一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（ ）
A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃
【答案】A
【解析】【解答】解：∵零上2℃記作+2℃，
∴零下3℃記作-3℃，
故答案為：A.
【分析】用正負數(shù)表示具有相反意義的量，在一對具有相反意義的量中，若先規(guī)定其中一個為正，則另一個為負.
2．2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010C．1.582×1011D．1.582×1012
【答案】C【解析】【解答】解：∵1582億=158200000000，
∴1582億用科學記數(shù)法表示為1.582×1011，故答案為：C.
【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|≤9，n為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.
3．計算的結果是（ ）
A．9B．3C．3D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
故答案為：B.【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可.
4．如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）
A．球B．棱柱C．圓柱D．圓錐
【答案】D
【解析】【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體是圓錐，
故答案為：D.
【分析】根據(jù)所給幾何體三視圖直接進行判斷即可.
5．如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，若∠2＝41°，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
【答案】C
【解析】【解答】解：如圖，過點B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案為：C.
【分析】過點B作EF∥a，根據(jù)平行線的傳遞性得EF∥b，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下來由矩形的性質(zhì)得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
6．紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，列方程為（ ）
A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝7200
【答案】A
【解析】【解答】解：根據(jù)題意，得7200（1+x）2=8450，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)“2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg”列出關于x的一元二次方程.
7．將拋物線y＝x2+2x﹣1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）
C．（2，1）D．（2，﹣2）
【答案】D
【解析】【解答】解：∵拋物線，
∴頂點坐標為（-1，-2），
∴向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（2，-2），
故答案為：D.
【分析】先求出拋物線的頂點坐標，再根據(jù)坐標平移的規(guī)律得新的頂點坐標.
8．“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n（m>n），
∴中間小正方形的邊長為m-n，
∴（m-n）2=m2-2mn+n2=5，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2=21，
∴（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，
∴m2+n2=13，
∴大正方形面積為13，
故答案為：B.
【分析】先求出中間小正方形的邊長為m-n，再利用完全平方公式得（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，從而求出m2+n2=13，利用勾股定理可知大正方形面積為m2+n2，即可求解.
9．甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（ ）
A．甲比乙晚出發(fā)1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
【答案】D
【解析】【解答】解：A、根據(jù)函數(shù)圖象可知，甲比乙早出發(fā)1h，A錯誤；
B、根據(jù)函數(shù)圖象可知，乙全程用時1h，B錯誤；
C、根據(jù)函數(shù)圖象可知，乙比甲早到B地2h，C錯誤；
D、根據(jù)函數(shù)圖象可知，甲的速度為：20÷4=5km/h，D正確；
故答案為：D.
【分析】觀察函數(shù)圖象，結合題意進行求解并判斷即可.
10．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足為H，D是線段HC上的動點（不與點H，C重合），將線段DH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊AC上時，點D為HC的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，當AE的長最小時，AH2＝AB?AE請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（ ）
A．小明正確，小麗錯誤B．小明錯誤，小麗正確
C．小明、小麗都正確D．小明、小麗都錯誤
【答案】C
【解析】【解答】解：∵將線段DH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE，
∴DH=DE，∠HDE=2α，
①如圖，當點E落在邊AC上時，
∵∠C=α，∠HDE=∠C+∠DEC=2α，
∴∠DEC=α，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∵DH=DE，
∴DH=DC，
∴點D為HC的中點，
∴小明正確；
②如圖，作射線HE，交AC于點F，連接AE，
∵AH⊥BC，
∴∠AHD=∠AHB=90°，
∵DH=DE，∠HDE=2α，
∴，
∴∠DHE+∠C=90°－α+α=90°，
∴∠HFC=90°，即HF⊥AC恒成立，
∴點E在射線HF上運動，
∴當AE⊥HF時，AE的長最小，
∴∠AEH=∠AHB=90°，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH=∠HAE，
∴，
∴，
∴，
∴小麗正確，
綜上所述，小明、小麗都正確，
故答案為：C.
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DH=DE，∠HDE=2α，①當點E落在邊AC上時，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠DEC=∠C，從而得DE=DC，進而求出DH=DC，即可判斷小明正確；②作射線HE，交AC于點F，連接AE，根據(jù)垂直的定義得∠AHD=∠AHB=90°，利用等腰三角形“等邊對等角”性質(zhì)、三角形內(nèi)角和求出∠DHE=90°-α，從而有DHE+∠C=90°－α+α=90°，得HF⊥AC恒成立，點E在射線HF上運動，進而得當AE⊥HE時，AE的長最小，接下來易證，根據(jù)相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)得，整理得，即可證明小麗正確.
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題4分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．分解因式：ax﹣ay＝ ．
【答案】a（x-y）
【解析】【解答】解：ax-ay＝a（x-y），
故答案為：a（x-y）.
【分析】用提公因式法進行因式分解即可.
12．已知圓錐底面半徑為2cm，母線長為6cm，則該圓錐的側(cè)面積是 cm2．
【答案】
【解析】【解答】解：∵圓錐底面圓半徑為2cm，母線長為6cm，
∴圓錐的側(cè)面積為：，
故答案為：.
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，其中r是圓錐底面圓半徑，l是圓錐母線長，即可求解.
13．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值： ．
【答案】-1（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2-2x+k有兩個不相等的實數(shù)根，
∴（-2）2-4×1×k>0，
∴k＜1，
故答案為：-1（答案不唯一）.
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式得關于k的不等式，解不等式求出k的取值范圍是k＜1，在此范圍內(nèi)任取一個k的值即可.
14．社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為 m．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，BC=6，
∴m，
故答案為：.
【分析】解直角三角形求出的值即可.
15．若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為 cm．
【答案】
【解析】【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵菱形的周長為20，
∴AD=5，
∵∠A=45°，
∴，
∴菱形的高為，
故答案為：.
【分析】過點D作DE⊥AB于E，得∠AED=90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AD=5，然后解直角三角形求出的值即可.
16．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位： Ω)是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，如果以此蓄電池為電源的用電器，其限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是 。
【答案】R≥3.6
【解析】【解答】解：設I與R的函數(shù)解析式為I=，
∵點（9，4）在此函數(shù)圖象上，
∴k=9×4=36
∴I=
∵I≤10
∴，
解之：R≥3.6.
故答案為：R≥3.6
【分析】利用待定系數(shù)法求出I與R的函數(shù)解析式，再根據(jù)I≤10，建立關于R的不等式，解不等式即可。
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的邊長為，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為 ．
【答案】???????
【解析】【解答】解：如圖，過點G作GH⊥AC于點H，
∴∠DHG=∠AHG=90°，
∴∠HDG+∠DGH=90°，
∵正方形DEFG的邊長為，
∴，∠EDG=90°，
∴∠HDG+∠CDE=90°，
∴∠HDG+∠DGH=∠HDG+∠CDE，
∴∠DGH=∠CDE，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHG，
在和中，
，
∴，
∴GH=CD，DH=CE，
∵AC=BC=5，∠ACB=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，，
又∵∠AHG=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴GH=CD=AH，
設GH=CD=AH=x，DH=CE=y，
∴，
∴y=5-2x，
∴，
整理得，
解得，
∴AH=2，
∴，
∴，
故答案為：.
【分析】過點G作GH⊥AC于點H，利用正方形的性質(zhì)，由“一線三垂直“全等模型證出，得GH=CD，DH=CE，然后再證出、是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得、、，進而有GH=CD=AH，設GH=CD=AH=x，DH=CE=y，利用勾股定理、線段和差關系得，從而有關于x的一元二次方程，解方程求出x的值，得，最后計算BG=AB-AG的值即可.
18．平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）經(jīng)過點（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為 ．
【答案】???????
【解析】【解答】解：如圖，設直線y=kx+b交AB于點P，
設AB所在直線的解析式為y=mx+n（m≠0），
把A（3，0），B（0，3）代入得，，
解得：，
∴AB所在直線的解析式為y=-x+3，
∵直線y=kx+b經(jīng)過點（1，0），
∴k+b=0，
∴b=-k，
∴y=kx-k，
聯(lián)立，
解得：，
∴點P的坐標為，
∴遠離原點部分為三角形，面積為，
又∵A（3，0），B（0，3），
∴，
∵靠近原點部分的面積為，
∴遠離原點部分的面積為，
∴，
解得：，
故答案為：.
【分析】設直線y=kx+b交AB于點P，利用待定系數(shù)法求出AB所在直線的解析式為y=-x+3，然后根據(jù)題意將直線y=kx+b的解析式整理成y=kx-k，接下來聯(lián)立，解方程組得P，從而有遠離原點部分的面積為，利用三角形面積公式求出遠離原點部分的面積為，進而得，解方程求出k的值即可.
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（1）計算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程1．
【答案】（1）解：原式＝m2-2m-m2-m
＝-3m；
（2）解：方程兩邊同乘3x+3，得3x-（3x+3）＝2x，
∴3x-3x-3＝2x，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解．
【解析】【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式的法則進行計算即可；
（2）根據(jù)分式方程的解法進行求出即可.
20．我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統(tǒng)計圖表．
50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表
根據(jù)上述信息，解答下列問題：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在 組；
（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個？
【答案】（1）20；15
（2）B
（3）解：∵50個家庭中去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有7+20＝27（個），
∴若該小區(qū)有1200個家庭，則估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有：（個）．
【解析】【解答】解：（1）C組的頻數(shù)，
∴B組的頻數(shù)m=50-（7+15+6+2）=20，
故答案為：20；15；
（2）∵50÷2=25，A組頻數(shù)為7，B組頻數(shù)為20，
∴這50個家庭去年月平均用水量的中位數(shù)落在B組，
故答案為：B.
【分析】（1）用C組所占比乘50得C組的頻數(shù)，然后用50減去其余各組的頻數(shù)和得B組的頻數(shù)；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義進行求解；
（3）用樣本估計總體，先求出50個家庭中去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)，再用1200乘去年月均用水量小于4.8噸的家庭所占比即可求解.
21．如圖，點D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點E，且EF＝DE．求證：CF∥AB．
【答案】證明：∵E是AC的中點，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
【解析】【分析】用全等三角形的判定定理“SAS”出△ADE≌△CFE，然后根據(jù)全等三角形對應角相等得∠ADE＝∠CFE，由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”得CF∥AB．
22．南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．
（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為 ；
（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．
【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如下：
∴一共有16種等可能結果，其中甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的有4種，
∴甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率為：．
【解析】【解答】解：（1）∵有標識為1、2、3、4的四個出入口，選擇其中一個出入口，
∴甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為，
故答案為：.
【分析】（1）根據(jù)求簡單事件概率的方法進行求解；
（2）利用樹狀圖求出所有的等可能結果數(shù)，從而得”甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動“的結果數(shù)，最后用概率公式進行求解.
23．如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A與BC相切于點D．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）設⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．
【答案】（1）解：如圖，連接AD，設與AC、AB分別交于點E、F，
∵與BC相切于點D，
∴AD⊥BC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴，
∴；
（2）解：如圖，當C，A，P三點共線時，CP的長最大，
由（1）得，∠BAC=90°，
∴∠BAP=90°，
∵AB＝3，
∴．
【解析】【分析】（1）連接AD，設與AC、AB分別交于點E、F，根據(jù)切線的性質(zhì)得AD⊥BC，利用”面積法“求出AD的值，從而利用三角形面積、扇形面積公式求出的值；
（2）當C，A，P三點共線時，CP的長最大，由（1）得，∠BAC=90°，從而有∠BAP=90°，進而利用勾股定理求出BP的長即可.
24．某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：
信息一
信息二
（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；
（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？
【答案】（1）解：設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元.
（2）解：設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人（10﹣a）臺，
根據(jù)題意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
設每天分揀快遞的件數(shù)為w萬件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次項系數(shù)k=4>0，w隨著a的增大而增大，
∴當a＝5時，每天分揀快遞的件數(shù)最多為w=4×5+180=200（萬件），
∴10-a=10-5=5，
∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺， 能使每天分揀快遞的件數(shù)最多 ．
【解析】【分析】（1）設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，根據(jù)”信息一“列出關于x、y的二元一次方程組，解方程組求出x、y的值；
（2）設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人（10﹣a）臺，根據(jù)”用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺“列出關于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范圍，設每天分揀快遞的件數(shù)為w，則根據(jù)”信息二“得w＝4a+180，接下來利用一次函數(shù)的性質(zhì)得a=5時，w最大，即可求解.
25．已知函數(shù)y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b為常數(shù)）．設自變量x取x0時，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）在雙曲線y上，且x0．求點P到y(tǒng)軸的距離；
（3）當a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．
【答案】（1）解：若a＝﹣1，b＝3，
y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵當時，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）解：∵點P（a，b）在雙曲線上，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得：a1＝2，a2＝﹣1，
當a＝2時，點P到y(tǒng)軸的距離為2，
當a＝﹣1時，點P到y(tǒng)軸的距離1，
綜上所述，點P到y(tǒng)軸的距離為2或1；
（3）解：∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴，
∵，
∴，
∵1≤x0＜3，
∴，
整理得1≤a2＜9，
解得：﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a為整數(shù)，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，
∴整數(shù)a的個數(shù)為4個．
【解析】【分析】（1）利用拋物線的對稱軸公式進行求解；
（2）將P（a，b）代入中，求出，從而得，根據(jù)拋物線對稱軸公式得關于a的方程并整理可得，解方程求出a的值，然后進行分類討論；
（3）根據(jù)題意得，整理拋物線的，然后利用拋物線對稱軸公式求出，由x0的取值范圍得關于a的不等式組1≤a2＜9，解不等式組求出a的取值范圍，即可求解.
26．綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．
（1）【特例探究】
如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．
等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表
請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分線AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關系： ▲ ．
（2）【變式思考】
已知△ABC的角平分線AD＝1，∠BAC＝60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關系，并證明．
（3）【拓展運用】
如圖④，△ABC中，AB＝AC＝1，點D在邊AC上，BD＝BC＝AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？
【答案】（1）解：；；；；
（2）解：，證明如下：
如圖，過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點C作CG⊥AB于G，
∴∠AED=∠AGC=90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴DE=DF，∠BAD=30°，
∵AD=1，
∴，，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴ 12AB·CG=12AB·DE+12AC·DF ， ∴ 12AB·32AC=12AB·12+12AC·12 ，
∴；
（3）解：補全圖形如圖所示，為定值，
設∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如圖，過點E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，過點N作NG⊥AB于G，
∴∠BGN=∠BHE=90°，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴，
又∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∵∠GBN=∠ABD+∠CBD=36°+36°=72°，∠BGN=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠BHE=90°，∠CBD=36°，
∴，
∴，
∵BE為定長，sin36°和sin72°為定值，
∴為定值，
∴為定值．
【解析】【解答】解：（1）如圖③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AD=1，∠BAD=30°，
，
∴，
∴兩腰之和為，兩腰之積為，
猜想證明：如圖，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AD=1，∠BAD=α，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：；；；.
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形”三線合一“的性質(zhì)得AD⊥BC，從而有∠ADB=90°，然后解直角三角形求出AB=AC的值，即可得AB+AC、的值，猜想同理可求出，，進而得；
（2）過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點C作CG⊥AB于G，得∠AED=∠AGC=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE=DF，∠BAD=30°，從而解直角三角形求出DE=DF、CG的值，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，利用三角形面積公式得12AB·32AC=12AB·12+12AC·12 ，整理可得：；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，設∠A＝α，由等腰三角形”等邊對等角“性質(zhì)得∠ABD＝∠A＝α，從而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠BDC＝2α，進而有∠BCD＝∠BDC＝2α，∠ABC＝∠ACB＝2α，利用三角形內(nèi)角和定理得α+2α+2α＝180°，解方程求出α=36°，過點E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，過點N作NG⊥AB于G，得∠BGN=∠BHE=90°，由S△BMN＝S△BEM+S△BEN，利用三角形面積公式得，接下來根據(jù)角平分線的性質(zhì)得EF=EH，然后求出∠GBN=72°，解直角三角形得，從而得，整理得，解直角三角形求出，進而有為定值，即可求出為定值．組別
家庭月均用水量（單位：噸）
頻數(shù)
A
2.0≤t＜3.4
7
B
3.4≤t＜4.8
m
C
4.8≤t＜6.2
n
D
6.2≤t＜7.6
6
E
7.6≤t＜9.0
2
合計

50
A型機器人臺數(shù)
B型機器人臺數(shù)
總費用（單位：萬元）
1
3
260
3
2
360
A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；
B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件．
圖序
角平分線AD的長
∠BAD的度數(shù)
腰長
兩腰之和
兩腰之積
圖①
1
60°
2
4
4
圖②
1
45°
2
圖③
1
30°
▲
▲
▲

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