1．下列四個數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．﹣3.14B．﹣2C．D．
2．下列交通標志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列運算中正確的是（ ）
A．a(chǎn)2﹣a＝aB．a(chǎn)?a2＝a3
C．（a2）3＝a5D．（2ab2）3＝6a3b6
4．為落實陽光體育活動，學校鼓勵學生積極參加體育鍛煉．已知某天五位同學體育鍛煉的時間分別為（單位：小時）：1，1.5，1.4，2，1.5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．1.5，1.5B．1.4，1.5C．1.48，1.5D．1，2
5．如圖，在?ABCD中，點O是BD的中點，EF過點O，下列結論：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四邊形ABOE＝S四邊形CDOF，其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6．不等式組的解集是（ ）
A．x＞1B．x≤4C．x＞1或x≤4D．1＜x≤4
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分別以點A，點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，過點E，F(xiàn)作直線交AC于點D，連結BD，則△BCD的周長為（ ）
A．7B．8C．10D．12
8．眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為x，則可列方程為（ ）
A．670×（1+2x）＝780B．670×（1+x）2＝780
C．670×（1+x2）＝780D．670×（1+x）＝780
9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，則cs∠CEF的值為（ ）
A．B．C．D．
10．定義運算：a?b＝（a+2b）（a﹣b），例如4?3＝（4+2×3）（4﹣3），則函數(shù)y＝（x+1）?2的最小值為（ ）
A．﹣21B．﹣9C．﹣7D．﹣5
11．如圖，圖1是北京國際數(shù)學家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A．24B．36C．40D．44
12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，對稱軸為直線x＝1，下列四個結論：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，則﹣＜a+b+c＜﹣，其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．請將正確答案直接填寫在答題卡相應的位置上．
13．分解因式：3a3﹣12a＝ ．
14．已知方程x2+x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為 ．
15．如圖，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當太陽光與水平面的夾角為60°時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為 米．
16．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD＝120°，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，連結AE分別交BD，CD于點F，G，則FG的長為 ．
17．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，則a2024的值為 ．
18．如圖，△ABC內接于⊙O，點O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，連結BD．若AB＝10，BD＝2，則BC的長為 ．
三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應的位置上．
19．（8分）計算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|．
20．（8分）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在數(shù)軸上．
21．（10分）為響應國家政策，保障耕地面積，提高糧食產(chǎn)量，確保糧食安全，我市開展高標準農田改造建設，調查統(tǒng)計了其中四臺不同型號的挖掘機（分別為A型，B型，C型，D型）一個月內改造建設高標準農田的面積（畝），并繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖表：
改造農田面積統(tǒng)計表
利用圖中的信息，解決下列問題：
（1）①m＝ ；
②扇形統(tǒng)計圖中α的度數(shù)為 ．
（2）若這四臺不同型號的挖掘機共改造建設了960畝高標準農田，估計其中B型挖掘機改造建設了多少畝？
（3）若從這四臺不同型號的挖掘機中隨機抽調兩臺挖掘機參加其它任務，請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好同時抽到A，B兩種型號挖掘機的概率．
22．（10分）如圖，BE是⊙O的直徑，點A在⊙O上，點C在BE的延長線上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于點D，連結DE．
（1）求證：CA是⊙O的切線；
（2）當AC＝8，CE＝4時，求DE的長．
23．（10分）眉山是“三蘇”故里，文化底蘊深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)篷勃發(fā)展，促進了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用960元購進的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進價多15元．
（1）求A，B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價各是多少元？
（2）已知A，B文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元，B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元，根據(jù)市場需求，商店計劃再用不超過7400元的總費用購進這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進行銷售，問：怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
24．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，6），B（n，2），與x軸，y軸分別交于C，D兩點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）若點P在y軸上，當△PAB的周長最小時，請直接寫出點P的坐標；
（3）將直線AB向下平移a個單位長度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，當EF＝AB時，求a的值．
25．（10分）綜合與實踐
問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心O處，并繞點O旋轉，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況．
操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點O處，在旋轉過程中：
（1）若正方形邊長為4，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為 ；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為 ．
（2）若正方形的面積為S，重疊部分的面積為S1，在旋轉過程中S1與S的關系為 ．
類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于E，F(xiàn)兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結論BE+DF＝OC，請你幫他進行證明．
拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中60°角的頂點與點O重合，在旋轉過程中，當三角板的直角邊交AB于點M，斜邊交BC于點N，且BM＝BN時，請求出重疊部分的面積．
（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝2﹣）
26．（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），點D在拋物線上．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點D在第二象限內，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標；
（3）在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
2024年四川省眉山市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每個小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把答題卡上相應題目的正確選項涂黑．
1．下列四個數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．﹣3.14B．﹣2C．D．
【分析】根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．
【解答】解：﹣3.14，﹣2，是有理數(shù)，是無理數(shù)，
故選：D．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．
2．下列交通標志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形可得答案．
【解答】解：選項A的交通標志能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
選項B、C、D的交通標志均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
故選：A．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的概念，找出圖形的對稱軸．
3．下列運算中正確的是（ ）
A．a(chǎn)2﹣a＝aB．a(chǎn)?a2＝a3
C．（a2）3＝a5D．（2ab2）3＝6a3b6
【分析】利用合并同類項法則，同底數(shù)冪乘法法則，冪的乘方法則，積的乘方法則逐項判斷即可．
【解答】解：a2與a不是同類項，無法合并，則A不符合題意；
a?a2＝a3，則B符合題意；
（a2）3＝a6，則C不符合題意；
（2ab2）3＝8a3b6，則D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查合并同類項，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
4．為落實陽光體育活動，學校鼓勵學生積極參加體育鍛煉．已知某天五位同學體育鍛煉的時間分別為（單位：小時）：1，1.5，1.4，2，1.5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．1.5，1.5B．1.4，1.5C．1.48，1.5D．1，2
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：1，1.4，1.5，1.5，2，
則中位數(shù)是1.5，
眾數(shù)是1.5．
故選：A．
【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
5．如圖，在?ABCD中，點O是BD的中點，EF過點O，下列結論：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四邊形ABOE＝S四邊形CDOF，其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】由平行四邊形的性質得AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正確，再證明△ODE≌△OBF（ASA），得S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正確，然后由S△ABD﹣S△ODE＝S△CDB﹣S△OBF，得S四邊形ABOE＝S四邊形CDOF，故④正確，即可得出結論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正確，
∴S△ABD＝S△CDB＝S平行四邊形ABCD，∠ODE＝∠OBF，
∵點O是BD的中點，
∴OD＝OB，
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正確，
∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，
∴S△ABD﹣S△ODE＝S△CDB﹣S△OBF，
即S四邊形ABOE＝S四邊形CDOF，故④正確，
綜上所述，正確結論的個數(shù)為3個，
故選：C．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及平行線的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
6．不等式組的解集是（ ）
A．x＞1B．x≤4C．x＞1或x≤4D．1＜x≤4
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
故不等式組的解集為1＜x≤4．
故選：D．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分別以點A，點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，過點E，F(xiàn)作直線交AC于點D，連結BD，則△BCD的周長為（ ）
A．7B．8C．10D．12
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質得到＝BD，根據(jù)三角形的周長公式即可得到結論．
【解答】解：由作圖知，EF垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周長＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴△BCD的周長＝6+4＝10，
故選：C．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質，三角形周長的計算，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
8．眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為x，則可列方程為（ ）
A．670×（1+2x）＝780B．670×（1+x）2＝780
C．670×（1+x2）＝780D．670×（1+x）＝780
【分析】利用2021年的產(chǎn)量×（1+年平均增長率為x）2＝2023年的產(chǎn)量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：670×（1+x）2＝780．
故選：B．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，則cs∠CEF的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性質可得AD＝BC＝8，由折疊的性質可得AF＝AD＝8，DE＝EF，由勾股定理可求BF的長，在Rt△EFC中，由勾股定理可求EF的長，再由三角函數(shù)定義即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，
∵把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣，
在Rt△EFC中，
CE＝DC﹣DE＝6﹣EF，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+（8﹣）2，
∴EF＝，
∴CE＝6﹣＝，
∴cs∠CEF＝＝＝，
故選：A．
【點評】本題考查翻折變換的性質，矩形的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)，二次根式的運算，靈活運用這些性質是解題的關鍵．
10．定義運算：a?b＝（a+2b）（a﹣b），例如4?3＝（4+2×3）（4﹣3），則函數(shù)y＝（x+1）?2的最小值為（ ）
A．﹣21B．﹣9C．﹣7D．﹣5
【分析】根據(jù)新運算的定義，可y與x之間的函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值解答即可．
【解答】解：由題意得，y＝（x+1）?2＝（x+1+2×2）（x+1﹣2）＝（x+5）（x﹣1），
即y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴函數(shù)y＝（x+1）?2的最小值為﹣9．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握函數(shù)最值的求法是解題的關鍵．
11．如圖，圖1是北京國際數(shù)學家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A．24B．36C．40D．44
【分析】根據(jù)正方形和三角形的面積公式即可得到結論．
【解答】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，
∵圖1中大正方形的面積是24，
∴a2+b2＝c2＝24，
∵小正方形的面積是4，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，
∴ab＝10，
∴圖2中最大的正方形的面積為＝c2+4×ab＝24+2×10＝44；
故選：D．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，正方形和三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，對稱軸為直線x＝1，下列四個結論：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，則﹣＜a+b+c＜﹣，其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)對稱軸為直線x＝1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；
利用4ac﹣b2＜﹣1，可判斷②；
從圖象4a與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出③的正誤；
由最小值為2解答即可．
【解答】解：①∵函數(shù)圖象開口方向向上，
∴a＞0；
∵對稱軸在y軸右側，
∴a、b異號，
∴b＜0，
∴拋物線與y軸交點在y軸負半軸，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①正確；
②∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，對稱軸為直線x＝1，
∴﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x＝﹣1時，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴3a+2c＜0，故②正確；
③∵對稱軸為直線x＝1，a＞0，
∴y＝a+b+c最小值，
ax2+bx+c≥a+b+c，故③正確；
④∵﹣2＜c＜﹣1，
∵x1x2＝（﹣1）×3＝﹣3＝﹣3a，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴，
∵b＝﹣2a，
∴a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∴，
故④正確；
綜上所述，正確的有①②③④，
故選：D．
【點評】此題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系．解題關鍵是注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．請將正確答案直接填寫在答題卡相應的位置上．
13．分解因式：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式3a，進而利用平方差公式進行分解即可．
【解答】解：3a2﹣12a
＝3a（a2﹣4）
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案為：3a（a+2）（a﹣2）．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握利用提公因式法與公式法分解因式是解題的關鍵．
14．已知方程x2+x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系求出x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，再把要求的式子進行通分，然后代值計算，即可得出答案．
【解答】解：∵方程x2+x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，
∴＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
15．如圖，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當太陽光與水平面的夾角為60°時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為 （4﹣2） 米．
【分析】過點E作水平地面的平行線，交AB的延長線于點H，解直角三角形即可得到結論．
【解答】解：如圖，過點E作水平地面的平行線，交AB的延長線于點H，
則∠BEH＝∠DCF，
在Rt△BEH中，sin∠BEH＝cs∠BCF＝＝，
設BH＝x米，EH＝2x米，
∴BE＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴BH＝2米，EH＝4米，
∵∠EAH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴AH＝＝4（米），
∴AB＝AH﹣BH＝（4﹣2）（米），
答：大樹AB的高度為（4﹣2）米．
故答案為：（4﹣2）．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
16．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD＝120°，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，連結AE分別交BD，CD于點F，G，則FG的長為 ．
【分析】先根據(jù)菱形的性質得到AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，則∠DCE＝60°，再在Rt△DCE中利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到CE＝3，DE＝3，接著在Rt△ADE中利用勾股定理計算出AE＝3，然后證明△AFD∽△EFB，利用相似比和比例的性質計算出AF＝，同樣方法計算出AG＝2，最后計算AG﹣AF即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的邊長為6，∠BAD＝120°，
∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°﹣∠DCE＝30°，
∴CE＝CD＝3，
∴DE＝CE＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝180°﹣∠DEC＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝＝＝，
∴AF＝AE＝×3＝，
∵AD∥CE，
∴△AGD∽△EGC，
∴＝＝＝2，
∴AG＝AE＝×3＝2，
∴FG＝AG﹣AF＝2﹣＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．也考查了菱形的性質．
17．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，則a2024的值為 ．
【分析】先算出前幾個式子的結果，然后根據(jù)求出的結果得出每三個數(shù)就循環(huán)一次，再根據(jù)得出的規(guī)律得出答案即可．
【解答】解：∵a1＝x+1，
∴a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
∴a4＝＝＝＝x+1，
∴a5＝﹣，
a6＝，
…，
由上可得，每三個為一個循環(huán)，
∵2024÷3＝674×3+2，
∴a2024＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了分式的混合運算，數(shù)字的變化規(guī)律等知識點，能根據(jù)求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．
18．如圖，△ABC內接于⊙O，點O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，連結BD．若AB＝10，BD＝2，則BC的長為 8 ．
【分析】延長AC，BD交于E，根據(jù)圓周角定理得到BD⊥AD，求得∠ADB＝∠ADE＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠DAE，根據(jù)全等三角形的性質得到BD＝DE＝2，根據(jù)勾股定理得到AD＝＝2，根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【解答】解：延長AC，BD交于E，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴AD＝AD，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴BD＝DE＝2，
∴BE＝4，
∵AB＝10，BD＝2，
∴AD＝＝4，
∵∠DAC＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠BCE＝90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴，
∴＝，
∴BC＝8．
故答案為：8．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應的位置上．
19．（8分）計算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|．
【分析】先化簡零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、三角函數(shù)、絕對值，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．
【解答】解：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|
＝1+4+2×﹣（）
＝1+4+
＝6．
【點評】本題考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
20．（8分）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在數(shù)軸上．
【分析】不等式去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，求出解集，表示在數(shù)軸上即可．
【解答】解：﹣1≤，
2（x+1）﹣6≤3（2﹣x），
2x+2﹣6≤6﹣3x，
2x+3x≤6+6﹣2，
5x≤10，
x≤2，
其解集在數(shù)軸上表示如下：
．
【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
21．（10分）為響應國家政策，保障耕地面積，提高糧食產(chǎn)量，確保糧食安全，我市開展高標準農田改造建設，調查統(tǒng)計了其中四臺不同型號的挖掘機（分別為A型，B型，C型，D型）一個月內改造建設高標準農田的面積（畝），并繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖表：
改造農田面積統(tǒng)計表
利用圖中的信息，解決下列問題：
（1）①m＝ 32 ；
②扇形統(tǒng)計圖中α的度數(shù)為 72° ．
（2）若這四臺不同型號的挖掘機共改造建設了960畝高標準農田，估計其中B型挖掘機改造建設了多少畝？
（3）若從這四臺不同型號的挖掘機中隨機抽調兩臺挖掘機參加其它任務，請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好同時抽到A，B兩種型號挖掘機的概率．
【分析】（1）①根據(jù)D的畝數(shù)和所占的百分比求出調查的總畝數(shù)，用總畝數(shù)減去其它型號的畝數(shù)，求出m；
②用360°乘以A所占的百分比，求出α；
（2）用總畝數(shù)乘以B型所占的百分比，即可得出答案；
（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）①12÷＝80（畝），
m＝80﹣16﹣20﹣12＝32；
②扇形統(tǒng)計圖中α的度數(shù)為360°×＝72°；
故答案為：32，72°；
（2）根據(jù)題意得：
960×＝240（畝），
答：估計其中B型挖掘機改造建設了240畝；
（3）畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結果，同時抽到A，B兩種型號挖掘機的有2中情況，
∴同時抽到A，B兩種型號挖掘機的概率為：＝．
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計圖．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．（10分）如圖，BE是⊙O的直徑，點A在⊙O上，點C在BE的延長線上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于點D，連結DE．
（1）求證：CA是⊙O的切線；
（2）當AC＝8，CE＝4時，求DE的長．
【分析】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理得到BAE＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠B＝∠BAO，求得∠OAC＝90°，根據(jù)切線的判定定理得到結論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質定理得到BC＝16，求得BE＝BC﹣CE＝12，連接BD，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠EAD，求得，得到BD＝DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得到結論．
【解答】（1）證明：連接OA，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半徑，
∴CA是⊙O的切線；
（2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴，
∴，
∴BC＝16，
∴BE＝BC﹣CE＝12，
連接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴，
∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝BD＝BE＝6．
【點評】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．
23．（10分）眉山是“三蘇”故里，文化底蘊深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)篷勃發(fā)展，促進了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用960元購進的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進價多15元．
（1）求A，B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價各是多少元？
（2）已知A，B文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元，B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元，根據(jù)市場需求，商店計劃再用不超過7400元的總費用購進這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進行銷售，問：怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意列出分式方程解答即可；
（2）設購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品x件，則購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品（100﹣x）件，總利潤為W，根據(jù)題意列出不等式求出x取值范圍，再列出W和x的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)性質確定x的取值，求出最大利潤即可．
【解答】解：（1）A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價a元，則B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是（a﹣15）元，根據(jù)題意得：
，
解得：a＝80，
經(jīng)檢驗，a＝80是原分式方程的解，
80﹣15＝65．
答：A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價80元，則B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是65元．
（2）設購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品x件，則購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品（100﹣x）件，總利潤為W，根據(jù)題意得：
80x+65（100﹣x）≤7400，
解得：x≤60，
∴W＝（100﹣80）x+（80﹣65）（100﹣x）＝5x+1500，
∵k＝5＞0，w隨x的增大而增大，
∴當x＝60時，利潤最大，W最大＝5×60+1500＝1800．
答：購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．
【點評】本題考查了一次函數(shù)和分式方程的應用，熟練掌握一次函數(shù)性質是解答本題的關鍵．
24．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，6），B（n，2），與x軸，y軸分別交于C，D兩點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）若點P在y軸上，當△PAB的周長最小時，請直接寫出點P的坐標；
（3）將直線AB向下平移a個單位長度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，當EF＝AB時，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程求得m＝6，得到反比例函數(shù)的表達式為y＝，求得B（3，2），解方程組即可得到結論；
（2）如圖，作點A關于y軸的對稱點E，連接EB交y軸于P，則此時，△PAB的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質得到E（﹣1，6），得到直線BE的解析式為y＝﹣x+5，當x＝0時，y＝5，于是得到點P的坐標為（0，5）；
（3）將直線AB向下平移a個單位長度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，求得直線EF的解析式為y＝﹣2x+8﹣a，解方程得到E（，0）．F（0，8﹣a），根據(jù)勾股定理即可得到結論．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，6），B（n，2），
∴，
∴m＝6，
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝，
∴2＝，
∴n＝3，
∴B（3，2），
∴，
解得，
∴一次函數(shù)的表達式為y＝﹣2x+8；
（2）如圖，作點A關于y軸的對稱點E，連接EB交y軸于P，
則此時，△PAB的周長最小，
∵點A（1，6），
∴E（﹣1，6），
設直線BE的解析式為y＝mx+c，
∴，
解得，
∴直線BE的解析式為y＝﹣x+5，
當x＝0時，y＝5，
∴點P的坐標為（0，5）；
（3）將直線AB向下平移a個單位長度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，
∴直線EF的解析式為y＝﹣2x+8﹣a，
∴E（，0）．F（0，8﹣a），
∵EF＝AB，
∴＝×，
解得a＝6或a＝10．
【點評】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對稱﹣最短路徑問題，勾股定理，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵．
25．（10分）綜合與實踐
問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心O處，并繞點O旋轉，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況．
操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點O處，在旋轉過程中：
（1）若正方形邊長為4，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為 4 ；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為 4 ．
（2）若正方形的面積為S，重疊部分的面積為S1，在旋轉過程中S1與S的關系為 S1＝S ．
類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于E，F(xiàn)兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結論BE+DF＝OC，請你幫他進行證明．
拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中60°角的頂點與點O重合，在旋轉過程中，當三角板的直角邊交AB于點M，斜邊交BC于點N，且BM＝BN時，請求出重疊部分的面積．
（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝2﹣）
【分析】操作發(fā)現(xiàn)：（1）由正方形的性質及面積公式可得出答案；
（2）過點O作OG⊥CB于點G，OH⊥DC于點H．證出△OGE≌△OHF（ASA），得出S△OGE＝S△OHF，則可得出結論；
類比探究：證明△EOB≌△FOC（ASA），得出BE＝CF，由等腰直角三角形的性質可得出結論；
拓展延伸：過點O作OG⊥AB于點G，OH⊥BC于點H．證明△OGM≌△OHN（SAS），得出S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH，求出∠GOM＝＝15°，由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4，求出GM的長，求出三角形OGM的面積，則可得出答案．
【解答】解：操作發(fā)現(xiàn)：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，
當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為S△BOC＝＝＝4；
當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，
∴∠OMC＝∠MON＝∠BCD＝90°，
∴四邊形MONC是矩形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，OA＝OC，
∴∠MOC＝∠MCO，
∴OM＝MC，
∴四邊形OMCN是正方形，
∴OM＝AD＝2，
∴四邊形OMCN的面積是4，
故答案為：4，4；
（2）如圖，過點O作OG⊥CB于點G，OH⊥DC于點H．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OG＝OH，
∵∠OGC＝∠OHC＝∠C＝90°，
∴四邊形OGCH是矩形，
∵OG＝OH，
∴四邊形OGCH是正方形，
∴∠GOH＝∠EOF＝90°，
∴∠EOG＝∠FOH，
∵∠OGE＝∠OHF＝90°，
∴△OGE≌△OHF（ASA），
∴S△OGE＝S△OHF，
∴S四邊形OECF＝S正方形OGCH＝S正方形ABCD，
∴S1＝S．
故答案為：S1＝S；
類比探究：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠BCD＝∠OCD＝45°，
∵∠FOE＝∠BOC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴BE＝CF，
∴BE+DF＝CF+DF＝CD，
∵CD＝OC，
∴BE+DF＝OC，
拓展延伸：
過點O作OG⊥AB于點G，OH⊥BC于點H．
同（2）可知四邊形OGBH是正方形，
∴BG＝BH，OG＝OH，
∵BM＝BN，
∴GM＝NH，
∵∠OGM＝∠OHN＝90°，
∴△OGM≌△OHN（SAS），
∴S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH，
∵∠MON＝60°，
∴∠GOM＝＝15°，
由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4，
∴tan∠GOM＝tan15°＝＝2﹣，
∴GM＝2×＝4﹣2，
∴＝＝4﹣2，
∴重疊部分的面積＝S四邊形OMBN＝S正方形OGBH﹣2S△OGM
＝4﹣2×（4﹣2）
＝4﹣4．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
26．（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），點D在拋物線上．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點D在第二象限內，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標；
（3）在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，故拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）過D作DK∥y軸交AC于K，求得直線AC解析式為y＝x+3，設D（t，﹣t2﹣2t+3），則K（t，t+3），故DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，由△ACD的面積為3，得DK?|xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，解出t的值可得D的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）求出A（﹣3，0），B（1，0），直線BC解析式為y＝﹣3x+3，設P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），過P作PN⊥y軸于N，過D作DM⊥y軸于M，分始終情況分別畫出圖形根據(jù)等腰直角三角形性質和全等三角形判定與性質解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）過D作DK∥y軸交AC于K，如圖：
由A（﹣3，0），C（0，3）得直線AC解析式為y＝x+3，
設D（t，﹣t2﹣2t+3），則K（t，t+3），
∴DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵△ACD的面積為3，
∴DK?|xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∴D的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）在直線BC上存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
由B（1，0），C（0，3）得直線BC解析式為y＝﹣3x+3，
設P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），
過P作PN⊥y軸于N，過D作DM⊥y軸于M，
①∵OA＝OC＝3，
∴當P與C重合，D與A重合時，△OPD是等腰直角三角形，如圖：
此時P（0，3）；
②當P在第一象限，D在第四象限時，
∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴DM＝ON，OM＝PN，
∴，
解得（n小于0，舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝，
∴P的坐標為（，）；
③當P在第四象限，D在第三象限時，如圖：
∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝，
∴P的坐標為（，）；
④當P在第四象限，D在第一象限，如圖：
∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
∴，
解得（舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝﹣，
∴P的坐標為（，﹣）；
綜上所述，P的坐標為（0，3）或（，）或（，）或（，﹣）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰直角三角形，全等三角形判定與性質等知識，解題的關鍵是分類討論思想的應用．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/6/20 7:28:14；用戶：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學號：39221433型號
A
B
C
D
畝數(shù)
16
20
m
12
型號
A
B
C
D
畝數(shù)
16
20
m
12

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2022年四川省眉山市中考數(shù)學試卷（word、含解析）

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2022年四川省眉山市中考數(shù)學試卷解析版

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