專題30 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】4
【考點(diǎn)1】數(shù)量積的計(jì)算4
【考點(diǎn)2】數(shù)量積的應(yīng)用5
【考點(diǎn)3】平面向量的綜合應(yīng)用6
【分層檢測】7
【基礎(chǔ)篇】7
【能力篇】9
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.
2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系.
3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.
5.會(huì)用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.
6.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.
知識(shí)梳理
1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念
(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cs__θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq \(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夾角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b

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