2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題14函數(shù)模型及其應(yīng)用(新高考專用)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】4
【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程4
【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題7
【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題9
【分層檢測】11
【基礎(chǔ)篇】11
【能力篇】14
【培優(yōu)篇】16
考試要求：
1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.
2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.
知識(shí)梳理
1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
2.幾種常見的函數(shù)模型
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.
真題自測
一、單選題
1．（2020·全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）
A．10名B．18名C．24名D．32名
2．（2020·山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) （）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
二、多選題
3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（）．
A．B．
C．D．
三、填空題
4．（2019·北京·高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為．
四、解答題
5．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．
（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；
（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程
一、單選題
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（）
A．B．
C．D．
2．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊、與運(yùn)動(dòng)，記，將的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，則（）

A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
二、多選題
3．（2021·福建廈門·一模）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進(jìn)一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（）
A．
B．注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為6小時(shí)
C．注射該藥物小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為時(shí)
4．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）設(shè)，當(dāng)時(shí)，對這三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）
A．的增長速度最快，的增長速度最慢
B．的增長速度最快，的增長速度最慢
C．的增長速度最快，的增長速度最慢
D．的增長速度最快，的增長速度最慢
三、填空題
5．（21-22高二下·江蘇南通·期中）根據(jù)疫情防控要求，學(xué)校教室內(nèi)每日需要進(jìn)行噴灑藥物消毒．若從噴灑藥物開始，教室內(nèi)空氣中的藥物濃度（毫克/立方米）與時(shí)間（分鐘）的關(guān)系為：，根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定該藥物濃度達(dá)到不超過毫克/立方米時(shí)，學(xué)生可以進(jìn)入教室，則從開始消毒至少分鐘后，學(xué)生可進(jìn)教室正常學(xué)習(xí)；研究表明當(dāng)空氣中該藥物濃度超過毫克/立方米持續(xù)8分鐘以上時(shí)，才能起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒有）.
6．（2020·江西南昌·三模）如圖，有一塊半徑為的半圓形廣場，為的中點(diǎn)．現(xiàn)要在該廣場內(nèi)以為中軸線劃出一塊扇形區(qū)域，并在扇形區(qū)域內(nèi)建兩個(gè)圓形花圃（圓和圓），使得圓內(nèi)切于扇形，圓與扇形的兩條半徑相切，且與圓外切．記，則圓的半徑可表示成的函數(shù)式為，圓的半徑的最大值為．
反思提升：
判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.
(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.
【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題
一、單選題
1．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）
①浮萍每個(gè)月增長的面積都相等；
②浮萍蔓延4個(gè)月后，面積超過30平方米；
③浮萍面積每個(gè)月的增長率均為50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時(shí)間分別是，，，則．
A．0B．1C．2D．3
2．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2023·河南·模擬預(yù)測）若物體原來的溫度為（單位:），環(huán)境溫度為（單位:），物體的溫度冷卻到，單位:）與需用時(shí)間（單位:分鐘）滿足為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開水放在室溫為的房間里，根據(jù)函數(shù)關(guān)系研究這杯開水冷卻的情況（，則（）
A．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過10分鐘，這杯水的溫度大約為
B．當(dāng)時(shí)，這杯開水冷卻到大約需要14分鐘
C．若，則
D．這杯水從冷卻到所需時(shí)間比從冷卻到所需時(shí)間短
4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（）
A．B．與成正比例關(guān)系
C．D．
三、填空題
5．（2023·上海長寧·一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對大小的指標(biāo).其值（單位：）定義為.其中為聲場中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為為基準(zhǔn)值.若，則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為 .
6．（2007·湖北·高考真題）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問題：

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．
反思提升：
1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn).
(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；
(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).
2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).
【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題
一、單選題
1．（2024·北京朝陽·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率. 當(dāng)不變，比原來提高時(shí)，下列說法正確的是（）
A．若不變，則比原來提高不超過
B．若不變，則比原來提高超過
C．為使不變，則比原來降低不超過
D．為使不變，則比原來降低超過
2．（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生制作一個(gè)矩形框架的工藝品．要求將一個(gè)邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個(gè)頂點(diǎn)分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時(shí)間（單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進(jìn)入車庫了，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．排氣12分鐘后濃度為
D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在四川成都舉行，大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”備受人們歡迎．某大型超市舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，推出“單次消費(fèi)滿1000元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為若干個(gè)大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”．抽獎(jiǎng)結(jié)果分為五個(gè)等級(jí)，等級(jí)與獲得“蓉寶”的個(gè)數(shù)的關(guān)系式為，已知三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多2個(gè)，比五等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多3個(gè)，且三等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)是五等獎(jiǎng)的2倍，則（）
A．B．
C．D．二等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)為10
三、填空題
5．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個(gè)長度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時(shí)間為 s．（注意：位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，重力加速度?。?br>6．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運(yùn)營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
出租車空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）
反思提升：
(1)在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：
①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.
②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.
③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.
④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題.
(2)通過對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·云南·二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價(jià)格：
張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（）
A．116件B．110件C．107件D．106件
2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬元）的關(guān)系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為，若銀行希望實(shí)際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（）
A．46.49萬元B．53.56萬元C．64.43萬元D．71.12萬元
3．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．6minD．
4．（22-23高三下·云南·階段練習(xí)）近年來，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過去20年的年復(fù)合增長率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測2024年的天然氣消費(fèi)量約為（）
（參考數(shù)據(jù)：，
A．m3B．m3
C．m3D．m3
二、多選題
5．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知大氣壓強(qiáng)隨高度的變化滿足關(guān)系式是海平面大氣壓強(qiáng)，.我國陸地地勢可劃分為三級(jí)階梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范圍直接代表各級(jí)階梯海拔的范圍，設(shè)在第一、二、三級(jí)階梯某處的壓強(qiáng)分別為，則（）
A．B．
C．D．
6．（22-23高一上·河南新鄉(xiāng)·期末）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復(fù)合袋．在我們的日常生活中，各類大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來，而且可以達(dá)到防潮、防蟲咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來進(jìn)行排氣的．現(xiàn)選用某種抽氣泵對裝有棉被的壓縮袋進(jìn)行排氣，已知該型號(hào)的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內(nèi)氣體的，則（）（參考數(shù)據(jù)：?。?br>A．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的，至少要抽5次
B．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的，至少要抽9次
C．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的
D．抽3次可以使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的
7．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）泊松分布適合于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)．如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等等．其概率函數(shù)為，參數(shù)是單位時(shí)間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)．現(xiàn)采用某種紫外線照射大腸桿菌，大腸桿菌的基因組平均產(chǎn)生3個(gè)嘧啶二體．設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)為Y，表示經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生k個(gè)嘧啶二體的概率．已知Y服從泊松分布，記為，當(dāng)產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)不小于1時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，下列說法正確的有（）（參考數(shù)據(jù)：，恒等式）
A．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率約為5%
B．設(shè)，則
C．如果，那么，X的標(biāo)準(zhǔn)差
D．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線照射后，其基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為3
三、填空題
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）對某種藥劑進(jìn)行稀釋，初始時(shí)藥劑有，濃度為100%，加入水后，藥劑濃度被稀釋為60%，若每次稀釋都向上一次所得稀釋液中加入水，則要使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度的10%，則要加水次．
9．（22-23高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為 .（參考數(shù)據(jù)：）
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時(shí)間．在特定劑量范圍內(nèi)，（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時(shí)刻測得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過一段時(shí)間后再次測得兩種藥物在血液中濃度都為，設(shè)藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．
四、解答題
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）某種漢堡是某西餐店火爆的快餐品種之一，該店該種漢堡的成本為每個(gè)10元，售價(jià)為每個(gè)15元，若當(dāng)天沒有售出，則全部銷毀．

(1)若該西餐店某天制作該種漢堡（）個(gè)，求該西餐店當(dāng)天該種漢堡的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；
(2)該西餐店某月（按30天算）每天制作該種漢堡90個(gè)，并對該月該種漢堡的日需求量（單位：個(gè)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析制成條形圖如圖所示，求該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤．
12．（2000·廣東·高考真題）某蔬菜基地種黃瓜，從歷年市場行情可知，從二月一日起的天內(nèi)，黃瓜市場售價(jià)（單位：元/千克）與上市時(shí)間（第天）的關(guān)系可用如圖所示的一條折線表示，黃瓜的種植成本（單位：元/千克）與上市時(shí)間的關(guān)系可用如圖所示的拋物線表示．

(1)寫出圖表示的市場售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式及圖表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益，則何時(shí)上市能使黃瓜純收益最大？
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）
A．
B．
C．
D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（）
A．若是以月為單位，則
B．若是以年為單位，則
C．若是以月為單位，則
D．若是以年為單位，則
三、填空題
3．（2022·河南安陽·二模）某景區(qū)套票原價(jià)300元/人，如果多名游客組團(tuán)購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價(jià)打9折；若人數(shù)不低于50，則票價(jià)打8折；若人數(shù)不低于100，則票價(jià)打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價(jià)計(jì)算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個(gè)旅游團(tuán)有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個(gè)旅游團(tuán)購票總費(fèi)用的最小值為元.
四、解答題
4．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：
若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)設(shè)臨界值時(shí)，將2個(gè)不作該指標(biāo)檢測的Ⅰ級(jí)品芯片直接應(yīng)用于A型手機(jī)，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；
(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：
方案一：將芯片不作該指標(biāo)檢測，Ⅰ級(jí)品直接應(yīng)用于A型手機(jī)，Ⅱ級(jí)品直接應(yīng)用于B型手機(jī)；
方案二：重新檢測該芯片Ⅰ級(jí)品，Ⅱ級(jí)品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號(hào)，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要130萬元；
請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對藍(lán)方、藍(lán)方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為．則下列結(jié)論不正確的是（）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
D．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
二、多選題
2．（2023·遼寧大連·三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：
其中正實(shí)數(shù)分別為甲?乙兩方初始實(shí)力，為比賽時(shí)間；分別為甲?乙兩方時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)分別為甲對乙?乙對甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲?乙兩方任何一方實(shí)力為0時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長為.則下列結(jié)論正確的是（）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則甲比賽勝利
D．若，則甲比賽勝利
三、填空題
3．（2022·北京東城·二模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型．
已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；
②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高；
③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)：
④甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
函數(shù)
性質(zhì)
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象
的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值
變化而
各有不同
值的比較
存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)gax0且a≠1，b≠0)
與冪函數(shù)相關(guān)的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)
聲源
與聲源的距離
聲壓級(jí)
燃油汽車
10
混合動(dòng)力汽車
10
電動(dòng)汽車
10
40
物質(zhì)
τ的量綱單位
τ的值
鈾234
萬年
35.58
鈾235
億年
10.2
鈾238
億年
64.75
甲
乙
丙
接單量t（單）
7831
8225
8338
油費(fèi)s（元）
107150
110264
110376
平均每單里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油費(fèi)a（元）
0.7
0.7
0.7
一次購買件數(shù)
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件價(jià)格
37元
32元
30元
27元
25元
平均海拔
第一級(jí)階梯
第二級(jí)階梯
第三級(jí)階梯
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
專題14 函數(shù)模型及其應(yīng)用（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】9
【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程9
【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題15
【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題22
【分層檢測】27
【基礎(chǔ)篇】27
【能力篇】36
【培優(yōu)篇】40
考試要求：
1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.
2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.
知識(shí)梳理
1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
2.幾種常見的函數(shù)模型
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.
真題自測
一、單選題
1．（2020·全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）
A．10名B．18名C．24名D．32名
2．（2020·山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) （）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
二、多選題
3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（）．
A．B．
C．D．
三、填空題
4．（2019·北京·高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為．
四、解答題
5．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．
（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；
（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．
參考答案：
1．B
【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以?br>設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.
3．ACD
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項(xiàng)A：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項(xiàng)B：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋矗?br>可得，即，故C正確；
對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
4． 130. 15.
【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.
【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,
元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.
元時(shí),有恒成立,即,即元.
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
5．（1）15（百米）；
（2）見解析；
（3）17+（百米）.
【分析】解：解法一：
（1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長；
（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.
（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．
解法二：
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長；
（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.
（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．
【詳解】解法一：
（1）過A作，垂足為E.
由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.
因?yàn)镻B⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，
從而，所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.
因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上，P和Q均不能選在D處.
（3）先討論點(diǎn)P的位置.
當(dāng)∠OBP90°時(shí)，在中，.
由上可知，d≥15.
再討論點(diǎn)Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.
解法二：
（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.
因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.
因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為，
直線PB的方程為.
所以P（?13，9），.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=41)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象
的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值
變化而
各有不同
值的比較
存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)gax0且a≠1，b≠0)
與冪函數(shù)相關(guān)的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)
聲源
與聲源的距離
聲壓級(jí)
燃油汽車
10
混合動(dòng)力汽車
10
電動(dòng)汽車
10
40
物質(zhì)
τ的量綱單位
τ的值
鈾234
萬年
35.58
鈾235
億年
10.2
鈾238
億年
64.75
甲
乙
丙
接單量t（單）
7831
8225
8338
油費(fèi)s（元）
107150
110264
110376
平均每單里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油費(fèi)a（元）
0.7
0.7
0.7
一次購買件數(shù)
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件價(jià)格
37元
32元
30元
27元
25元
平均海拔
第一級(jí)階梯
第二級(jí)階梯
第三級(jí)階梯
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1

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