專題29 平面向量基本定理及坐標表示-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】5
【考點1】平面向量基本定理的應用5
【考點2】平面向量的坐標運算11
【考點3】平面向量共線的坐標表示16
【分層檢測】19
【基礎篇】19
【能力篇】26
【培優(yōu)篇】30
考試要求：
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
知識梳理
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（）
A．B．3C．D．5
2．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（）
A．B．
C．D．
3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（）
A．B．C．5D．6
4．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·全國·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（）
A．B．C．D．
二、填空題
6．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．
參考答案：
1．B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
2．D
【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
3．C
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
4．D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因為，所以.
故選：D
5．B
【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
6．
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．
【詳解】因為，所以由可得，
，解得．
故答案為：．
【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設，
，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．
考點突破
【考點1】平面向量基本定理的應用
一、單選題
1．（21-22高一下·重慶北碚·階段練習）設是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（）
A．和B．和
C．和D．和
2．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣西·二模）已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（）
A．B．
C．的面積的最大值為D．的最小值為
4．（2022·廣東惠州·一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（）
A．與能構(gòu)成一組基底B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·天津紅橋·二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個對稱的半圓弧組成的，線段MN過點O且兩端點M，N分別在兩個半圓上，點P是大圓上一動點，令，，若，則；的最小值為．
6．（2024·天津·二模）在中，，是的中點，延長交于點．設，，則可用，表示為，若，,則面積的最大值為．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)基底的知識確定正確答案.
【詳解】依題意，不共線，
A選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
B選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
C選項，，
所以和不能構(gòu)成基底.
D選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
故選：C
2．D
【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.
【詳解】由已知有，，，
所以．
已知是AC的中點，則，，
所以，
則．
故選：D．
3．BC
【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運算得，即可判斷A，此式平方后結(jié)合基本不等式，向量的數(shù)量積的定義可求得，的最大值，直接判斷B，再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．
【詳解】是的重心，延長交于點，則是中點，
，A錯；
由得，所以，
又，即
所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；
，當且僅當時等號成立，，
，C正確；
由得，
所以，
，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D錯．
故選：BC．

4．BC
【分析】對A，由正八邊形性質(zhì)可證與平行，即可由基底定義判斷；
對B，由正八邊形性質(zhì)可證，即可由向量數(shù)量積與向量垂直的關系判斷；
對C，由，利用平行四邊形法則即可計算；
對D，由，即可根據(jù)向量數(shù)量積定義計算
【詳解】
連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項錯誤；
，所以，所以，B項正確；
因為，由平行四邊形法則可知，，C項正確；
正八邊形的每一個內(nèi)角為，，
所以，D項錯誤（或者從正八邊形的性質(zhì)可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯誤）.
故選：BC
5． / 0
【分析】第一空結(jié)合圖形由向量的線性運算可得；第二空先由向量的線性運算得到，再當取得最大值時計算可得.
【詳解】由圓的對稱性可得為的中點，
所以，
；
，
因為，
所以，
所以當取得最大值2時，的最小值為0,；
故答案為：；0.
6．，
【分析】根據(jù)幾何關系，表示向量；設，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根據(jù)，以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.
【詳解】由點是的中點，
則；
設，，
則，
，
，
，
所以，得,,
所以，即，
因為，
所以，
，
即，即，當時，即時等號成立，
所以面積的最大值為.

故答案為：；.
反思提升：
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【考點2】平面向量的坐標運算
一、單選題
1．（12-13高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（）
A．6B．5C．4D．3
2．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·湖北十堰·模擬預測）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A．當時，
B．當時，向量與向量的夾角為銳角
C．存在，使得
D．若，則
4．（2023·全國·模擬預測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．若，則
C．
D．設Z為線段AK上任意一點，則的取值范圍是
三、填空題
5．（2022·湖南岳陽·三模）設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為．
6．（2020·山西·三模）如圖，在△中，，點是線段上的一個動點.，則，滿足的等式是 .
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)平面向量坐標的線性運算即可求解.
【詳解】因為，
所以，
又，，
所以，解得.
故選：C.
2．D
【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.
【詳解】
，
所以，所以，
所以，
.
故選：D.
3．AD
【分析】對A，將1代入公式計算即可，對B，利用求向量夾角公式可知要判斷夾角性質(zhì)只需要驗證結(jié)果，
對C，利用共線向量性質(zhì)可得，對D，由向量垂直可得.
【詳解】當時，，所以，故A項正確；
，當時，，但當時，向量與向量同向，夾角為，故B項錯誤；
若，則，故C項錯誤；
若，則，即，解得，故D項正確．
故選：AD．
4．AD
【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結(jié)合向量的坐標運算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】以A為坐標原點，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
A選項：易知，，，，所以，，
則，所以，所以A正確.
B選項：易知，，，，
，，所以，，，
所以，得，解得，，所以，所以B錯誤.
C選項：由選項A，B知，則，
，，所以C錯誤.
D選項：易知，，設，則，，
所以.因為，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值40.所以的取值范圍是，所以D正確.
故選：AD.
5．[1，2]
【分析】建立直角坐標系，利用平面向量線性運算的坐標公式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，
，設，
所以，因此有，
因為，，
所以有，
于是有，
因為，所以，所以，
即，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：建立直角坐標系，利用平面向量線性運算的坐標表示公式是題的關鍵.
6．
【分析】由可得，結(jié)合條件知，又B、P、D三點共線即可得，的等量關系
【詳解】∵，有
又，即
∵B、P、D三點共線
∴，即
故答案為：
【點睛】本題考查了向量的幾何應用，結(jié)合定比分點--三點共線求參數(shù)的等量關系，屬于簡單題
反思提升：
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
【考點3】平面向量共線的坐標表示
一、單選題
1．（23-24高二上·四川綿陽·期末）直線的一個方向向量是（）
A．B．C．D．
2．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
二、多選題
3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（）
A．B．
C．D．與的夾角為
4．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（）
A．對空間任意一點與不共線的三點，若，其中，，且，則四點共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實數(shù)使得
三、填空題
5．（22-23高三上·廣西貴港·階段練習）已知向量，，若A，B，C三點共線，則．
6．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，設向量，，若向量與向量共線，則角．
參考答案：
1．A
【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個方向向量，再求與共線的向量即可.
【詳解】直線的斜率為，則直線的一個方向向量，
對于A，因，即向量與共線，A是；
對于B，因，即向量與不共線，B不是；
對于C，因，即向量與不共線，C不是；
對于D，因，即向量與不共線，D不是.
故選：A.
2．A
【分析】根據(jù)向量共線的坐標關系運算求出的值，判斷得解.
【詳解】向量，，
若與共線，則.解得或，
所以“”是“與共線”的充分不必要條件，
故選：A.
3．ACD
【分析】根據(jù)投影向量的公式求出的值，再根據(jù)向量坐標運算逐項判斷即可.
【詳解】對于A，因為在上的投影向量為，即，
所以，即，解得，故A正確；
對于B，，所以，故B錯誤；
對于C，，所以，故C正確；
對于D，，所以與的夾角為，故D正確.
故選：ACD.
4．BCD
【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及平面向量共線的坐標表示判斷B，利用特殊值判斷C、D.
【詳解】對于A：因為，則，
所以，即，
所以，所以四點共面，故A正確；
對于B：因為，，與的夾角為鈍角，
所以且與不共線反向，
若，則，解得；
若與共線，則，解得，
綜上可得或，故B錯誤；
對于C：若、同向且，此時，
即不成立，故C錯誤；
對于D：若，，顯然與共線，但是不存在使得，故D錯誤.
故選：BCD
5．5
【分析】由向量共線的坐標表示求解.
【詳解】由A，B，C三點共線知，則，解得．
故答案為：5．
6．
【分析】由向量共線的坐標運算，得，利用余弦定理求出，可得角.
【詳解】因為向量，共線，所以，
即，得，
在中，由余弦定理得，，
又，所以．
故答案為：.
反思提升：
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F(xiàn)為線段上靠近點B的三等分點，設，，則（）．
A．B．C．D．
2．（2023·廣東·模擬預測）古希臘數(shù)學家帕波斯在其著作《數(shù)學匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（）

A．B．
C．D．
3．（2024·陜西·模擬預測）已知兩個向量，且，則的值為（）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（）
A．B．1C．D．2
二、多選題
5．（2021·全國·模擬預測）在中，，，分別是邊，，的中點，，，交于點，則（）
A．B．
C．D．
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個單位向量，且，若（），則的可能取值為（）
A．B．C．D．
7．（2023·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（）
A．若，則
B．若，則與同向的單位向量為
C．若，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為
D．若，則的最小值為
三、填空題
8．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知向量，，則，則實數(shù) .
9．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則．
10．（2023·河南·模擬預測）在平行四邊形中，，，點為線段的中點，則 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
12．（2023·湖南永州·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且向量與向量共線.
(1)求；
(2)若的面積為，求的值.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】如圖所示，
由題意可得，
而.
故選：C．
2．B
【分析】利用坐標法，建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出各點坐標利用坐標運算結(jié)合平面向量基本定理即得.
【詳解】以D為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.

不妨設，則，，，，，
故，，.
設，則，
解得，
所以.
故選：B.
3．B
【分析】利用垂直關系的向量表示，結(jié)合模的坐標表示求解即得.
【詳解】由，得，則，即，
因此，所以.
故選：B
4．A
【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標關系即可求解.
【詳解】，由于，所以，解得，
故選：A
5．BCD
【分析】由向量的數(shù)乘運算判斷A；由平行四邊形法則判斷B；根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘運算判斷C；由重心的性質(zhì)結(jié)合數(shù)乘以及平行四邊形法則判斷D.
【詳解】因為，，分別是邊，，的中點，所以，故A錯誤；
由平行四邊形法則可知，，故B正確；
，故C正確；
由題意知，點為的重心，所以，D正確.
故選：BCD.
6．ABC
【解析】以向量、方向為x，y軸建立坐標系，則終點在單位圓上的向量，可計算取值范圍，即得結(jié)果.
【詳解】依題意，、是一組垂直的單位向量，如圖建立坐標系，向量、作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點C（表示由x軸非負半軸旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角）構(gòu)成的向量，，

因為，，，，
所以，故，，
故，故可以是選項中的0，1，.
故選：ABC.
7．BD
【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷AB選項，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項，結(jié)合向量垂直的坐標表示及基本不等式可判斷D選項.
【詳解】由，，
A選項：，
則，解得，則，，
所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；
B選項：，則，解得，
即，，，
所以與同向的單位向量為，B選項正確；
C選項：時，，
又與的夾角為銳角，
則，解得，且，
即，C選項錯誤；
D選項：由，得，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，D選項正確；
故選：BD.
8．2
【分析】根據(jù)向量坐標運算求，結(jié)合向量平行坐標表示求.
【詳解】因為，，
所以，
因為，
所以，
解得，
故答案為：.
9．
【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示求出和，再利用向量數(shù)量積的坐標表示求解即可.
【詳解】，即，，，
，，.
故答案為：.
10．
【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標運算求向量數(shù)量積.
【詳解】，以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
，則，
有，，，，，
.
故答案為：
11．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

12．(1)
(2)
【分析】（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求得角；
（2）由面積公式解出的值，再由余弦定理解得的值.
【詳解】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，
∴，
由，sinB>0，∴，，又，∴.
（2）由（1）知，∴，，
，得，
由余弦定理：，
∴，解得.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知點，，，且，則（）
A．B．C．D．2
二、多選題
2．（2023·湖北襄陽·模擬預測）在直角梯形中，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（）

A．1B．C．D．3
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為 ,
四、解答題
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；
(2)點是線段上一點，且滿足，若的面積為，求的最小值.
參考答案：
1．D
【分析】由知與的夾角為，所以，由平行向量的坐標表示求解即可.
【詳解】由得與的夾角為．
，，
由得，故．
當時，，與的夾角為；
當時，，與的夾角為，舍去．
故選：D．
2．AB
【分析】建立平面直角坐標系，設，用坐標表示出，再根據(jù)列方程可得，然后可得.
【詳解】
如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，
不妨設，則，
則
設，則
∵，
∴，
∴整理得，
因為，所以
故選：AB.
3．
【分析】利用平行四邊形法則表示出向量，利用坐標運算計算出向量的坐標，由為坐標原點，所以即可得的坐標
【詳解】在平行四邊形中，
因為與的交點為，且為的中點，
所以
，
由為坐標原點，所以向量的坐標即為的坐標，
故點的坐標為．
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）設，在和中利用正弦定理，建立等量關系求的余弦值；
（2）利用C、M、D三點共線，求得，再根據(jù)三角形的面積求得，根據(jù)向量數(shù)量積求，展開后利用基本不等式求最小值.
【詳解】（1）由題意可設，
在中①
在中②
由①②可得，
解得，則，解得.
故.
（2），
且C、M、D三點共線，所以，
，
故．
，
當且僅當時；所以.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州畢節(jié)·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于點A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點，且（O為坐標原點）.下列四個結(jié)論正確的是（）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
二、多選題
2．（21-22高三上·廣東廣州·階段練習）已知向量，，則下列命題正確的是（）
A．存在，使得B．當時，與垂直
C．對任意，都有D．當時，在方向上的投影為
三、填空題
3．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點．設，，記，則；若，的面積為，則當時，取得最小值．
參考答案：
1．C
【分析】對于①：根據(jù)可得，根據(jù)勾股定理分析判斷；對于②：根據(jù)向量共線可得，代入雙曲線方程可得離心率；對于③：根據(jù)雙曲線的定義及三角形的三邊關系分析判斷；對于④：根據(jù)兩點間距離以及A的橫坐標的范圍分析判斷.
【詳解】對于①：因為，且為的中點，則，
所以，故①正確；
對于②：由題意可知：直線，
設，則，可得，
即，
設，由，可得，
因為，則，解得，
即，由點A在雙曲線上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正確；
對于③：設直線與雙曲線的右支交于點，
由雙曲線的定義可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③錯誤；
對于④：設，則，可得，
則，
因為，則，可得，
所以，即，故④正確；
故選：C.
【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．
2．焦點三角形的作用
在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．
2．BD
【分析】A選項考察向量平行坐標之間的關系；B選項考察向量垂直時坐標之間的關系；C選項分別求出，可以得到是否存在，使得；D選項中根據(jù)數(shù)量積求出角的三角函數(shù)值，可以求出在方向上的投影
【詳解】選項A中，若，則，，所以不存在這樣的，所以A錯誤
選項B中，若，則，，得：，所以選項B正確
選項C中，，，當時，，所以C錯誤
選項D中，，兩邊同時平方得：，
化簡得：，同除得：，，所以，即，解得：，設與的夾角為，所以在方向上的投影，D選項正確
故選：BD.
3． /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結(jié)合和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得到的最小值，此時，由余弦定理得到.
【詳解】由題意得
，
故，故；
由三角形面積公式得，
故，
其中，
故
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時
，
故.
故答案為：，2
條件
e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量
結(jié)論
對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底

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