【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】異面直線所成的角5
【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角6
【考點(diǎn)3】平面與平面的夾角9
【分層檢測(cè)】11
【基礎(chǔ)篇】11
【能力篇】14
【培優(yōu)篇】15
考試要求：
1.掌握空間向量的應(yīng)用.
2.會(huì)用空間向量求空間角和距離.
知識(shí)梳理
1.兩條異面直線所成的角
設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，
則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2.直線和平面所成的角
直線AB與平面α相交于B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3.平面與平面的夾角
(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面 β的夾角.
(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
4.點(diǎn)P到直線l的距離
設(shè)eq \(AP,\s\up6(→))＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq \r(a2－（a·u）2).
5.點(diǎn)P到平面α的距離
若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點(diǎn)為A，則平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如圖所示.
6.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.
1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要誤記為cs θ＝|cs〈a，n〉|.
2.二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
真題自測(cè)
一、解答題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
5．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】異面直線所成的角
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（ ）
A．直線與BD所成的角為90°
B．線段的長(zhǎng)度為
C．直線與所成的角為90°
D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為
2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（ ）
A．圓B．直線C．拋物線D．橢圓
二、多選題
3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．不存在點(diǎn)，使得
B．的最小值為
C．當(dāng)時(shí)，
D．若平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是直線的一部分
4．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四面體的各棱長(zhǎng)均為分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．
B．直線與所成角的余弦值為
C．四面體的外接球體積為
D．平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值為8
三、填空題
5．（2024·遼寧撫順·三模）在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則異面直線所成角的余弦值為 ．
6．（2023·河南開(kāi)封·二模）已知矩形，，過(guò)作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為 ，長(zhǎng)度的最小值為 ．
反思提升：
用向量法求異面直線所成角的一般步驟：
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.
【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角
一、解答題
1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.
(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
2．（2024·山東淄博·二模）已知直角梯形，，，，為對(duì)角線與BD的交點(diǎn)．現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：
(1)證明：平面PBM；
(2)求三棱錐體積的最大值；
(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線AB與平面所成角的正弦值．
3．（2024·新疆烏魯木齊·三模）由平行六面體截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，其體積為5，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，．

(1)證明平面；
(2)證明平面平面；
(3)若，，與底面ABCD所成角為60°，求與平面所成角的余弦值．
4．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
5．（2024·河南駐馬店·二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.

(1)求證：平面；
(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
6．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
反思提升：
向量法求直線與平面所成角主要方法是：
(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.
【考點(diǎn)3】平面與平面的夾角
一、解答題
1．（2024·山西太原·一模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，.
(1)點(diǎn)在側(cè)棱上，且平面，確定在側(cè)棱上的位置；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
2．（2024·廣西南寧·三模）如圖，在中，，，．將繞旋轉(zhuǎn)得到，，分別為線段，的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求平面與平面所成銳角的余弦值．
3．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

(1)證明：；
(2)若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.
4．（2024·新疆·二模）如圖，三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是，為的中點(diǎn)，且為FG的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)若，平面與平面夾角的余弦值為，求FG的長(zhǎng)．
5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分別是BC，的中點(diǎn)．
(1)若M是的中點(diǎn)，證明：平面平面；
(2)若M是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求BM長(zhǎng)度．
6．（2024·福建泉州·一模）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．
(1)若，證明：平面；
(2)若二面角的正切值為5，求BQ的長(zhǎng)．
反思提升：
用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，為上的點(diǎn)，若直線與直線所成角的余弦值為，則長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．
3．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角均為θ，平面α截此正方體所得截面為圖形Ω，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A．平面α可以是平面B．
C．圖形Ω可能是六邊形D．
4．在正三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為正三角形，是的中點(diǎn)，若直線和平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)M，使得平面
B．存在點(diǎn)M，使得∥平面
C．不存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為
D．存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成的銳角為
6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（ ）

A．三棱錐的體積是定值
B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為
C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為
7．在棱長(zhǎng)為的正方體中，則（ ）
A．平面
B．直線平面所成角為45°
C．三棱錐的體積是正方體體積的
D．點(diǎn)到平面的距離為
三、填空題
8．在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為3時(shí) ．
9．已知圓所在平面與平面所成的銳二面角為，若圓在平面的正投影為橢圓，則橢圓的離心率為 .
10．已知在正方體中，，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為 ．
四、解答題
11．在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角A-CD-P為直二面角.
(1)求證：；
(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.
12．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
【能力篇】
一、解答題
1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段的中點(diǎn)，，，四邊形為矩形.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．
(1)求證：平面；
(2)若，，，是棱上的點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)的位置．
3．（2024·四川樂(lè)山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖，在四棱錐中，，，且是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的余弦值.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知線段為圓柱的三條母線，AB為底面圓的一條直徑，是母線的中點(diǎn)，且.
(1)求證：平面DOC；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形是直角梯形，，平面是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，的面積為，四棱錐的體積為．
(1)求證：平面;
(2)若P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的值
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