1．（3分）下列實(shí)數(shù)中滿足不等式x＞3的是（ ）
A．（﹣2）3B．πC．D．
2．（3分）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時(shí)非常美麗，深受人們喜愛(ài)，它的圖案具有對(duì)稱美，如圖，蝴蝶圖案關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M1，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）
3．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（ ）
A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x≥0
4．（3分）如圖是某幾何體的展開圖，則此幾何體是（ ）
A．五棱柱B．五棱錐C．六棱柱D．六棱錐
5．（3分）將一把折扇展開，可抽象成一個(gè)扇形，若該扇形的半徑為2，弧長(zhǎng)為，則扇形的圓心角大小為（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
6．（3分）如圖，每只蜻蜓有6條腿，2對(duì)翅膀，每只蟬有6條腿，1對(duì)翅膀．現(xiàn)有若干蜻蜓和蟬，共有42條腿，10對(duì)翅膀，則蜻蜓和蟬的只數(shù)分別是（ ）
A．3，4B．4，3C．2，5D．5，2
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，△ABD的面積為5，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．3D．5
8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，連接BE，點(diǎn)H在BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，當(dāng)△AGH的周長(zhǎng)最小時(shí)，AH+GH＝（ ）
A．B．C．12D．13
10．（3分）如圖，電路上有S1，S2，S3，S4四個(gè)斷開的開關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L，將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)數(shù)為2，第二行有2個(gè)數(shù)為4，6，…第n行有n個(gè)數(shù)……．探究其中規(guī)律，你認(rèn)為第n行從左至右第3個(gè)數(shù)不可能是（ ）
A．36B．96C．226D．426
12．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，則BF＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上。
13．（4分）因式分解：2x2+8x+8＝ ．
14．（4分）中國(guó)是茶葉的故鄉(xiāng)，產(chǎn)量多年位居世界第一，據(jù)統(tǒng)計(jì)：2023年我國(guó)全年茶葉產(chǎn)量為355萬(wàn)噸，將數(shù)據(jù)3550000用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
15．（4分）已知單項(xiàng)式3a2b與﹣2a2bn﹣1是同類項(xiàng)，則n＝ ．
16．（4分）如圖，直線a∥b，點(diǎn)O在b上，以O(shè)為圓心畫弧，交a于不同兩點(diǎn)A，B．若θ＝44°，則∠AOB＝ °．
17．（4分）超市銷售某種禮盒，該禮盒的原價(jià)為500元．因銷量持續(xù)攀升，商家在3月份提價(jià)20%，后發(fā)現(xiàn)銷量銳減，于是經(jīng)過(guò)核算決定在3月份售價(jià)的基礎(chǔ)上，4，5月份按照相同的降價(jià)率r連續(xù)降價(jià)．已知5月份禮盒的售價(jià)為486元，則r＝ ，
18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，△ADE的內(nèi)切圓與DE相切于點(diǎn)G，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接BF．當(dāng)點(diǎn)E恰為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）時(shí)，且，，則cs∠ABF＝ ．
三、解答題：本大題共7個(gè)小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
19．（16分）（1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
20．（12分）某市射擊隊(duì)將從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全省比賽，現(xiàn)對(duì)他們進(jìn)行了6次測(cè)試，成績(jī)（單位：環(huán)）統(tǒng)計(jì)如下：
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)填空：
甲的平均成績(jī)是 環(huán)，乙的平均成績(jī)是 環(huán)；甲成績(jī)的中位數(shù)是 環(huán)，乙成績(jī)的眾數(shù)是 環(huán)．
（2）求甲、乙測(cè)試成績(jī)的方差；
（3）你認(rèn)為推薦誰(shuí)參加全省比賽更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．（12分）為進(jìn)一步美化環(huán)境，提升生活品質(zhì)，某部門決定購(gòu)買甲、乙兩種花卉布置公園走廊．預(yù)算資金為2700元，其中1200元購(gòu)買甲種花卉，其余資金購(gòu)買乙種花卉．已知乙種花卉每株的價(jià)格是甲種花卉每株價(jià)格的1.2倍，且購(gòu)買乙種花卉的數(shù)量比甲種花卉多2株．
（1）求甲、乙兩種花卉每株的價(jià)格；
（2）購(gòu)買當(dāng)日正逢花卉促銷，甲、乙兩種花卉均按原價(jià)八折銷售．已知該部門需購(gòu)買甲、乙兩種花卉共120株，總費(fèi)用不超預(yù)算，其中甲花卉的資金不超過(guò)1000元．求購(gòu)買這兩種花卉有幾種方案？并計(jì)算所需費(fèi)用的最小值．
22．（12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上（與端點(diǎn)不重合），線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF的位置，點(diǎn)F恰好落在線段CD上，F(xiàn)H⊥AC，垂足為H．
（1）求證：△OBE≌△HEF；
（2）設(shè)OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．
23．（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，邊AB在x軸上，∠BAD＝60°，B（﹣1，0），點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上．
（1）求點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）將菱形ABCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，邊BC與函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F到x軸的距離．
24．（12分）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD⊥AB，垂足為E，直徑BF交CD于點(diǎn)G，連接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）證明：四邊形ADGF為平行四邊形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC和BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接AP，BP和CP．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在拋物線上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接AP1，CP1，記△ACP1的面積為S1，記△BCP的面積為S2，若滿足S1＝3S2，求△ABP的面積；
（3）在（2）的條件下，試探究在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2024年四川省綿陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。
1．（3分）下列實(shí)數(shù)中滿足不等式x＞3的是（ ）
A．（﹣2）3B．πC．D．
【解答】解：A、（﹣2）3＝﹣8＜3，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、π＞3，故此選項(xiàng)符合題意；
C、，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．（3分）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時(shí)非常美麗，深受人們喜愛(ài)，它的圖案具有對(duì)稱美，如圖，蝴蝶圖案關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M1，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）
【解答】解：由題意得，點(diǎn)M（﹣2，﹣3）與點(diǎn)M1關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（2，﹣3）．
故選：A．
3．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（ ）
A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x≥0
【解答】解：由題可知，
x≥0且x≠0，
解得x＞0．
故選：C．
4．（3分）如圖是某幾何體的展開圖，則此幾何體是（ ）
A．五棱柱B．五棱錐C．六棱柱D．六棱錐
【解答】解：這個(gè)幾何體是六棱柱．
故選：C．
5．（3分）將一把折扇展開，可抽象成一個(gè)扇形，若該扇形的半徑為2，弧長(zhǎng)為，則扇形的圓心角大小為（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：由題意，∵弧長(zhǎng)，且r＝2，
∴n＝120°．
故選：D．
6．（3分）如圖，每只蜻蜓有6條腿，2對(duì)翅膀，每只蟬有6條腿，1對(duì)翅膀．現(xiàn)有若干蜻蜓和蟬，共有42條腿，10對(duì)翅膀，則蜻蜓和蟬的只數(shù)分別是（ ）
A．3，4B．4，3C．2，5D．5，2
【解答】解：設(shè)蜻蜓是x只，蟬是y只，
由題意得：，
解得：，
故選：A．
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，△ABD的面積為5，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．3D．5
【解答】解：過(guò)D作DF⊥AB于F，如圖：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∵△ABD的面積為5，
∴AB?DF＝5，
∵AB＝5，
∴DF＝2，
∴DE＝2；
故選：B．
8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2+2）＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣8＝﹣8k﹣4≥0，
∴k．
故選：D．
9．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，連接BE，點(diǎn)H在BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，當(dāng)△AGH的周長(zhǎng)最小時(shí)，AH+GH＝（ ）
A．B．C．12D．13
【解答】解：如圖，
要使△AGH的周長(zhǎng)的最小，即AH+HG最小，
利用正六邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)G關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G′，連接AG′交BE于點(diǎn)H'，連接AE，H′G，
那么有H'G＝H'G′，AH'+GH'＝AG′最小，
∵∠F＝120°，AF＝EF＝2，
∴AE＝2，
∵∠AEG′＝90°，EG′DE＝1，
∴AG′，
故當(dāng)△AGH的周長(zhǎng)最小時(shí)，AH+GH．
故選：B．
10．（3分）如圖，電路上有S1，S2，S3，S4四個(gè)斷開的開關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L，將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，所有等可能的結(jié)果有：（S1，S2），（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S3，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共11種，
其中能讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有：（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共9種，
∴將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為．
故選：D．
11．（3分）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)數(shù)為2，第二行有2個(gè)數(shù)為4，6，…第n行有n個(gè)數(shù)……．探究其中規(guī)律，你認(rèn)為第n行從左至右第3個(gè)數(shù)不可能是（ ）
A．36B．96C．226D．426
【解答】解：由題知，
2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6，…，
所以第n行的最后一個(gè)數(shù)可表示為n（n+1），
則從第三行起，第n行的左起的第3個(gè)數(shù)可表示為：n（n﹣1）+6（n為大于等于2的整數(shù)）．
因?yàn)?×6+6＝36，
故A選項(xiàng)不符合題意．
因?yàn)?×10+6＝96，
故B選項(xiàng)不符合題意．
因?yàn)?4×15+6＝216，15×16+6＝246，且216＜226＜246，
故C選項(xiàng)符合題意．
因?yàn)?0×21+6＝426，
故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
12．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，則BF＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，BG⊥CD，EI⊥BG，DH⊥AE，G、I、H分別為垂足．
根據(jù)題意AD＝DE＝1，則△ADE為等腰三角形．
∴△ADH≌△EDH，
∴AH＝HE，
∵AD∥CF，
∴∠DAH＝∠CFB．
在△ADH和△FCB中，∠DAH＝∠CFB，∠DHA＝∠CBF．
∴△ADH∽△FCB，
∴．
∴AE＝2AH＝FB．
易得四邊形DEIG為矩形，則GI＝DE＝1．
∵BG⊥CD，DE⊥CD，
∴BG∥DE，
∴∠EBI＝∠DEH．
在△EBI和△DEH中，∠EBI＝∠DEH，∠DHE＝∠EIB，
∴△EBI∽△DEH，
∴．
∵BE＝EF+FB＝EF+AE＝AF＝2，
∴BI＝2HE＝FB，
∴BG＝BI+GI＝FB+1．
在△EBI和△BCG中，∠EBI＝90°﹣∠CBG＝∠BCG，∠EIB＝∠BGC，
∴△EBI∽△BCG，
∴，
∵EI2＝BE2﹣BI2＝BE2﹣FB2，BC2＝FC2﹣FB2，BE＝FC＝2，BG＝FB+1，
∴，
解得FB．
故答案為：D．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上。
13．（4分）因式分解：2x2+8x+8＝ 2（x+2）2 ．
【解答】解：2x2+8x+8
＝2（x2+4x+4）
＝2（x+2）2．
故答案為：2（x+2）2．
14．（4分）中國(guó)是茶葉的故鄉(xiāng)，產(chǎn)量多年位居世界第一，據(jù)統(tǒng)計(jì)：2023年我國(guó)全年茶葉產(chǎn)量為355萬(wàn)噸，將數(shù)據(jù)3550000用科學(xué)記數(shù)法表示為 3.55×106 ．
【解答】解：3550000＝3.55×106．
故答案為：3.55×106．
15．（4分）已知單項(xiàng)式3a2b與﹣2a2bn﹣1是同類項(xiàng)，則n＝ 2 ．
【解答】解：由同類項(xiàng)定義可知n﹣1＝1，
解得n＝2．
故答案為：2．
16．（4分）如圖，直線a∥b，點(diǎn)O在b上，以O(shè)為圓心畫弧，交a于不同兩點(diǎn)A，B．若θ＝44°，則∠AOB＝ 92 °．
【解答】解：∵點(diǎn)A和點(diǎn)B都在以點(diǎn)O為圓心的圓上，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵a∥b，且θ＝44°，
∴∠OBA＝θ＝44°，
∴∠OAB＝∠OBA＝44°，
∴∠AOB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．
故答案為：92．
17．（4分）超市銷售某種禮盒，該禮盒的原價(jià)為500元．因銷量持續(xù)攀升，商家在3月份提價(jià)20%，后發(fā)現(xiàn)銷量銳減，于是經(jīng)過(guò)核算決定在3月份售價(jià)的基礎(chǔ)上，4，5月份按照相同的降價(jià)率r連續(xù)降價(jià)．已知5月份禮盒的售價(jià)為486元，則r＝ 10% ，
【解答】解：根據(jù)題意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486，
解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）．
所以4，5月份兩個(gè)月平均降價(jià)率為10%．即r＝10%．
故答案為：10%．
18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，△ADE的內(nèi)切圓與DE相切于點(diǎn)G，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接BF．當(dāng)點(diǎn)E恰為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）時(shí)，且，，則cs∠ABF＝ ．
【解答】解：如圖，設(shè)△ADE內(nèi)切圓圓心為O，連接OG，過(guò)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，則四邊形OKAH為正方形，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得DK＝DG1，EH＝EG1，
設(shè)⊙O半徑為r，則OK＝OG＝OH＝r，
∴AK＝AH＝r，
∴AD＝DK+AK1+r，AE1+r，
在Rt△ADE中，DE＝DG+EG＝2，AD2+AE2＝DE2，
即（1+r）2+（1+r）2＝（2）2，
解得r＝3或r＝﹣3（舍去），
∴AD＝4，AE＝2，
∴AB＝3AE＝6，
∵折疊，
∴DF＝AD＝4，EF＝EA＝2，∠EFD＝90°，
過(guò)F作MN⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則∠EMF＝∠DNF＝90°，
∵∠DFN＝∠FEM＝90°﹣∠EFM，
∴△EFM∽△FDN，
∴，
∴FN＝2EM．DN＝2FM，
設(shè)EM＝x，則FN＝2x，
∴FM＝4﹣2x，
在Rt△EFM中，EM2+FM2＝EF2，
即x2+（4﹣2x）2＝22，
解得x或x＝2（舍去），
∴EM，F(xiàn)M＝4﹣2x，
∴BM＝AB﹣AE﹣EM，
在Rt△BFM中，BF，
∴cs∠ABF；
故答案為：．
三、解答題：本大題共7個(gè)小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
19．（16分）（1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【解答】解：（1）
＝12|1|﹣3
＝12（1）﹣3
＝123
＝0；
（2）
?
，
當(dāng)時(shí)，原式．
20．（12分）某市射擊隊(duì)將從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全省比賽，現(xiàn)對(duì)他們進(jìn)行了6次測(cè)試，成績(jī)（單位：環(huán)）統(tǒng)計(jì)如下：
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)填空：
甲的平均成績(jī)是 8 環(huán)，乙的平均成績(jī)是 8 環(huán)；甲成績(jī)的中位數(shù)是 8 環(huán)，乙成績(jī)的眾數(shù)是 10 環(huán)．
（2）求甲、乙測(cè)試成績(jī)的方差；
（3）你認(rèn)為推薦誰(shuí)參加全省比賽更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）甲的平均成績(jī)是（7×2+9×2+10+6）＝8（環(huán)），
乙的平均成績(jī)是（5+8+9+10×2+6）＝8（環(huán)），
甲成績(jī)的中位數(shù)是8（環(huán)），
乙成績(jī)的眾數(shù)是10環(huán)．
故答案為：8，8，8，10；
（2）[（7﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝2；
[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+2×（10﹣8）2+（6﹣8）2]；
（3）推薦甲參加全省比賽更合適，理由如下：
因?yàn)閮扇说钠骄鶖?shù)相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更穩(wěn)定，所以推薦甲參加全省比賽更合適．
21．（12分）為進(jìn)一步美化環(huán)境，提升生活品質(zhì)，某部門決定購(gòu)買甲、乙兩種花卉布置公園走廊．預(yù)算資金為2700元，其中1200元購(gòu)買甲種花卉，其余資金購(gòu)買乙種花卉．已知乙種花卉每株的價(jià)格是甲種花卉每株價(jià)格的1.2倍，且購(gòu)買乙種花卉的數(shù)量比甲種花卉多2株．
（1）求甲、乙兩種花卉每株的價(jià)格；
（2）購(gòu)買當(dāng)日正逢花卉促銷，甲、乙兩種花卉均按原價(jià)八折銷售．已知該部門需購(gòu)買甲、乙兩種花卉共120株，總費(fèi)用不超預(yù)算，其中甲花卉的資金不超過(guò)1000元．求購(gòu)買這兩種花卉有幾種方案？并計(jì)算所需費(fèi)用的最小值．
【解答】解：（1）設(shè)甲種花卉每株的價(jià)格為x元，則乙種花卉每株的價(jià)格為1.2x元，
由題意得：2，
解得：x＝25，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是原方程的解，且符合題意，
∴1.2x＝1.2×25＝30，
答：甲種花卉每株的價(jià)格為25元，乙種花卉每株的價(jià)格為30元；
（2）設(shè)該部門需購(gòu)買甲種花卉m株，則需購(gòu)買乙種花卉（120﹣m）株，
由題意得：，
解得：45≤m≤50，
∵m為正整數(shù)，
∴m＝45，46，47，48，49，50，
∴購(gòu)買這兩種花卉有6種方案，
設(shè)該部門購(gòu)買甲、乙兩種花卉所需費(fèi)用為y元，
由題意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880，
∵﹣4＜0，
∴y隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝50時(shí)，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680，
答：購(gòu)買這兩種花卉有6種方案，所需費(fèi)用的最小值為2680元．
22．（12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上（與端點(diǎn)不重合），線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF的位置，點(diǎn)F恰好落在線段CD上，F(xiàn)H⊥AC，垂足為H．
（1）求證：△OBE≌△HEF；
（2）設(shè)OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
∵FH⊥AC，
∴∠EHF＝90°＝∠BOE，
∴∠BEO+∠OBE＝90°，
由旋轉(zhuǎn)得：BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠BEO+∠FEH＝90°，
∴∠OBE＝∠FEH，
在△OBE和△HEF中，
，
∴△OBE≌△HEF（AAS）；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，OB＝OC，∠ACD＝45°，
∵△OBE≌△HEF，
∴OE＝FH＝x，EH＝OB，
∴FH＝CH＝x，
∴CFFHx，
∴OE2﹣CF＝x2x＝（x）2，
∵點(diǎn)E在線段AO上（與端點(diǎn)不重合），
∴0＜x，
∴當(dāng)x時(shí)，OE2﹣CF的最小值是．
23．（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，邊AB在x軸上，∠BAD＝60°，B（﹣1，0），點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上．
（1）求點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）將菱形ABCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，邊BC與函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F到x軸的距離．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，DE＝EB，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵DH⊥AB，
∴AH＝BH＝2，DHAH＝2，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴OH＝OB+BH＝3，
∴D（﹣3，2），C（1，2），
∵DE＝EB，
∴E（﹣2，），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y；
（2）對(duì)于反比例函數(shù)y，
當(dāng)y時(shí)，x＝2，
∴當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′（2，），
∴菱形向右平移了4個(gè)單位，
∴B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′（3，0），C′（5，2），
∴直線B′C′的解析式為yx﹣3，
由，
解得x或x，
∵x＞0，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），
∴點(diǎn)F到x軸的距離為．
24．（12分）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD⊥AB，垂足為E，直徑BF交CD于點(diǎn)G，連接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）證明：四邊形ADGF為平行四邊形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
【解答】（1）證明：∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AF，
∴DG∥AF，
∴∠AFB＝∠BGD，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵，
∴∠ACB＝∠AFB，
∴∠ADC＝∠BGD，
∴AD∥GF，
∴四邊形ADGF為平行四邊形；
（2）解：設(shè)BE＝x，
∵AB＝AC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2，
∵BC＝2，
∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得x＝2，
∴BE＝2，AE＝3，
∴，
由（1）知，∠ADC＝∠BGD，
∵∠AED＝∠BEG，
∴△ADE∽△BGE，
∴，
∴；
（3）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，
在Rt△BCE中，CE4，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴，
∴AD，DE，
∴CD＝CE+DE＝4，
∵S△ACDAC?DH，
∴3＝5DH，
∴DH，
在Rt△ADH中，sin，
∴sin∠CAD．
25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC和BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接AP，BP和CP．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在拋物線上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接AP1，CP1，記△ACP1的面積為S1，記△BCP的面積為S2，若滿足S1＝3S2，求△ABP的面積；
（3）在（2）的條件下，試探究在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3，
則﹣3a＝3，則a＝﹣1，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3，
該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝4，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，4）；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，3），
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），則點(diǎn)P1（m，m2+2m﹣3），
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y＝x+3，則點(diǎn)E（m，m+3），
同理由點(diǎn)B、P的坐標(biāo)得，直線PB的表達(dá)式為：y＝（﹣m﹣3）x+m+3，
連接PP1交AC于點(diǎn)E，設(shè)直線PB交y軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D（0，m+3），
則S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6），
同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6），
解得：m（舍去）或，
即點(diǎn)P（，2）；
則△ABP的面積AB×yP（1+3）×24；
（3）存在，理由：
由（2）知，P（，2）；
由點(diǎn)C、P的坐標(biāo)得，PC＝3；
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的上方時(shí)，則∠CPQ＝45°，
由點(diǎn)C、P的坐標(biāo)得，tan∠PCQ＝2，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥PC于點(diǎn)H，
設(shè)CH＝（2）x，則PH＝QH＝x，
則PC＝3（2）x+x，
解得：x，
則QH＝x，CH（2），
則CQ22，
則OQ＝3+22＝21，
即點(diǎn)Q（0，21）；
當(dāng)點(diǎn)Q（Q′）在點(diǎn)C下方時(shí)，
同理可得：CQ′＝6﹣2，
則點(diǎn)Q′（0，23）；
綜上，Q（0，21）或（0，23）．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/1/17 18:06:54；用戶：大胖001；郵箱：15981837291；學(xué)號(hào)：22699691甲
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C
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D
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B
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D
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