【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】公式的基本應用4
【考點2】公式的逆用及變形5
【考點3】角的變換問題6
【分層檢測】7
【基礎篇】7
【能力篇】8
【培優(yōu)篇】9
考試要求：
1.經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.
3.能運用公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).
知識梳理
1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ.
cs(α?β)＝csαcsβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sinαcsα.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcs α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).
2.降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全國·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
二、多選題
6．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
考點突破
【考點1】公式的基本應用
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（ ）
A．0B．C．D．
2．（2024·山東棗莊·模擬預測）在中，，為內(nèi)一點，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）如圖，角，的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點，M為線段AB的中點．N為的中點，則下列說法中正確的是（ ）
A．N點的坐標為
B．
C．
D．若的終邊與單位圓交于點C，分別過A，B，C作x軸的垂線，垂足為R，S，T，則
4．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·江西鷹潭·二模）已知，且，則 .
6．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
反思提升：
1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.
2.使用公式求值，應先求出相關角的函數(shù)值，再代入公式求值.
【考點2】公式的逆用及變形
一、單選題
1．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西·模擬預測）若，則（ ）
A．B．1C．D．
二、多選題
3．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．的最小正周期是
C．的值域為D．在上單調(diào)遞增
4．（2023·全國·模擬預測）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·江西·模擬預測）已知，，則 .
6．（2023·四川成都·二模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且，則實數(shù)的取值范圍為 ．
反思提升：
1.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
2.對asin x＋bcs x化簡時，輔助角φ的值如何求要清楚.
【考點3】角的變換問題
一、單選題
1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知滿足，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三上·河南洛陽·開學考試）已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知為銳角，滿足，則 ， ．
6．（23-24高一上·湖南益陽·期末）若是銳角，，則 ．
反思提升：
(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)常見的角變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(π,3)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)等.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·湖南·二模）若銳角滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·云南·模擬預測）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，則（ ）
A．B．7C．D．
4．（2024·江西南昌·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高三上·黑龍江·階段練習）已知函數(shù)的圖象為C，以下說法中正確的是（ ）
A．函數(shù)的最大值為
B．圖象C關于中心對稱
C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)
D．函數(shù)圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，向左平移可得到
6．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）下列化簡結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（2024·廣西·二模）已知，則 .
9．（2024·全國·二模）已知，則 .
10．（23-24高一下·廣東茂名·期中）已知，則 .
四、解答題
11．（23-24高一下·北京房山·期中）設函數(shù)由下列三個條件中的兩個來確定：①；②最小正周期為；③．
(1)寫出能確定函數(shù)的兩個條件，并求出的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應的的值．
12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的最小正周期；
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東·模擬預測）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·云南昆明·一模）古希臘數(shù)學家托勒密（Ptlemy 85-165）對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應關系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（ ）
A．
B．若，則
C．
D．（）
三、填空題
3．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù).
（i）若，則函數(shù)的最小正周期為 .
（ii）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù) .
四、解答題
4．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù)，從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.
(1)求的值；
(2)若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍.
條件①：；
條件②：的圖象可由的圖象平移得到；
條件③：在區(qū)間內(nèi)無極值點，且.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇·二模）正三棱錐和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，點P和點Q在平面ABC的異側(cè)，這兩個正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成的角分別為，，則當最大時，（ ）
A．B．C．-1D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預測）在單位圓上任取一點，圓O與x軸正半軸的交點是A，設將繞原點O旋轉(zhuǎn)到所成的角為，記x，y關于的表達式分別為，則下列說法中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．對于恒成立
C．設，若在上有且僅有3個極值點，則
D．函數(shù)的最大值為
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預測）若向量滿足，則的最大值是
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