1．（3分）下列實數(shù)中，比﹣2小的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．0C．D．﹣3
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)?a3＝a4B．a(chǎn)2+a3＝a5C．a(chǎn)6÷a＝a6D．（a3）4＝a7
3．（3分）中國古典建筑中的鏤空磚雕圖案精美，下列磚雕圖案中不是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如圖，AB∥CD，點E在直線AB上，點F、G在直線CD上，∠FEG＝90°，∠EGF＝28°，則∠AEF的度數(shù)是（ ）
A．46°B．56°C．62°D．72°
5．（3分）用一根小木棒與兩根長度分別為3cm、5cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（ ）
A．9cmB．7cmC．2cmD．1cm
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≥4B．k＞4C．k≤4D．k＜4
7．（3分）如圖，用9個直角三角形紙片拼成一個類似海螺的圖形，其中每一個直角三角形都有一條直角邊長為1．記這個圖形的周長（實線部分）為l，則下列整數(shù)與l最接近的是（ ）
A．14B．13C．12D．11
8．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC邊上的動點（BP＞1），將△ABP沿AP翻折得△AB′P，射線PB′與射線AD交于點E．下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)AB'⊥AB時，B′A＝B′E
B．當(dāng)點B′落在AD上時，四邊形ABPB′是菱形
C．在點P運動的過程中，線段AE的最小值為2
D．連接BB'，則四邊形ABPB′的面積始終等于AP?BB'
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9．（3分）計算： ．
10．（3分）分解因式：a2﹣16＝ ．
11．（3分）2024年5月3日嫦娥六號成功發(fā)射，它將在相距約380000km的地月之間完成月壤樣品的“空中接力”．?dāng)?shù)據(jù)380000用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
12．（3分）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中．通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，則袋中約有紅球 個．
13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝50°，⊙O半徑為3，則的長為 ．
14．（3分）一輛轎車從A地駛向B地，設(shè)出發(fā)x h后，這輛轎車離B地路程為y km，已知y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝200﹣80x，則轎車從A地到達(dá)B地所用時間是 h．
15．（3分）某公園廣場的地面由形狀、大小完全相同的一種地磚密鋪（無空隙、不重疊的拼接）而成，鋪設(shè)方式如圖1．圖2是其中一塊地磚的示意圖，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如圖所示（單位：dm）．結(jié)合圖1、圖2信息，可求得BC的長度是 dm．
16．（3分）如圖，點P是正六邊形ABCDEF的邊AB的中點，一束光線從點P出發(fā)，照射到鏡面EF上的點Q處，經(jīng)反射后恰好經(jīng)過頂點C．已知正六邊形的邊長為2，則EQ＝ ．
三、解答題（本大題共有11小題，共102分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）（1）計算：tan60°+（1﹣π）0+||；
（2）解不等式：2．
18．（8分）先化簡，再求值：（1），其中x＝3．
19．（8分）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E、F在BD上，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．
20．（8分）《張丘建算經(jīng)》由北魏數(shù)學(xué)家張丘建所著，其中有這樣一個問題：“今有客不知其數(shù)．兩人共盤，少兩盤；三人共盤，長三盤．問客及盤各幾何？”意思為：“現(xiàn)有若干名客人．若2個人共用1個盤子，則少2個盤子；若3個人共用1個盤子，則多出來3個盤子．問客人和盤子各有多少？”請你解答這個問題．
21．（8分）歷史文化名城淮安有著豐富的旅游資源．小明計劃假期來淮安游玩，他打算從3個人文景點（A．周恩來紀(jì)念館；B．吳承恩故居；C．河下古鎮(zhèn)）中隨機(jī)選取一個，再從2個自然景點（D．金湖水上森林；E．鐵山寺國家森林公園）中隨機(jī)選取一個．
（1）小明從人文景點中選中河下古鎮(zhèn)的概率是 ；
（2）用樹狀圖或列表的方法求小明恰好選中周恩來紀(jì)念館和鐵山寺國家森林公園的概率．
22．（8分）張老師早上開車到學(xué)校上班有兩條路線，路線一經(jīng)城市高架，路線二經(jīng)市區(qū)道路．為了解上班路上所用時間，張老師記錄了20個工作日的上班路上用時其中10個工作日走路線一，另外10個工作日走路線二．根據(jù)記錄數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖：
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)把表格補充完整：
（2）請你幫助張老師選擇其中一種上班路線，并利用以上至少2個統(tǒng)計量說明理由．
23．（8分）拉桿箱是外出旅行常用工具．某種拉桿箱示意圖如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形BCDE，BC的長度為60cm，兩節(jié)可調(diào)節(jié)的拉桿長度相等，且與BC在同一條直線上．如圖1，當(dāng)拉桿伸出一節(jié)（AB）時，AC與地面夾角∠ACG＝53°；如圖2，當(dāng)拉桿伸出兩節(jié)（AM、MB）時，AC與地面夾角∠ACG＝37°，兩種情況下拉桿把手A點距離地面高度相同．求每節(jié)拉桿的長度．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖像交于點C．已知點A坐標(biāo)為（﹣1，0），點C坐標(biāo)為（1，3）．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點D在線段OB上，過點D且平行于x軸的直線交AB于點E，交反比例函數(shù)圖像于點F．當(dāng)DO＝2ED時，求點F的坐標(biāo)．
25．（10分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E，延長DE交AB的延長線于點F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．
26．（12分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，8），頂點為P．
（1）c＝ ；
（2）當(dāng)a時，
①若頂點P到x軸的距離為10，則b＝ ；
②直線m過點（0，2b）且垂直于y軸，頂點P到直線m的距離為h．隨著b的增大，h的值如何變化？請描述變化過程，并說明理由；
（3）若二次函數(shù)圖像交x軸于B、C兩點，點B坐標(biāo)為（8，0），且△ABC的面積不小于20，求a的取值范圍．
27．（14分）綜合與實踐
【問題初探】（1）某興趣小組探索這樣一個問題：若AD是△ABC的角平分線，則線段AB、AC、BD、CD有何數(shù)量關(guān)系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，請完成填空：
根據(jù)小智或小勇的方法，可以得到線段AB、AC、BD、CD的數(shù)量關(guān)系是 ．
【變式拓展】（2）小慧對問題作了進(jìn)一步拓展：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上一點，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求的值．請你完成解答．
【遷移應(yīng)用】（3）請你借助以上結(jié)論或方法，用無刻度直尺和圓規(guī)在圖4的線段EF上作一點P，使EPFP．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
【綜合提升】（4）如圖5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝α（α＜90°），點D在AC邊上，CD＝1，點E在BD的延長線上，連接EC，∠BEC＝β（β＜α），請直接寫出BD?DE的值（用含α，β的式子表示）．
2024年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（3分）下列實數(shù)中，比﹣2小的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．0C．D．﹣3
【解答】解：A．∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，∴﹣1＞﹣2，故不符合題意；
B．0＞﹣2，故不符合題意；
C．2，故不符合題意；
D．∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，故符合題意；
故選：D．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)?a3＝a4B．a(chǎn)2+a3＝a5C．a(chǎn)6÷a＝a6D．（a3）4＝a7
【解答】解：A．a(chǎn)?a3＝a4，故本選項符合題意；
B．a(chǎn)2+a3不能化簡，故本選項不符合題意；
C．a(chǎn)6÷a＝a5，故本選項不符合題意；
D．（a3）4＝a12，故本選項不符合題意．
故選：A．
3．（3分）中國古典建筑中的鏤空磚雕圖案精美，下列磚雕圖案中不是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、既是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
4．（3分）如圖，AB∥CD，點E在直線AB上，點F、G在直線CD上，∠FEG＝90°，∠EGF＝28°，則∠AEF的度數(shù)是（ ）
A．46°B．56°C．62°D．72°
【解答】解：∵∠FEG＝90°，∠EGF＝28°，
∴∠EFG＝180°﹣∠FEG﹣EGF＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFG＝62°，
故選：C．
5．（3分）用一根小木棒與兩根長度分別為3cm、5cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（ ）
A．9cmB．7cmC．2cmD．1cm
【解答】解：設(shè)第三根木棒長為x cm，由三角形三邊關(guān)系定理得5﹣3＜x＜5+3，
所以x的取值范圍是2＜x＜8，
觀察選項，只有選項B符合題意．
故選：B．
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≥4B．k＞4C．k≤4D．k＜4
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝16﹣4k，
∵x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2個不相等的實數(shù)根，
Δ＞0，
∴（﹣4）2﹣4×1×k＞0，
16﹣4k＞0，
k＜4．
故選：D．
7．（3分）如圖，用9個直角三角形紙片拼成一個類似海螺的圖形，其中每一個直角三角形都有一條直角邊長為1．記這個圖形的周長（實線部分）為l，則下列整數(shù)與l最接近的是（ ）
A．14B．13C．12D．11
【解答】解：第一個三角形的斜邊長，
第二個三角形的斜邊長，
……
第九個三角形的斜邊長，
則這海螺圖形周長＝1+1×910，
∵與最接近的整數(shù)是3，
∴與10最接近的整數(shù)是13，
故選：B．
8．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC邊上的動點（BP＞1），將△ABP沿AP翻折得△AB′P，射線PB′與射線AD交于點E．下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)AB'⊥AB時，B′A＝B′E
B．當(dāng)點B′落在AD上時，四邊形ABPB′是菱形
C．在點P運動的過程中，線段AE的最小值為2
D．連接BB'，則四邊形ABPB′的面積始終等于AP?BB'
【解答】解：A選項：如圖所示，
∵AB'⊥AB，
∴∠BAB'＝90°，
∵折疊，
∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝30°，
∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝30°，
∴∠B'AD＝∠AEB'，
∴B'A＝B'E，故A選項正確，不合題意；
B選項：如圖所示，
當(dāng)B'落在AD上時，點E和B'重合，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵折疊，
∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，
∴△ABP是等邊三角形，
∴AB＝BP＝B'P＝AB'，
∴四邊形ABPB′是菱形，故B選項正確，不合題意；
C選項：如圖所示，
當(dāng)點P靠近點C時，B'在四邊形外部，此時∠AEB'＞90°，
∴AE＜AB′＝2，故C選項錯誤，符合題意；
D選項：如圖所示，連接BB'交AP于點O，
∵折疊，且AP是折痕，
∴AP垂直平分BB'，
∴S四邊形ABPB'＝S△ABP+S△AB'PAP?OBAP?OB′AP?BB'，故D選項正確，不合題意．
故選：C．
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9．（3分）計算： 2 ．
【解答】解：，
＝2，
＝2．
故答案為：2．
10．（3分）分解因式：a2﹣16＝ （a+4）（a﹣4） ．
【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4），
故答案為：（a+4）（a﹣4）．
11．（3分）2024年5月3日嫦娥六號成功發(fā)射，它將在相距約380000km的地月之間完成月壤樣品的“空中接力”．?dāng)?shù)據(jù)380000用科學(xué)記數(shù)法表示為 3.8×105 ．
【解答】解：380000＝3.8×105．
故答案為：3.8×105．
12．（3分）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中．通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，則袋中約有紅球 12 個．
【解答】解：由題意可得，
袋中約有紅球：8÷0.4﹣8
＝20﹣8
＝12（個），
故答案為：12．
13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝50°，⊙O半徑為3，則的長為 ．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝100°，
∴弧BC的長為：L．
故答案為：．
14．（3分）一輛轎車從A地駛向B地，設(shè)出發(fā)x h后，這輛轎車離B地路程為y km，已知y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝200﹣80x，則轎車從A地到達(dá)B地所用時間是 2.5 h．
【解答】解：∵y＝200﹣80x，
令y＝0，則200﹣80x＝0，
∴x＝2.5，
∴轎車從A地到達(dá)B地所用時間是2.5小時，
故答案為：2.5．
15．（3分）某公園廣場的地面由形狀、大小完全相同的一種地磚密鋪（無空隙、不重疊的拼接）而成，鋪設(shè)方式如圖1．圖2是其中一塊地磚的示意圖，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如圖所示（單位：dm）．結(jié)合圖1、圖2信息，可求得BC的長度是 5.8 dm．
【解答】解：作CM⊥AB，設(shè)AB＝a dm，CD＝b dm，
由圖一可知，GF＝BC＝AB+CD，DN＝7﹣3＝4dm，四邊形CDNM是矩形，
則MN＝CD＝b，∠BMC＝90°，
則BM＝10﹣AB﹣MN＝10﹣（a+b），
∵CM2+BM2＝BC2，
∴（a+b）2＝42+[10﹣（a+b）]2
∴a+b＝5.8，
∴BC＝5.8dm．
故答案為：5.8．
16．（3分）如圖，點P是正六邊形ABCDEF的邊AB的中點，一束光線從點P出發(fā)，照射到鏡面EF上的點Q處，經(jīng)反射后恰好經(jīng)過頂點C．已知正六邊形的邊長為2，則EQ＝ ．
【解答】解：如圖，延長QP、CB交于點G，作QH⊥CB于點H，PI⊥CB于點I，則∠QHC＝∠PIC＝90°，
由反射光線的性質(zhì)可知∠GQH＝∠CQH，
∴90°﹣∠GQH＝90°﹣∠CQH，
即∠G＝∠QCH，
∴QG＝QC，
∵QH⊥GC，
∴CH＝HG，
設(shè)BG＝a，則GC＝a+2，
∴CHCG，
∵六邊ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC120°，
∴∠ABG＝60°，
∵P是AB中點，
∴BPAB＝1，
在Rt△BPI中，PI＝BP?sin60°，BI＝BP?cs60°，
∴GI＝a，
在正六邊形ABCDEF中，QH2，
∵∠QHC＝∠PIC＝90°，∠G＝∠QCH，
∴△PGI∽△QCH，
∴，即，
解得a，
∴CH，
連接EC，
∵∠EDC＝∠DEC＝∠BCD＝120°，DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠QEC＝∠ECH＝90°，
∵∠QHC＝90°，
∴四邊形EQHC是矩形，
∴EQ＝CH．
故答案為：．
三、解答題（本大題共有11小題，共102分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）（1）計算：tan60°+（1﹣π）0+||；
（2）解不等式：2．
【解答】解：（1）tan60°+（1﹣π）0+||
1
＝2；
（2）2，
不等式的兩邊同乘以6得，3x＞2（x﹣3）+2×6，
3x＞2x﹣6+12，
∴不等式的解集為x＞6．
18．（8分）先化簡，再求值：（1），其中x＝3．
【解答】解：（1）
?
?x﹣2；
當(dāng)x＝3時，
原式＝3﹣2＝1．
19．（8分）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E、F在BD上，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
20．（8分）《張丘建算經(jīng)》由北魏數(shù)學(xué)家張丘建所著，其中有這樣一個問題：“今有客不知其數(shù)．兩人共盤，少兩盤；三人共盤，長三盤．問客及盤各幾何？”意思為：“現(xiàn)有若干名客人．若2個人共用1個盤子，則少2個盤子；若3個人共用1個盤子，則多出來3個盤子．問客人和盤子各有多少？”請你解答這個問題．
【解答】解：設(shè)有x個客人，y個盤子．
根據(jù)題意，得，
解得，
答：有30個客人，13個盤子．
21．（8分）歷史文化名城淮安有著豐富的旅游資源．小明計劃假期來淮安游玩，他打算從3個人文景點（A．周恩來紀(jì)念館；B．吳承恩故居；C．河下古鎮(zhèn)）中隨機(jī)選取一個，再從2個自然景點（D．金湖水上森林；E．鐵山寺國家森林公園）中隨機(jī)選取一個．
（1）小明從人文景點中選中河下古鎮(zhèn)的概率是 ；
（2）用樹狀圖或列表的方法求小明恰好選中周恩來紀(jì)念館和鐵山寺國家森林公園的概率．
【解答】解：（1）由題意可得．
小明從人文景點中選中河下古鎮(zhèn)的概率是，
故答案為：；
（2）樹狀圖如下所示：
由上可得，一共有6種等可能性，其中小明恰好選中周恩來紀(jì)念館和鐵山寺國家森林公園的有1種，
∴小明恰好選中周恩來紀(jì)念館和鐵山寺國家森林公園的概率為．
22．（8分）張老師早上開車到學(xué)校上班有兩條路線，路線一經(jīng)城市高架，路線二經(jīng)市區(qū)道路．為了解上班路上所用時間，張老師記錄了20個工作日的上班路上用時其中10個工作日走路線一，另外10個工作日走路線二．根據(jù)記錄數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖：
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)把表格補充完整：
（2）請你幫助張老師選擇其中一種上班路線，并利用以上至少2個統(tǒng)計量說明理由．
【解答】解：（1）路線一：15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，
平均數(shù)：，眾數(shù)為18；
路線二：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22，
中位數(shù)：，極差：22﹣11＝11；
故答案為：18；18；15；11；
（2）路線二的平均數(shù)小于路線一，路線二的中位數(shù)小于路線一，路線二的眾數(shù)小于路線一，則選路線二．
23．（8分）拉桿箱是外出旅行常用工具．某種拉桿箱示意圖如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形BCDE，BC的長度為60cm，兩節(jié)可調(diào)節(jié)的拉桿長度相等，且與BC在同一條直線上．如圖1，當(dāng)拉桿伸出一節(jié)（AB）時，AC與地面夾角∠ACG＝53°；如圖2，當(dāng)拉桿伸出兩節(jié)（AM、MB）時，AC與地面夾角∠ACG＝37°，兩種情況下拉桿把手A點距離地面高度相同．求每節(jié)拉桿的長度．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
【解答】解：如圖1，作AF⊥CG，垂足為F，設(shè)AB＝x cm，則AC＝60+x，
∵sin53°，
∴AF＝（60+x）?sin53°，
如圖2，作AH⊥CG，垂足為H，則AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x）?sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x）?sin53°＝（60+2x）?sin37°，
∴，
解得：x＝30．
答：每節(jié)拉桿的長度為30cm．
24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖像交于點C．已知點A坐標(biāo)為（﹣1，0），點C坐標(biāo)為（1，3）．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點D在線段OB上，過點D且平行于x軸的直線交AB于點E，交反比例函數(shù)圖像于點F．當(dāng)DO＝2ED時，求點F的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把點C（1，3）代入y得，
3，
解得k2＝3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y，
把點A（﹣1，0），點C（1，3）代入y＝k1x+b得，
，
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為yx；
（2）設(shè)E（m，m），
∵EF平行于x軸，
∴D（0，m），
∴ODm，
∵DO＝2ED，
∴m2（﹣m），
解得m，
∴E（，），
∴點F的縱坐標(biāo)為，
把y代入y得，x，
∴點F的坐標(biāo)為（，）．
25．（10分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E，延長DE交AB的延長線于點F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．
【解答】（1）證明：連接OD，BD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴點D為AC的中點，
∵點O為AB的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD為⊙O的半徑，D為OD的外端點，
∴DF為⊙O的切線；
（2）解：如上圖，
∵DE⊥BC，BE＝1，BF＝3，
∴由勾股定理，得EF，
由（1）知BE∥OD，
∴△ODF∽△BEF，
∴，
∵BE＝1，BF＝3，OB＝OD，
∴，
解得OB，DE，
∴AB＝3，
在Rt△BDE中，
由勾股定理，得BD，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinC＝sinA．
26．（12分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，8），頂點為P．
（1）c＝ 8 ；
（2）當(dāng)a時，
①若頂點P到x軸的距離為10，則b＝ ±4 ；
②直線m過點（0，2b）且垂直于y軸，頂點P到直線m的距離為h．隨著b的增大，h的值如何變化？請描述變化過程，并說明理由；
（3）若二次函數(shù)圖像交x軸于B、C兩點，點B坐標(biāo)為（8，0），且△ABC的面積不小于20，求a的取值范圍．
【解答】解：（1）將點A坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：c＝8，
故答案為：8；
（2）①當(dāng)a時，拋物線的表達(dá)式為：yx2+bx+8，
則10＝|yP|，
即|8|＝10，
解得：b＝±4，
故答案為：±4；
②頂點P的縱坐標(biāo)為：c8﹣b2，
則h＝|yP﹣2b|＝|8﹣b2﹣2b|＝|b2+2b﹣8|，
令h＝0，則b＝2或﹣4，
函數(shù)h的大致圖象如下：
從圖象看，當(dāng)b＞2或﹣4＜b＜﹣1時，h隨b的最大而增大，當(dāng)b＜﹣4或﹣1＜b＜2時，h隨b的增大而減?。?br>（3）設(shè)點C、B的橫坐標(biāo)為m，n，
將點B的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx+8得：0＝64a+8b+8，
則b＝﹣8a﹣1，
即拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+（﹣8a﹣1）x+8，
則m+n8，mn，
則BC＝|m﹣n||8|，
則△ABC的面積BC×yA＝4BC≥20，
即|8|≥5，
則85或85，
解得：a或a且a≠0．
27．（14分）綜合與實踐
【問題初探】（1）某興趣小組探索這樣一個問題：若AD是△ABC的角平分線，則線段AB、AC、BD、CD有何數(shù)量關(guān)系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，請完成填空：
根據(jù)小智或小勇的方法，可以得到線段AB、AC、BD、CD的數(shù)量關(guān)系是 ．
【變式拓展】（2）小慧對問題作了進(jìn)一步拓展：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上一點，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求的值．請你完成解答．
【遷移應(yīng)用】（3）請你借助以上結(jié)論或方法，用無刻度直尺和圓規(guī)在圖4的線段EF上作一點P，使EPFP．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
【綜合提升】（4）如圖5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝α（α＜90°），點D在AC邊上，CD＝1，點E在BD的延長線上，連接EC，∠BEC＝β（β＜α），請直接寫出BD?DE的值（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）小智的思路補全：∵△ABD和△CBD是同高的，
∴，
∴；
小勇的思路補全：∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠E，
∴△BDA∽△CDE，
∴，
∵CE＝AC，
∴；
故答案為：DM＝DN；AC＝CE；；
（2）如圖，過C作CM⊥AD于點M，BN⊥AD交AD的延長線于點N，則∠CMD＝∠BND＝90°，
設(shè)AB＝AC＝2a，
在Rt△ABN中，∠BAD＝45°，
∴sin45°，
∴BNa＝AN，
在Rt△ACM中，∠CAD＝60°，
∴sin60°，
∴CMa，
∵∠CMD＝∠BND＝90°，∠BDN＝∠CDM，
∴△BDN∽△CDM，
∴，
∴2；
（3）如圖所示，
作法提示：①作30°角：先作等邊三角形EFG，再作∠GEF的角平分線，交GF于點Q；
②構(gòu)造相似：再作QO＝QE，交EF的延長線于點O，易證△OQF∽△OEQ，且相似比為；
③作圓：以O(shè)為圓心，ON為半徑作圓，則P為圓與線段EF的交點．
（4）如圖，作BM⊥AC于點M，CN⊥BD于點N，
在Rt△ABM中，∠BAC＝α，AB＝5，
∴BM＝AB?sinα＝5sinα，
AM＝AB?csα＝5csα，
∵AC＝4，CD＝1，
∴AD＝AC﹣CD＝3，
∴DM＝5csα﹣3，
在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，
即BD2＝（5sinα）2+（5csα﹣3）2＝34﹣30csα，
∴BD，
∵S△CBD，
∴BD?CN＝CD?BM，
兩邊同時平方得CN2?（34﹣30csα）＝12×（5sinα）2，
∴CN2，
∴CN，
在Rt△CDN中，CD2＝DN2+CN2，
代入得DN2＝1，
∴DN，
在Rt△CNE中，∠E＝β，
EN，
∴DE＝EN﹣DN，
∴BD?DE（）|5csα﹣3|．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/9/16 23:01:05；用戶：大胖001；郵箱：15981837291；學(xué)號：22699691平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
極差
路線一

18

2.4
5
路線二
15.6

11
18.04

小智的思路和方法：
如圖1，作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ．
∵S△ABDAB?DM，
S△ACDAC?DN，
∴．
再用另一種方式表示△ABD 與△ACD 的面積，即可推導(dǎo)出結(jié)論……
勇的思路和方法：
如圖2，作CE∥AB，交AD的延長線于，交AD的延長線于點E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠E．
∴∠CAD＝∠E．
∴ ．
再通過證明△CDE∽△BDA 得到比例式，△BDA得到比例式，從而推導(dǎo)出結(jié)論……
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
極差
路線一
18
18
18
2.4
5
路線二
15.6
15
11
18.04
11
小智的思路和方法：
如圖1，作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM＝DN， ．
∵S△ABDAB?DM，
S△ACDAC?DN，
∴．
再用另一種方式表示△ABD 與△ACD 的面積，即可推導(dǎo)出結(jié)論……
勇的思路和方法：
如圖2，作CE∥AB，交AD的延長線于，交AD的延長線于點E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠E．
∴∠CAD＝∠E．
∴ AC＝CE ．
再通過證明△CDE∽△BDA 得到比例式，△BDA得到比例式，從而推導(dǎo)出結(jié)論……

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