)合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．設(shè)點的坐標(biāo)為，，2，3，則
B．設(shè)，則
C．點到平面的距離為
D．若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為
三、填空題
5．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知三棱錐，空間內(nèi)一點滿足，則三棱錐與的體積之比為 ．
6．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知三棱錐的體積為是空間中一點，，則三棱錐的體積是 .
反思提升：
1.(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求.
(2)解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.
2.(1)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，則點P，A，B共線.
(2)證明空間四點P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
【考點2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·青海·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（ ）
A．30°B．C．60°D．90°
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，則下列說法正確的有（ ）

A．若點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為
B．若點為線段上的動點（包含端點），則的最小值為
C．若點為的中點，則平面與四邊形的交線長為
D．若點在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點的軌跡長度為
4．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（ ）
A．B．的最小值為
C．當(dāng)時，AM與BC的夾角為D．
三、填空題
5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為 .
6．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為 ．若分別是上的動點，且，則的最小值是 ．
反思提升：
由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確.
【考點3】利用空間向量證明平行與垂直
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．三棱錐的體積為D．直線BC與平面所成的角為
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點，與平面交于點，點分別在線段上運(yùn)動，則線段的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，且和均是邊長為的等邊三角形，分別為的中點，為上的動點（不含端點），平面交直線于，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)運(yùn)動時，總有
B．當(dāng)運(yùn)動時，點到直線距離的最小值為
C．存在點，使得平面
D．當(dāng)時，直線交于同一點
4．（2024·重慶九龍坡·三模）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與平面所成角的正切值為
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為9π
三、解答題
5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，，.

(1)求證：四邊形為正方形；
(2)求體對角線的長度；
(3)求異面直線與所成角的余弦值.
6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為AB的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
反思提升：
(1)利用向量證明平行問題
①線線平行：方向向量平行.
②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.
③面面平行：兩平面的法向量平行.
(2)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法
①線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；②線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；③面面垂直問題：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（20-21高二上·山東泰安·期中）已知兩個非零向量，，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（ ）．
A．B．
C．D．存在非零實數(shù)，使
2．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是內(nèi)一點，四面體的體積為，則對，的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2024·四川德陽·二模）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
①若，且，則
②若且，則
③若，且，則
④若，且，則
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
5．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的有( )
A．A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面
B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直
C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α
D．平面α經(jīng)過三點，是平面α的法向量，則u+t＝1
6．（2021·全國·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，，與交于點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．存在點，使得
C．三棱錐的體積為
D．直線與平面所成角的余弦值為
7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（ ）
A．存在點Q，使得B．存在點Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值D．二面角的余弦值為
三、填空題
8．（2023高一·全國·單元測試）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)k的值為 ．
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
10．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

四、解答題
11．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設(shè)，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
12．（20-21高二上·天津靜海·階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)，，.
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2020·北京朝陽·一模）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運(yùn)動.當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，點的位置是（ ）
A．線段的三等分點，且靠近點B．線段的中點
C．線段的三等分點，且靠近點D．線段的四等分點，且靠近點
二、多選題
2．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．對空間任意一點與不共線的三點，若，其中，，且，則四點共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實數(shù)使得
三、填空題
3．（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，則二面角的大小為 ，此時，四面體的外接球的表面積為 ．

四、解答題
4．（2024·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面所成角的余弦值.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·江西·二模）在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點、，當(dāng)時，截面的面積為（ ）
A．B．2C．D．3
二、多選題
2．（2024·河北秦皇島·三模）在長方形中，，，點在線段上（不包含端點），沿將折起，使二面角的大小為，，則（ ）
A．存在某個位置，使得
B．存在某個位置，使得直線平面
C．四棱錐體積的最大值為
D．當(dāng)時，線段長度的最小值為
三、填空題
3．（2023·上海嘉定·一模）正四棱臺是的中點，在直線上各取一個點P、Q，使得M、P、Q三點共線，則線段的長度為
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名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個平面的向量
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2
l1∥l2
u1∥u2?u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2?u1·u2＝0
直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n
l∥α
u⊥n?u·n＝0
l⊥α
u∥n?u＝λn
平面α，β的法向量分別為n1，n2
α∥β
n1∥n2?n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0
專題40 空間向量及其應(yīng)用（新高考專用）
目錄
【知識梳理】2
【真題自測】4
【考點突破】9
【考點1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理9
【考點2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用17
【考點3】利用空間向量證明平行與垂直25
【分層檢測】35
【基礎(chǔ)篇】35
【能力篇】46
【培優(yōu)篇】52
考試要求：
1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.
4.理解直線的方向向量及平面的法向量.
5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.
6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
知識梳理
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.
3.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
6.空間位置關(guān)系的向量表示
1.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點.
2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點.
3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時，必須說明M點或N點不在平面ABC內(nèi).
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1，則（ ）
A．當(dāng)時，的周長為定值
B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得
D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面
三、解答題
3．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
參考答案：
1．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
2．BD
【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點的坐標(biāo)；
對于B，將點的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；
對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點的個數(shù)；
對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點的個數(shù)．
【詳解】
易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對于A，當(dāng)時，BP=BC+μBB1=BC+μCC1，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，BP=λBC+BB1=BB1+λB1C1，故此時點軌跡為線段，而，B1C1//平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對于C，當(dāng)時，BP=12BC+μBB1，取，中點分別為，，則BP=BQ+μQH，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A132,0,1，P0,0,μ，B0,12,0，則A1P=?32,0,μ?1，BP=0,?12,μ，A1P?BP=μμ?1=0，所以或．故均滿足，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，BP=λBC+12BB1，取，中點為．BP=BM+λMN，所以點軌跡為線段．設(shè)P0,y0,12，因為A32，0,0，所以AP=?32,y0,12，A1B=?32,12,?1，所以34+12y0?12=0?y0=?12，此時與重合，故D正確．
故選：BD．
【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．
3．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.
【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點，由分別為的中點，
于是，即，
則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）過作垂直的延長線交于點，
因為是中點，所以，
在中，，
所以，
因為，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱錐的高為，
因為，所以，
所以，
又，
所以.
考點突破
【考點1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理
一、單選題
1．（2021·上海崇明·一模）若正方體上的點是其所在棱的中點，則直線與直線異面的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）給出下列命題，其中錯誤的命題是（ ）
A．向量，，共面，即它們所在的直線共面
B．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面
C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
D．已知向量，，則在上的投影向量為
二、多選題
3．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點P），則下列說法正確的是（ ）
A．對任意點，則有、、、四點共面
B．存在點，使得、、、四點共面
C．對任意點，則有平面
D．存在點，使得平面
4．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3（圖4，5，6）結(jié)合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．設(shè)點的坐標(biāo)為，，2，3，則
B．設(shè)，則
C．點到平面的距離為
D．若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為
三、填空題
5．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知三棱錐，空間內(nèi)一點滿足，則三棱錐與的體積之比為 ．
6．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知三棱錐的體積為是空間中一點，，則三棱錐的體積是 .
參考答案：
1．B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出滿足每個選項點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量平行的定義，結(jié)合異面直線的定義逐項判斷即可.
【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

對于A，由A選項的圖可知,，所以,即，所以，即，故A錯誤；
對于C，由C選項的圖可知,，所以，即，所以，即與共面，故C錯誤；
對于D，由D選項的圖可知,，所以,即，即與共面，故D錯誤.
對于B，由B選項的圖可知,，所以,即不存在實數(shù)使得，即與不平行，
由圖可知與不相交，所以與是異面直線，故B正確.
故選：B.
2．A
【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合基底的定義、投影向量的定義進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】對于A，向量可以通過平移后共面，但是它們的所在直線不一定是共面直線，故A錯誤；
對于B，，，即，
所以，，，四點共面，故B正確；
對于C，根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)可知這兩個向量共線，故C正確；
對于D，在上的投影向量為，
故D正確.
故選：A.
3．BD
【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.
【詳解】因為底面，四邊形為正方形，
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則、、、、、、，
設(shè)，其中，則，
，，設(shè)，
則，解得，故存在點，使得、、、四點共面，B對；
，，，
設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯；
，，
若平面，平面，則，解得，C錯；
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
，
若平面，則，解得，
故當(dāng)點與點重合時，平面，D對.
故選：BD.
4．ACD
【分析】正方體的頂點到中心的距離不變，判斷A，寫出各點坐標(biāo)，利用空間向量法求解判斷BCD．
【詳解】正方體棱長為2，面對角線長為，
由題意，，，，
旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，
旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；
，設(shè)，則
，
，
，則存在實數(shù)，使得，
，
，，∴，B錯；
，，
設(shè)是平面的一個法向量，則
，令，得，
又，
∴到平面的距離為，C正確；
，設(shè)，，
，
，
令，則，
時，，遞增，時，，遞減，
∴，又，，
所以，
即，，
夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．
故選：ACD．
【點睛】方法點睛：本題正方體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，因此我們可以借助平面直角坐標(biāo)系得出空間點的坐標(biāo)，例如繞軸旋轉(zhuǎn)時時，各點的橫坐標(biāo)（）不變，只要考慮各點在坐標(biāo)平面上的射影繞原點旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)即可得各點空間坐標(biāo)．
5．
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合空間向量的基本定理，得到在平面內(nèi)存在一點，使得，得到，即可求解.
【詳解】由空間內(nèi)一點滿足，
可得，
因為，根據(jù)空間向量的基本定理，可得在平面內(nèi)存在一點，
使得，所以，即點為的中點，
可得，所以三棱錐和的體積比值為.
故答案為：.
6．10
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算可得，再由空間向量基本定理可得，即可得到結(jié)果.
【詳解】
因為，則，
即，
即，所以，
因為，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點，
使得成立，即，
所以，即，則，
又三棱錐的體積為15，
則.
故答案為：10
反思提升：
1.(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求.
(2)解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.
2.(1)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，則點P，A，B共線.
(2)證明空間四點P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
【考點2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·青?！つM預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（ ）
A．30°B．C．60°D．90°
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，則下列說法正確的有（ ）

A．若點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為
B．若點為線段上的動點（包含端點），則的最小值為
C．若點為的中點，則平面與四邊形的交線長為
D．若點在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點的軌跡長度為
4．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（ ）
A．B．的最小值為
C．當(dāng)時，AM與BC的夾角為D．
三、填空題
5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為 .
6．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為 ．若分別是上的動點，且，則的最小值是 ．
參考答案：
1．D
【分析】設(shè)，，，利用空間向量運(yùn)算得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.
【詳解】設(shè)，，，則，，
，
，
所以，
故直線CE與DF所成的角為90°.
故選：D
2．C
【分析】以，，作為一組基底表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解.
【詳解】依題意
，
所以
，
所以，即.
故選：C
3．BD
【分析】取中點，連接，為異面直線與所成角，可判斷A；將側(cè)面延旋轉(zhuǎn)至與平面共面，根據(jù)兩點間線段最短可判斷B；對于C，如圖以點為原點，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取靠近的四等分點，則可證明，判斷C；并確定點的軌跡為直線在正方形內(nèi)的線段，判斷D.
【詳解】對于A，取中點，連接，
則，所以為異面直線與所成角，
在中，，故A錯誤；
對于B，將側(cè)面延旋轉(zhuǎn)至與平面共面，
如圖連接，交與點，此時最小，

且，故B正確；
對于C，如圖，以點為原點，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
因為平面平面，
所以平面與平面的交線為過點且平行于的直線，
取靠近的四等分點，連接，并延長交于點，
連接，交于點，
由，所以，
則，則，所以為平面與平面的交線，
則為平面與平面的交線，
所以為平面與四邊形的交線，
由于，所以，
又，所以，
則，故C錯誤；
對于D，因為點在側(cè)面正方形內(nèi)，設(shè)，
則，
因為，所以，
化簡為，
則點的軌跡為直線在正方形內(nèi)的線段，其長度為，故D正確.
故選：BD

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題選項D為空間動點軌跡的探索問題，解答本題的關(guān)鍵是利用空間直角坐標(biāo)系探索出動點的軌跡.
4．BC
【分析】根據(jù)體積公式即可求解A，根據(jù)平面中兩點距離最小即可求解B，根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進(jìn)而求解C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解D.
【詳解】對于A,連接相交于，故
，，A錯誤；
對于B，因與均是邊長為1的正三角形，故可將沿翻折，
使其與共面，得到菱形，則，B正確；
對于C，由且,平面,
故平面，平面，，
若，平面,則平面，
故，知M與C重合，AM與BC的夾角為，C正確；
對于D，，，
由于平面，故平面，
平面，故
（與的夾角為鈍角），D錯誤．
故選：BC.
5．4
【分析】利用向量運(yùn)算化簡變形，設(shè)，將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動點軌跡為均為球面，再利用球心距求兩球面上任意兩點間距離最大值即可.
【詳解】已知正三棱錐，則，且，
由化簡得，
由化簡得.
設(shè)，代入，，
分別化簡得，且，
故點在以為直徑的球面上，半徑；
點在以為直徑的球面上，半徑
分別取線段、的中點、，
則，
故.
故答案為：4
【點睛】將向量的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為動態(tài)的幾何表達(dá)，借助幾何意義求解動點間的距離最值是解決本類題型的關(guān)鍵所在.
6． /0.25；． 55/155
【分析】
利用已知條件結(jié)合向量法即可求解；利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解．
【詳解】
連接，如下圖，
由題意，，，正方形中，，
正方形中，平面，平面，平面平面，
就是二面角的平面角，則，
向量與向量夾角為，且，
①，，，
，
，
直線和夾角的余弦值為；
②設(shè)，則，
且由題意，
，
，
令，,，圖象開口向上，且對稱軸為，
當(dāng)時，取得最小值，又，
，即的最小值是．
故答案為：；．
反思提升：
由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確.
【考點3】利用空間向量證明平行與垂直
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．三棱錐的體積為D．直線BC與平面所成的角為
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點，與平面交于點，點分別在線段上運(yùn)動，則線段的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，且和均是邊長為的等邊三角形，分別為的中點，為上的動點（不含端點），平面交直線于，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)運(yùn)動時，總有
B．當(dāng)運(yùn)動時，點到直線距離的最小值為
C．存在點，使得平面
D．當(dāng)時，直線交于同一點
4．（2024·重慶九龍坡·三模）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與平面所成角的正切值為
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為9π
三、解答題
5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，，.

(1)求證：四邊形為正方形；
(2)求體對角線的長度；
(3)求異面直線與所成角的余弦值.
6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為AB的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
參考答案：
1．B
【分析】A選項根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對于B，D利用空間向量判斷，對于C，利用體積公式求解即可.
【詳解】A選項：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
對于B，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
因為，所以，所以，
因為在平面外，所以直線與平面平行，所以B正確，
對于C， ，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤，
對于D，，直線BC與平面所成的角為，，所以D錯誤，
故選：B.
2．C
【分析】建系，分析可知平面，，，結(jié)合垂直關(guān)系可知，結(jié)合范圍分析最值即可.
【詳解】如圖所示：以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
可得，
則，可知，
且，平面，可知：平面，
且平面，可得，
設(shè)，即，則，
因為，解得，即；
同理可得：平面，，
則，，
又因為，
則三棱錐為正三棱錐，點為等邊的中心，
在中，結(jié)合等邊三角形可知：，
因為平面，平面，則，可知，
當(dāng)時，取到最小值；
當(dāng)時，取到最大值；
綜上所述：線段的取值范圍為.
故選：C.
3．ABD
【分析】選項A，根據(jù)條件，得到面，再利用線面平行的性質(zhì)，即可求解；選項B，根據(jù)條件得到為點到直線的距離，從而知當(dāng)時，點到直線距離最小，再利用等面積，即可求解；選項C，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件得到與不垂直，即可求解；選項D，根據(jù)條件得到必有交點，再利用基本事實3，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為分別為的中點，所以，
又為上的動點（不含端點），故面，所以面，
又面面，面，故，所以選項A正確，
對于選項B，由題知，所以，得到，即為點到直線的距離，
如圖1，連接，因為，又平面平面，平面平面，面，
所以面，又面，所以，
在中，當(dāng)時，點到直線距離最小，
又，，由，得到，所以選項B正確，
對于選項C，由選項B知，可建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
又分別是的中點，所以，設(shè)，
又，，，
由，得到，解得，又，
所以與不垂直，故不存在點，使得平面，所以選項C錯誤，
對于選項D，如圖3，由（1）知，又，且，
又，所以，且，則必有交點，
設(shè)，因為面，所以面，
又面，所以面，得到面面，
所以直線交于同一點，故選項D正確，
故選：ABD.
4．ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)空間關(guān)系的向量證明判斷A，利用線面角的向量公式求解判斷B，利用等體積法求出相應(yīng)三棱錐的體積判斷C，利用補(bǔ)體法求得外接球的半徑，即可求解外接球的表面積判斷D.
【詳解】由題意，在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則
對于A項，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
又，因為直線平面，
所以直線平面，A正確；
對于B項，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，所以，
故，故B正確；
對于C項，
，故C不正確；
對于D項，如圖，

三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，
所以為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識，
所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確.
故選：ABD.
5．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量相等證明四邊形為平行四邊形，再證明鄰邊垂直即可得證；
（2）利用空間向量的數(shù)量積計算模長即可；
（3）利用空間向量的數(shù)量積求夾角即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，而不共線，所以四邊形為平行四邊形，
又，
所以，即，所以四邊形為正方形；
（2）由題意易知，
所以，
因為，，
所以，，
所以，即；
（3）因為，，
所以
，
，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
6．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明,再通過線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法求二面角的公式即可求解.
【詳解】（1）以為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，，
，，．
因為，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，取，則，．
所以，是平面的一個法向量，
又因為平面，
所以為平面的一個法向量，
則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，即平面與平面的夾角的余弦值為．
反思提升：
(1)利用向量證明平行問題
①線線平行：方向向量平行.
②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.
③面面平行：兩平面的法向量平行.
(2)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法
①線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；②線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；③面面垂直問題：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（20-21高二上·山東泰安·期中）已知兩個非零向量，，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（ ）．
A．B．
C．D．存在非零實數(shù)，使
2．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是內(nèi)一點，四面體的體積為，則對，的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2024·四川德陽·二模）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
①若，且，則
②若且，則
③若，且，則
④若，且，則
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
5．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的有( )
A．A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面
B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直
C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α
D．平面α經(jīng)過三點，是平面α的法向量，則u+t＝1
6．（2021·全國·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，，與交于點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．存在點，使得
C．三棱錐的體積為
D．直線與平面所成角的余弦值為
7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（ ）
A．存在點Q，使得B．存在點Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值D．二面角的余弦值為
三、填空題
8．（2023高一·全國·單元測試）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)k的值為 ．
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
10．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

四、解答題
11．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設(shè)，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
12．（20-21高二上·天津靜?！るA段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)，，.
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
參考答案：
1．D
【解析】分析各選項中、的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項.
【詳解】若非零向量，在同一條直線上，則、共線.
對于A選項，，且是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，
所以，、同向，所以，是、在一條直線上的充分不必要條件；
對于B選項，取，，則，但、不共線；
對于C選項，若，則，可知；
對于D選項，“存在非零實數(shù)，使”“”.
故選：D.
2．D
【分析】根據(jù)共面向量定理將所求最小值轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，再利用體積求解即可.
【詳解】設(shè)，由共面向量定理得點為平面內(nèi)任意一點，
且，
所以，
求的最小值，即求點到平面的距離，
設(shè)點到平面的距離為，
由題意知，
四面體的體積，
解得，故所求最小值為6．
故選：D．
3．A
【分析】根據(jù)投影向量的定義理解向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合圖形即可計算得到.
【詳解】因圖中是四個相同的正方體排成的正四棱柱，故在上的投影都是，
所以，，
即的值只有一個．
故選：A.
4．A
【分析】利用方向向量與法向量判斷線面位置關(guān)系，從而判斷①④；利用面面平行的判定定理判斷②，舉特例可排除③，從而得解.
【詳解】設(shè)分別是直線的方向向量，
對于①，因為，所以分別是平面的法向量，
又，即，所以，故①正確；
對于②，由面面平行的判定定理可知，當(dāng)不相交時，不一定成立，故②錯誤；
對于③，當(dāng)時，可滿足時有，
又，顯然此時位置關(guān)系不確定，故③錯誤；
對于④，因為，所以是平面的法向量，
又，所以也是平面的法向量，
又，即，所以，故④錯誤.
故選：A.
5．ABD
【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個選項即可．
【詳解】解：對于A，A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，
則共面，可得A，B，M，N共面，故A正確；
對于B，，故，可得l與m垂直，故B正確；
對于C，，故，可得在α內(nèi)或l∥α，故C錯誤；
對于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正確．
故選：ABD．
6．AC
【分析】A.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；B. 利用空間向量運(yùn)算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.
【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，
向量，故A正確；
假設(shè)存在點，設(shè)，，所以.因為，所以.解得.故B錯誤；
因為正三棱柱，所以，所以，所以，故C正確；
設(shè)中點為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯誤.
故選：AC.
7．BD
【分析】A選項，由推出平面，矛盾；B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點時，，此時平面，故B正確；C選項，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯誤；D選項，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.
【詳解】對于A，若，因為平面，平面，
所以平面，矛盾，故A錯誤．
對于B，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為2，則，
因為，
，
故，，
故，，
因為，平面，
故平面，當(dāng)Q為的中點時，，
此時平面，故B正確．

對于C，Q在線段上運(yùn)動，若三棱錐的體積為定值，則平面，
，DA=2,0,0，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，
解得，令得，故，
故，故與不垂直，
故平面不成立，故C錯誤；
對于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，
由于為等邊三角形，
則，，所以為所求二面角的平面角，
不妨設(shè)正方體的棱長為2，則的棱長為，
故，，
由余弦定理可得，
二面角的余弦值為，故D正確．
故選：BD
8．
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，由三點共線，可設(shè)，利用空間向量共線的充要條件，列出方程，即可求解.
【詳解】因為，，
可得，
又因為三點共線，可設(shè)，即，
因為不共線，可得，解得，
所以實數(shù)的值為.
故答案為：.
9． /0.5
【分析】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底，將相關(guān)向量分別用基底表示，再利用平面，確定必共面，運(yùn)用空間向量共面定理表達(dá)，建立方程組計算即得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，依題意，,
，
因，則
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
從而有，解得.
故答案為：.
10．
【分析】寫出表達(dá)式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.
【詳解】由題意，
在三棱錐中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量為：
，
故答案為：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解.
【詳解】（1）依題意可得
（2）依題意可得，
所以
，
所以，即.
12．(1)證明過程見解析；
(2)
【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出，從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；
（2）用表達(dá)與，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.
【詳解】（1）證明：連接DE，
因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，
所以，
故，
又因為，平面，
所以平面，
因為平面，
所以.
（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，
所以
，，
所以
，
設(shè)異面直線AG和CE所成角為，
則
【能力篇】
一、單選題
1．（2020·北京朝陽·一模）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運(yùn)動.當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，點的位置是（ ）
A．線段的三等分點，且靠近點B．線段的中點
C．線段的三等分點，且靠近點D．線段的四等分點，且靠近點
二、多選題
2．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．對空間任意一點與不共線的三點，若，其中，，且，則四點共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實數(shù)使得
三、填空題
3．（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，則二面角的大小為 ，此時，四面體的外接球的表面積為 ．

四、解答題
4．（2024·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面所成角的余弦值.
參考答案：
1．B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為動點到直線的距離最小時，確定點的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點，通過坐標(biāo)運(yùn)算可知，即是動點到直線的距離，再由空間兩點間的距離公式求出后，利用二次函數(shù)配方可解決問題.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以 為原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，的中點，
，，則，
設(shè)，，
由與共線，可得，所以，所以，其中，
因為，
，
所以，所以，即是動點到直線的距離，
由空間兩點間的距離公式可得，
所以當(dāng)時，取得最小值，此時為線段的中點，
由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，為線段的中點.
故選：B
【點睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了空間兩點間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合法，考查了二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.
2．BCD
【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平面向量共線的坐標(biāo)表示判斷B，利用特殊值判斷C、D.
【詳解】對于A：因為，則，
所以，即，
所以，所以四點共面，故A正確；
對于B：因為，，與的夾角為鈍角，
所以且與不共線反向，
若，則，解得；
若與共線，則，解得，
綜上可得或，故B錯誤；
對于C：若、同向且，此時，
即不成立，故C錯誤；
對于D：若，，顯然與共線，但是不存在使得，故D錯誤.
故選：BCD
3． / /
【分析】把二面角轉(zhuǎn)化為與的夾角，由，利用向量的運(yùn)算，求得，求得二面角的大小為，把三棱錐補(bǔ)成一個直三棱柱，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.
【詳解】空1：由題意知且，
根據(jù)二面角的平面角的定義，可得向量與的夾角就是二面角的平面角，
又由，且，和，
所以，
即，化簡得，
即，所以，
又因為，所以，所以二面角的大小為．
空2：如圖所示，把三棱錐補(bǔ)成一個直三棱柱，
可得三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球，
設(shè)外接球的半徑為，底面的外接圓的半徑為
在中，由，
可得，
由正弦定理得，可得，
又由球的截面圓的性質(zhì)，可得，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：；.

4．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）依據(jù)題意建立以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個法向量，計算即可得證.
（2）由（1）得直線的的方向量，平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則由即可得解.
（3）求出平面的一個法向量，計算，則由計算結(jié)果即可得解.
【詳解】（1）如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
則，，
設(shè)平面的一個法向量為n1=x1,y1,z1，則，
故，即，則，
令，得，
所以，
所以，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）設(shè)平面的一個法向量，由（1）可得，，
則，故，即，
令，得，
所以，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·江西·二模）在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點、，當(dāng)時，截面的面積為（ ）
A．B．2C．D．3
二、多選題
2．（2024·河北秦皇島·三模）在長方形中，，，點在線段上（不包含端點），沿將折起，使二面角的大小為，，則（ ）
A．存在某個位置，使得
B．存在某個位置，使得直線平面
C．四棱錐體積的最大值為
D．當(dāng)時，線段長度的最小值為
三、填空題
3．（2023·上海嘉定·一模）正四棱臺是的中點，在直線上各取一個點P、Q，使得M、P、Q三點共線，則線段的長度為 ．
參考答案：
1．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共面確定點的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積及三角形面積公式即可求出.
【詳解】由題意，平面，四邊形為正方形，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則，，，，，，，
設(shè)，，則，
又，，所以，則，
由題意，四點共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以截面的面積為.
故選：A
2．ACD
【分析】利用特殊位置可判定A，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判定B，利用棱錐的體積公式及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可判定C，利用空間向量數(shù)量積研究模長可判定D.
【詳解】設(shè)點A在平面上的投影為，即，
而當(dāng)時，平面，
所以平面，平面，所以，
這種情況顯然存在，故A正確；
若平面，平面，平面平面，
所以，顯然矛盾，故B錯誤；
設(shè)，，則點A到的距離為，，，
要使得四棱錐的體積最大，則，
此時四棱錐的體積，
，在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，.
令，，則，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
即四棱錐體積的最大值為，C正確.
過A，作的垂線，垂足分別為，，從而得到，，
又，
所以
.
因為二面角的大小為，所以與的夾角為120°.
設(shè)，，則，
，，，，
所以，
所以
.
故當(dāng)時，有最小值28，故線段長度的最小值為，D正確.
故選：ACD
【點睛】思路點睛：對于C項，設(shè)，利用表示線段長，利用棱錐體積公式得，通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性計算最值即可；對于D項，根據(jù)空間向量數(shù)量積公式計算模長即可.
3．
【分析】根據(jù)正四棱臺的特征，建立空間直角坐標(biāo)系，利用M、P、Q三點共線，得到等量關(guān)系，從而確定的位置，進(jìn)而得到線段的長度.
【詳解】結(jié)合題意：連接交于點,交于點,連接
由正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征,易知兩兩垂直，
故以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
因為在正四棱臺，
所以易計算得到： ，，
所以，,
因為是的中點,所以，
所以.
要使M、P、Q三點共線，則，共線，
則，解得：，
所以，,
所以，
所以.
故答案為:

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名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個平面的向量
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2
l1∥l2
u1∥u2?u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2?u1·u2＝0
直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n
l∥α
u⊥n?u·n＝0
l⊥α
u∥n?u＝λn
平面α，β的法向量分別為n1，n2
α∥β
n1∥n2?n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0

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第54講 空間向量及其應(yīng)用 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）

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專題14 函數(shù)模型及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）

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