1．（3分）“?？惶枴笔峭耆晌覈灾髟O(shè)計建造的深水油氣田“大國重器”，集原油生產(chǎn)、存儲、外輸?shù)裙δ苡谝惑w，儲油量達60000立方米．將60000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．6×103B．60×103C．0.6×105D．6×104
2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，這四個實數(shù)中絕對值最小的是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．cD．d
4．（3分）如圖所示的正六棱柱，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)+2a＝3a2B．a(chǎn)5÷a2＝a3
C．（﹣a）2?a3＝﹣a5D．（2a3）2＝2a6
6．（3分）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形A'B'C'D'，則點A的對應(yīng)點A'的坐標是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（1，2）
7．（3分）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延長線分別交AE，AB于點M，N，則∠FME的度數(shù)是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
8．（3分）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，半徑OA＝3，，∠DBC＝25°，連接AD，則扇形AOB的面積為（ ）
A．πB．πC．πD．π
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，則過點M（c，2a﹣b）和點N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直線一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
10．（3分）計算：（）﹣1﹣2sin45°＝ ．
11．（3分）圖①和圖②中的兩組數(shù)據(jù)，分別是甲、乙兩地2024年5月27日至31日每天的最高氣溫，設(shè)這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s甲2，s乙2，則s甲2 s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．
12．（3分）如圖，菱形ABCD中，BC＝10，面積為60，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BC，交邊BC于點E，連接EO，則EO＝ ．
13．（3分）如圖，某小區(qū)要在長為16m，寬為12m的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為 m．
14．（3分）如圖，△ABC中，BA＝BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E．過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON＝10，cs∠ABC，則半徑OC的長為 ．
15．（3分）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要 塊；如圖③，將長、寬、高分別為4，2，2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為4，1，1的長方體，得到如圖④的“直角磚塊”，若用這樣完全相同的“直角磚塊”拼成正方體，最少需要 塊．
三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡。
16．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD，E為DC邊上一點．
求作：四邊形內(nèi)一點P，使EP∥BC，且點P到AB，AD的距離相等．
四、解答題（本大題共9小題，共71分）
17．（9分）（1）解不等式組：；
（2）先化簡（2），再從﹣2，0，3中選一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．
18．（6分）某校準備開展“行走的課堂，生動的教育”研學(xué)活動，并計劃從博物館、動物園、植物園、海洋館（依次用字母A，B，C，D表示）中選擇一處作為研學(xué)地點．為了解學(xué)生的選擇意向，學(xué)校隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，整理繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補全條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 °；
（2）該校共有1600名學(xué)生，請你估計該校有多少名學(xué)生想去海洋館；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，學(xué)校最終將海洋館作為研學(xué)地點．研學(xué)后，學(xué)校從八年級各班分別隨機抽取10名學(xué)生開展海洋知識競賽．甲班10名學(xué)生的成績（單位：分）分別是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名學(xué)生的成績（單位：分）的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是：84，83，88．根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷 班的競賽成績更好．（填“甲”或“乙”）
19．（6分）學(xué)校擬舉辦慶祝“建國75周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者．九年級一班的小明和小紅都想?yún)⒓?，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復(fù)上述過程．
（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是 ；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．
20．（6分）“滑滑梯”是同學(xué)們小時候經(jīng)常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學(xué)對所在小區(qū)的一處滑梯進行調(diào)研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．
（參考數(shù)據(jù)：sin32°，cs32°，tan32°，sin42°，cs42°，tan42°）
21．（8分）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的．
（1）求航空和航海模型的單價；
（2）學(xué)校采購時恰逢該商場“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，請問分別購買多少個航空和航海模型，學(xué)?；ㄙM最少？
22．（8分）如圖，點A1，A2，A3，…，An，An+1為反比例函數(shù)y（k＞0）圖象上的點，其橫坐標依次為1，2，3，…，n，n+1．過點A1，A2，A3，…，An作x軸的垂線，垂足分別為點H1，H2，H3，…，Hn；過點A2作A2B1⊥A1H1于點B1，過點A3作A3B2⊥A2H2于點B2，…，過點An+1作An+1Bn⊥AnHn于點Bn．
記△A1B1A2的面積為S1，△A2B2A3的面積為S2，…，△AnBnAn+1的面積為Sn．
（1）當k＝2時，點B1的坐標為 ，
S1+S2＝ ，
S1+S2+S3＝ ，
S1+S2+S3+?+Sn＝ （用含n的代數(shù)式表示）；
（2）當k＝3時，S1+S2+S3+?+Sn＝ （用含n的代數(shù)式表示）．
23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB＝BO，當∠ABE等于多少度時，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時的值．
24．（10分）5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進行了統(tǒng)計與分析：
A櫻桃園：
第x天的單價、銷售量與x的關(guān)系如表：
第x天的單價與x近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知每天的固定成本為745元．
B櫻桃園：
第x天的利潤y2（元）與x的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)y2＝ax2+bx+25刻畫，其圖象如圖：
（1）A櫻桃園第x天的單價是 元/盒（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）求A櫻桃園第x天的利潤y1（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝單價×銷售量﹣固定成本）
（3）①y2與x的函數(shù)關(guān)系式是 ；
②求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
（4）這15天中，共有 天B櫻桃園的利潤y2比A櫻桃園的利潤y1大．
25．（10分）如圖①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，邊BC與FD重合，且頂點E與AC邊上的定點N重合．如圖②，△EDF從圖①所示位置出發(fā)，沿射線NC方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，動點O從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速度為2cm/s．EF與BC交于點P，連接OP，OE．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段OE的垂直平分線上？
（2）設(shè)四邊形PCEO的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖③，過點O作OQ⊥AB，交AC于點Q，△AOH與△AOQ關(guān)于直線AB對稱，連接HB．是否存在某一時刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
2024年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共9小題，每小題3分，共27分）
1．（3分）“?？惶枴笔峭耆晌覈灾髟O(shè)計建造的深水油氣田“大國重器”，集原油生產(chǎn)、存儲、外輸?shù)裙δ苡谝惑w，儲油量達60000立方米．將60000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．6×103B．60×103C．0.6×105D．6×104
【解答】解：60000＝6×104．
故選：D．
2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形，則A不符合題意；
B是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，則B不符合題意；
C不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形，則C不符合題意；
D既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則D符合題意；
故選：D．
3．（3分）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，這四個實數(shù)中絕對值最小的是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．cD．d
【解答】解：從數(shù)軸上看，離原點距離最近的點是實數(shù)c對應(yīng)的點，
那么這四個實數(shù)中絕對值最小的是c，
故選：C．
4．（3分）如圖所示的正六棱柱，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根據(jù)圖示的正六棱柱可得其俯視圖是，
故選：C．
5．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)+2a＝3a2B．a(chǎn)5÷a2＝a3
C．（﹣a）2?a3＝﹣a5D．（2a3）2＝2a6
【解答】解：a+2a＝3a，則A不符合題意；
a5÷a2＝a3，則B符合題意；
（﹣a）2?a3＝a5，則C不符合題意；
（2a3）2＝4a6，則D不符合題意；
故選：B．
6．（3分）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形A'B'C'D'，則點A的對應(yīng)點A'的坐標是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（1，2）
【解答】解：由正方形ABCD先向右平移，使點B與原點O重合，
得E（2，﹣1），
由再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
得A'（﹣1，﹣2）．
故選：A．
7．（3分）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延長線分別交AE，AB于點M，N，則∠FME的度數(shù)是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠CDE＝∠E108°，
∵四邊形CDFG為正方形，
∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，
∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°，
故選：B．
8．（3分）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，半徑OA＝3，，∠DBC＝25°，連接AD，則扇形AOB的面積為（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：如圖，連接AC，
則∠DAC＝∠DBC＝25°，
∵，
∴∠ADB＝∠DAC＝25°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝50°，
∵OA＝3，
∴扇形AOB的面積為，
故選：A．
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，則過點M（c，2a﹣b）和點N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直線一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：∵函數(shù)圖像開口向上，與y軸交于坐正半軸，與x軸沒有交點
∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0，
∵對稱軸為x，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，
∴M（c，2a﹣b）在x軸正半軸上，
當x＝﹣1時，a﹣b+c＞0，
則N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限，
∴過點M（c，2a﹣b）和點N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直線一定不經(jīng)過第三象限．
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
10．（3分）計算：（）﹣1﹣2sin45°＝ 23 ．
【解答】解：原式＝33﹣2
＝33
＝23，
故答案為：23．
11．（3分）圖①和圖②中的兩組數(shù)據(jù)，分別是甲、乙兩地2024年5月27日至31日每天的最高氣溫，設(shè)這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s甲2，s乙2，則s甲2 ＜ s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．
【解答】解：甲地：平均數(shù)：，s甲21.2；
乙地：平均數(shù)：，s乙2.20.8；
則s甲2＜s乙2；
故答案為：＜．
12．（3分）如圖，菱形ABCD中，BC＝10，面積為60，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BC，交邊BC于點E，連接EO，則EO＝ ．
【解答】
解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵S菱形ABCDAC?BD＝60，
∴AC?BD＝120，
∴BO?OC＝30，
∵BO2+CO2＝BC2＝100，
∴（BO+OC）2﹣2BO?CO＝100，
∴BO+CO＝4 （負值已舍去），
∴BO＝4OC，
∴BO2+CO2＝102，
∴（4OC）2+CO2＝100，
∴CO，CO＝3（舍去），
∵AE⊥BC，AO＝CO，
∴OE＝CO，
故答案為：．
13．（3分）如圖，某小區(qū)要在長為16m，寬為12m的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為 2 m．
【解答】解：設(shè)小路寬為x m，
根據(jù)題意得：（16﹣2x）（12﹣2x）12×16，
解得x＝2或x＝12（舍去），
∴小路寬為2m；
故答案為：2．
14．（3分）如圖，△ABC中，BA＝BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E．過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON＝10，cs∠ABC，則半徑OC的長為 6 ．
【解答】解：連接OE，如圖：
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠BAC，
∴AB∥OE，
∴∠ABC＝∠EOC，
∵cs∠ABC，
∴cs∠EOC，
∵MN是⊙O的切線，
∴∠OEN＝90°，
∴，
∵ON＝10，
∴OE＝6，
∴OC＝OE＝6；
故答案為：6．
15．（3分）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要 12 塊；如圖③，將長、寬、高分別為4，2，2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為4，1，1的長方體，得到如圖④的“直角磚塊”，若用這樣完全相同的“直角磚塊”拼成正方體，最少需要 144 塊．
【解答】解：先用2個圖②拼成一個長為3，寬為2的長方形，面積為6，則6個這樣的長方形拼成一個面積為36的正方形，此時邊長為6，則需圖②的個數(shù)：6×2＝12（個）；
同理用2個圖④拼成長，寬，高分別為4，3，2的長方體，用4×3＝12個這樣的長方體拼成一個長，寬，高為12，1，2的長方體，用6個這樣的長方體可以拼成長，寬，高為12，12，12的正方體，此時需要：2×3×4×6＝144（個）．
故答案為：12；144．
三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡。
16．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD，E為DC邊上一點．
求作：四邊形內(nèi)一點P，使EP∥BC，且點P到AB，AD的距離相等．
【解答】解：作∠DAB的平分線AM，以E為頂點，ED為一邊作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如圖：
點P即為所求．
四、解答題（本大題共9小題，共71分）
17．（9分）（1）解不等式組：；
（2）先化簡（2），再從﹣2，0，3中選一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．
【解答】解：（1）解第一個不等式得：x≤3，
解第二個不等式得：x＞﹣3，
故原不等式組的解集為﹣3＜x≤3；
（2）原式
?
；
∵a≠0，（a+1）（a﹣1）≠0，
∴a≠0，a≠±1，
∴a＝﹣2或3，
當a＝﹣2時，原式3；
當a＝3時，原式．
18．（6分）某校準備開展“行走的課堂，生動的教育”研學(xué)活動，并計劃從博物館、動物園、植物園、海洋館（依次用字母A，B，C，D表示）中選擇一處作為研學(xué)地點．為了解學(xué)生的選擇意向，學(xué)校隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，整理繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補全條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 54 °；
（2）該校共有1600名學(xué)生，請你估計該校有多少名學(xué)生想去海洋館；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，學(xué)校最終將海洋館作為研學(xué)地點．研學(xué)后，學(xué)校從八年級各班分別隨機抽取10名學(xué)生開展海洋知識競賽．甲班10名學(xué)生的成績（單位：分）分別是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名學(xué)生的成績（單位：分）的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是：84，83，88．根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷 甲 班的競賽成績更好．（填“甲”或“乙”）
【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)：52÷26%＝200（人），
D組人數(shù)：200﹣30﹣52﹣38＝80；如圖：
；
A所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：；
故答案為：54；
（2）去海洋館：（人），
即該校約有640名學(xué)生想去海洋館；
（3）甲班10名學(xué)生的成績：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
平均數(shù)：，眾數(shù)：90；中位數(shù)：，
則甲班的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)都高于乙班，則甲班的競賽成績更好．
故答案為：甲．
19．（6分）學(xué)校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者．九年級一班的小明和小紅都想?yún)⒓樱谑莾扇藳Q定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復(fù)上述過程．
（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是 ；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．
【解答】解：（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到1，2，3的三張紙牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是；
故答案為：；
（2）游戲公平，理由如下：
根據(jù)題意列表如下：
由表可知：共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的有3種，兩次摸到的數(shù)字之和小于4的有3種，
∴小明獲勝的概率是，小紅獲勝的概率為，
∴兩人獲勝的概率相等，
∴游戲公平．
20．（6分）“滑滑梯”是同學(xué)們小時候經(jīng)常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學(xué)對所在小區(qū)的一處滑梯進行調(diào)研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．
（參考數(shù)據(jù)：sin32°，cs32°，tan32°，sin42°，cs42°，tan42°）
【解答】解：如圖，過點E作EH⊥AG于H，
則四邊形CDHE為矩形，
∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m，
在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m，
則DF2（m），
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m，
則HG2.88（m），
∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），
答：調(diào)整后的滑梯會多占約為1.88m的一段地面．
21．（8分）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的．
（1）求航空和航海模型的單價；
（2）學(xué)校采購時恰逢該商場“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，請問分別購買多少個航空和航海模型，學(xué)?；ㄙM最少？
【解答】解：（1）設(shè)航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為（x﹣35）元，
根據(jù)題意得：，
解得x＝125，
經(jīng)檢驗，x＝125是方程的解，也符合題意，
∴x﹣35＝125﹣35＝90，
∴航空模型的單價為125元，航海模型的單價為90元；
（2）設(shè)購買航空模型m個，學(xué)?；ㄙMW元，則購買航海模型（120﹣m）個，
∵航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，
∴m（120﹣m），
解得m≥40，
根據(jù)題意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，
∵10＞0，
∴當m＝40時，W取最小值，最小值為10×40+10800＝11200，
此時120﹣m＝120﹣40＝80，
∴購買航空模型40個，購買航海模型80個，學(xué)?；ㄙM最少．
22．（8分）如圖，點A1，A2，A3，…，An，An+1為反比例函數(shù)y（k＞0）圖象上的點，其橫坐標依次為1，2，3，…，n，n+1．過點A1，A2，A3，…，An作x軸的垂線，垂足分別為點H1，H2，H3，…，Hn；過點A2作A2B1⊥A1H1于點B1，過點A3作A3B2⊥A2H2于點B2，…，過點An+1作An+1Bn⊥AnHn于點Bn．
記△A1B1A2的面積為S1，△A2B2A3的面積為S2，…，△AnBnAn+1的面積為Sn．
（1）當k＝2時，點B1的坐標為 （1，1） ，
S1+S2＝ ，
S1+S2+S3＝ ，
S1+S2+S3+?+Sn＝ （用含n的代數(shù)式表示）；
（2）當k＝3時，S1+S2+S3+?+Sn＝ （用含n的代數(shù)式表示）．
【解答】解：（1）當k＝2時，y，
當x＝1時，y＝2；當x＝2時，y＝1，
∴A1（1，2），A2（2，1），
∴B1H1＝1，
∴B1＝（1，1），
同理：
，，
∴，
，
，
……
，
∴；
，
……
S1+S2+S3+?+Sn；
故答案為：（1，1），，，；
（2）當k＝3時，y，
∴，
∴S1+S2+S3+……+Sn．
故答案為：．
23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB＝BO，當∠ABE等于多少度時，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時的值．
【解答】（1）證明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：當∠ABE等于30度時，四邊形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AO＝BO，∠BAO＝60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC＝2AO，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠BAC＝tan60°．
24．（10分）5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進行了統(tǒng)計與分析：
A櫻桃園：
第x天的單價、銷售量與x的關(guān)系如表：
第x天的單價與x近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知每天的固定成本為745元．
B櫻桃園：
第x天的利潤y2（元）與x的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)y2＝ax2+bx+25刻畫，其圖象如圖：
（1）A櫻桃園第x天的單價是 （﹣2x+52） 元/盒（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）求A櫻桃園第x天的利潤y1（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝單價×銷售量﹣固定成本）
（3）①y2與x的函數(shù)關(guān)系式是 y2＝﹣30x2+500x+25 ；
②求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
（4）這15天中，共有 4 天B櫻桃園的利潤y2比A櫻桃園的利潤y1大．
【解答】解：（1）設(shè)第x天的單價m元與x滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為：m＝kx+b，
由題中表格可知：當x＝1時，m＝50；當x＝2時，m＝48；
∴，解得，
∴m＝﹣2x+52，
故答案為：﹣2x+52；
（2）根據(jù)題意可得：y1＝（﹣2x+52）（10x+10）﹣745，
化簡整理得：，
∴A櫻桃園第x天的利潤y1（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為：；
（3）①由圖象可知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，495）、（2，905），
∴，解得，
∴y2＝﹣30x2+500x+25，
故答案為：y2＝﹣30x2+500x+25；
②50x2+1000x﹣200
＝﹣50（x﹣10）2+4800，
∵﹣50＜0，
∴當x＝10時，y1+y2有最大值4800，
∴第10天兩處的櫻桃園的利潤之和最大，最大是4800元；
（4）由題可知：y2＞y1，
∴﹣30x2+500x+25＞﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2＞﹣250，
解得：﹣5＜x＜5，
∵x取正整數(shù)，
∴1≤x≤4，
∴這15天中共有4天B櫻桃園的利潤y2比A櫻桃園的利潤y1大，
故答案為：4．
25．（10分）如圖①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，邊BC與FD重合，且頂點E與AC邊上的定點N重合．如圖②，△EDF從圖①所示位置出發(fā)，沿射線NC方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，動點O從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速度為2cm/s．EF與BC交于點P，連接OP，OE．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段OE的垂直平分線上？
（2）設(shè)四邊形PCEO的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖③，過點O作OQ⊥AB，交AC于點Q，△AOH與△AOQ關(guān)于直線AB對稱，連接HB．是否存在某一時刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）當點A在線段OE的垂直平分線上，則有AE＝AO，
根據(jù)題意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm，
∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm，
∵點A在線段OE的垂直平分線上，
∴AE＝AO，即2+t＝2t，
解得：t＝2，符合題意，
∴當t為2秒時，點A在線段OE的垂直平分線上；
（2）過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，連接CO，
則∠OGA＝∠BHO＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
根據(jù)勾股定理得：AB10cm，
∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm，
∴OG∥BC，OH∥AC，
∴，，即，，
解得：OG，OH，
由平移可知PC∥FD，且DE＝DF，
∴，
∴CP＝CE＝6﹣t，
∴S＝S△PCO+S△CEO
；
（3）過點P作PM⊥OB于點M，
∴∠BMP＝∠ACB＝90°，
∵∠MBP＝∠ABC，
∴△BMP∽△BCA，
∴，即，
∴BM，PM，
∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10，
∵OQ⊥AB，△AOH與△AOQ關(guān)于直線AB對稱，
∴tan∠OAQ，即，
∴OH＝OQ，
∵tan∠MOP，tan∠OBH，
∵PO∥BH，
∴∠MOP＝∠OBH，
∴，
解得t，故符合題意，
∴當t為秒時，PO∥BH．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/9/19 13:56:49；用戶：大胖001；郵箱：15981837291；學(xué)號：22699691方案名稱
滑梯安全改造
測量工具
測角儀、皮尺等
方案設(shè)計
如圖，將滑梯頂端BC拓寬為BE，使CE＝1m，并將原來的滑梯CF改為EG．（圖中所有點均在同一平面內(nèi)，點B，C，E在同一直線上，點A，D，F(xiàn)，G在同一直線上）
測量數(shù)據(jù)
【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度CD＝1.8m；
【步驟二】在點F處用測角儀測得∠CFD＝42°；
【步驟三】在點G處用測角儀測得∠EGD＝32°.
解決問題
調(diào)整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求FG的長）
單價（元/盒）
銷售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
方案名稱
滑梯安全改造
測量工具
測角儀、皮尺等
方案設(shè)計
如圖，將滑梯頂端BC拓寬為BE，使CE＝1m，并將原來的滑梯CF改為EG．（圖中所有點均在同一平面內(nèi)，點B，C，E在同一直線上，點A，D，F(xiàn)，G在同一直線上）
測量數(shù)據(jù)
【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度CD＝1.8m；
【步驟二】在點F處用測角儀測得∠CFD＝42°；
【步驟三】在點G處用測角儀測得∠EGD＝32°.
解決問題
調(diào)整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求FG的長）
單價（元/盒）
銷售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10

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